Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção!

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1 Nível 1 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção! Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima segunda edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros, você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site das 20 horas de 31/05/2016 (terça-feira). a partir OMRP

2 RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa E 2. Alternativa D 3. Alternativa B 4. Alternativa C 5. Alternativa A 6. Alternativa A 7. Alternativa C 8. Alternativa E 9. Alternativa D 10. Alternativa B 11. Alternativa E 12. Alternativa D 13. Alternativa B 14. Alternativa C 15. Alternativa B 16. Alternativa C 17. Alternativa A 18. Alternativa D 19. Alternativa E 20. Alternativa A

3 1. Uma longa sequência de algarismos compõe-se do número 2016 escrito 2016 vezes. A soma de todos os algarismos dessa sequência é igual a: c) d) e) Um lado de um retângulo mede 8 cm e o outro lado tem metade dessa medida. Qual é a medida do lado do quadrado cujo perímetro é igual ao perímetro desse retângulo? a) 24 cm. b) 12 cm. c) 8 cm. d) 6 cm. e) 4 cm. 3. Em uma corrida na escola, os amigos Maicom Binatória, Ana Lítica, Chico das Contas e Gê Ométrica ocuparam os quatro primeiros lugares. Ana Lítica cruzou a linha de chegada muito antes do Maicom Quando a Gê terminou a corrida o Chico já tinha chegado. O Chico não ficou no 1 lugar. Nenhuma das meninas ficou em 4 lugar. A ordem CORRETA de chegada dos amigos, do 1 ao 4 lugar foi: a) Ana Lítica, Gê Ométrica, Chico das Contas e Maicom b) Ana Lítica, Chico das Contas, Gê Ométrica e Maicom c) Ana Lítica, Maicom Binatória, Chico das Contas e Gê Ométrica. d) Gê Ométrica, Ana Lítica, Chico das Contas e Maicom e) Gê Ométrica, Ana Lítica, Maicom Binatória e Chico das Contas. 4. Ao multiplicarmos todos os números ímpares, compreendidos entre 1 e 2016, obtemos um número natural cujo algarismo das unidades é: a) 1. e) A figura a seguir é formada por quatro quadrados, cada um de lado 3 cm, colocados um em cada lado do quadrado de lado 15 cm. Qual é o perímetro da figura formada? a) 84 cm. b) 80 cm. c) 72 cm. d) 68 cm. e) 64 cm. 6. Numa balança de dois pratos vê-se que dois cones e uma bola pesam o mesmo que um cubo; também uma bola e um cubo pesam o mesmo que três cones. Um único cone pesa o mesmo que quantas bolas? a) 2. c) 4. d) 5. e) O primo de Chico das Contas, João das Letras, diz sempre a verdade, exceto às segundas, quartas e sextas em que só diz mentiras. Quando João chegou, Chico perguntou-lhe: Que dia é hoje?. João respondeu: Sexta. Chico em seguida perguntou ao João Que dia será amanhã?. A resposta do João foi Terça. Em que dia decorreu esse diálogo? a) Segunda. b) Terça. c) Quarta. d) Quinta. e) Sexta. 8. A equipe olímpica da escola de Ana Lítica criou uma bandeira quadrada, representada na figura a seguir. No quadrado foram pintados três triângulos brancos iguais, de lados todos iguais. A parte que sobrou foi pintada de cinza e tem perímetro igual a 45 dm. Qual é a área da bandeira? a) 45 dm 2. b) 54 dm 2. c) 63 dm 2. d) 72 dm 2. e) 81 dm 2. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3

4 9. Quatro amigos, Ari Timético, Maicom Binatória, Chico das Contas e Zé da Álgebra formaram uma equipe de corrida em revezamento. Suas camisetas estão numeradas de 1 a 4. A camiseta de Chico tem o número 2 e a camiseta do Maicom tem um número ímpar. O Chico e o Zé têm camisetas com números consecutivos. Qual é o número da camiseta do Ari Timético? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) Não há informações suficientes para determinar. 10. Com 42 cubos de 1 cm de lado, Chico das Contas faz um tijolo cujo perímetro da base é 18 cm. Qual a altura do tijolo, em cm? a) 2. e) Qual das figuras a seguir não pode ser feita com os dominós? e) 12. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 16 pode ser representado por ou, ainda, por Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? a) 80. b) 88. c) 92. d) 100. e) Uma sala de cinema tem 25 fileiras com 23 poltronas em cada fila. As poltronas são numeradas da esquerda para a direita, começando pela primeira fileira. Qual o número da fileira em que está a poltrona de número 375? a) 16. b) 17. c) 18. d) 19. e) 20. a) b) 14. Na festa de aniversário do Maicom Binatória havia 153 pessoas. Em um determinado momento, 17 meninas e 22 rapazes não dançavam e todos os outros presentes dançavam em duplas formadas por um rapaz e uma menina. Quantas meninas estavam presentes na festa de Maicom? a) 80. b) 78. c) 74. d) 72. e) 70. c) d) 15. Ana Lítica comprou duas maçãs a mais do que Chico das Contas. O dobro do número de maçãs compradas por Chico é menor do que 10 e o triplo do número de maçãs compradas por Ana é maior do que 15. Quantas maçãs comprou Chico? a) 3. b) 4. d) 6. e) 7. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4

5 16. Na figura a seguir, podem-se contar vários quadriláteros. Quantos desses quadriláteros não contém nenhum * em seu interior? c) 10. d) 11. e) Em uma sala de aula há 20 alunos. A professora de Matemática escolheu um dia do ano em que estamos (2016), que não era o dia do aniversário de nenhum dos alunos, e pediu, nesse dia, a cada um de seus alunos que calculasse a soma do ano em que nasceu com sua idade. Em seguida, a professora somou os 20 resultados encontrados pelos alunos e encontrou o valor Dos 20 alunos da sala, quantos ainda não tinham feito aniversário até esse dia? 20. Na casa de Ana Lítica, há uma prateleira com 2 metros de comprimento e ela está totalmente completa com 46 livros. Alguns livros possuem 3 centímetros de espessura e outros, 5 centímetros. Sobre os livros dessa prateleira, pode-se afirmar que: a) 15 livros têm 3 cm de espessura e 31 livros têm b) 31 livros têm 3 cm de espessura e 15 livros têm c) 20 livros têm 3 cm de espessura e 26 livros têm d) 25 livros têm 3 cm de espessura e 21 livros têm e) 21 livros têm 3 cm de espessura e 25 livros têm c) 11. d) 14. e) Dizemos que um número de três algarismos da forma abc é joinha se a 2 = b c. Por exemplo, 391 é joinha, pois 3 2 = 9 1. A soma dos algarismos do menor número joinha que não é múltiplo de 3 é igual a: a) 3. b) 4. e) O diagrama mostra um quadrado com quatro pontos desenhados em cada lado dividindo-o em três segmentos congruentes. A medida da área sombreada é 105 cm 2. A área do quadrado original é igual a: a) 115 cm 2. b) 120 cm 2. c) 125 cm 2. d) 130 cm 2. e) 135 cm 2. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5