Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção. Prova da segunda fase

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1 Nível 2 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima primeira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada eercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaionante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em aneo, utilizando caneta azul ou preta. Por eemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site a partir das 20 horas de 04/06/2013 (terça-feira). OMRP

2 RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa B 2. Alternativa E 3. Alternativa D 4. Alternativa C 5. Alternativa C 6. Alternativa D 7. Alternativa A 8. Alternativa E 9. Alternativa E 10. Alternativa A 11. Alternativa C 12. Alternativa D 13. Alternativa C 14. Alternativa B 15. Alternativa C 16. Alternativa A 17. Alternativa D 18. Alternativa D 19. Alternativa B 20. Alternativa D 21. Alternativa A 22. Alternativa B 23. Alternativa C 24. Alternativa A 25. Alternativa B

3 1. Numa caia havia 3 meias vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Zé da Álgebra retirou 3 meias da caia. Sabendo-se que nenhuma delas era preta, podemos afirmar sobre as 3 meias retiradas que: a) são da mesma cor. b) pelo menos uma é vermelha. c) uma é vermelha e duas são brancas. d) uma é branca e duas são vermelhas. e) são vermelhas. 5. O triângulo ABC da figura abaio é equilátero. Sabe-se que sua área é 2 cm 2, e que P, Q e R são pontos médios de AB, BC e AC, respectivamente. A 2. Na tabela abaio, disponha, em cada quadrado vazio, um número de 0 a 8 de modo que a soma dos três números em cada fileira horizontal e em cada fileira vertical seja sempre igual a 9. P R 5 B Q C Desse modo, a soma de todos os números que foram utilizados para completar a tabela é: a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) A soma de dois números naturais é 11. Qual é o maior produto possível que se pode obter com esses números? a) 22. b) 24. c) 28. d) 30. e) 66. A área de APQR é: a) 0,25 cm 2. b) 0,5 cm 2. c) 1,0 cm 2. d) 1,5 cm 2. e) 2,5 cm Numa certa cidade, o metrô tem todas as suas 12 estações em linha reta. A distância entre duas estações vizinhas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a seta estações é igual a 3300 metros. Sabendo-se que a linha inicia-se na 1ª e termina na 12ª estação, qual é o comprimento dessa linha? a) 8,4 km. b) 9,075 km. c) 9,9 km. d) 12,1 km. e) 13,2 km. 7. Quantos quadrados têm como seus quatro vértices os pontos do reticulado abaio? 4. Quantos números primos de dois dígitos têm a soma de seus algarismos igual a 11? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3

4 8. A figura abaio representa uma folha de papel retangular, onde estão destacados 6 quadrados. Com a parte destacada dessa folha, pode-se montar um cubo. Se a área da folha é 432 cm 2, o volume desse cubo, em cm 3, é: a) 8. b) 27. c) 64. d) 125. e) Quantos números inteiros, maiores do que 1, cumprem a seguinte condição: a terça parte do número mais 15 é maior que sua metade mais 1? a) 14. b) 28. c) 42. d) 82. e) Para montar um cubo, Chico das Contas recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura abaio. 9. As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numeradas com números consecutivos de dois algarismos, entre os quais há dois que são quadrados perfeitos. Ana Lítica sentou-se na cadeira com o maior número e Chico das Contas sentou-se na cadeira com o menor número. Qual é a soma dos números dessas duas cadeiras? a) 16. b) 29. c) 36. d) 37. e) 41. n Se é um número entre e, então n é igual a: b) Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual das figuras abaio representada o cubo construído por Chico das Contas? a) b) c) d) 50 e) Qual a medida do ângulo? a) 30. b) 50. c) 80. d) 100. e) 130. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4

5 14. A figura mostra um círculo de área 36 cm 2 sobre o qual estão desenhados quadro triângulos equiláteros com um vértice comum no centro do círculo. Qual é a área da região sombreada? a) 9 cm 2. b) 12 cm 2 c) 15 cm 2. d) 20 cm 2. e) 24 cm Ana Lítica lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? b) Numa convenção encontram-se 2013 pessoas. Sabe-se que: (I) Cada pessoa é honesta ou desonesta (não há ou tra possibilidade). (II) Ao menos uma pessoa é desonesta. (III) Para qualquer par de pessoas, ao menos uma das duas é honesta. Quantas pessoas são desonestas e honestas, respectivamente? a) 1 e b) 2 e c) 1007 e d) 1006 e e) 2012 e Qual é a soma dos algarismos do número ? a) b) c) d) e) Qual o menor número inteiro positivo maior do que 1 que divide ? a) b) 2. c) d) e) Se 2 = + 3 então 3 é igual a: a) b) + 4. c) d) e) Um bloco é formado por vários tijolos, conforme as figuras abaio: 4z 3 3z Bloco de tijolos 3 1 (um) tijolo O número de tijolos que foram utilizados para formar o bloco é: a) 23. b) 27. c) 36. d) 108. e) z z 17. Em um triângulo LOT, a medida do ângulo eterno do vértice O é 62 o, as mediatrizes de LO e OT cortam o lado LT em M e N, respectivamente. Qual a medida do ângulo MON? ^ a) 31 o. b) 62 o. c) 124 o. d) 56 o. e) 26 o. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5

6 22. Sejam a, b e c três números inteiros positivos distintos entre si. Qual é o menor valor de a + b c, sabendo-se que a > 4, b > 5 e C < 7? b) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. C B A Qual é a medida do ângulo BÂC? a) 10. b) 15. c) 20. d) 25. e) Chico das Contas escreveu 13 números em uma lousa, sendo que pelo menos três deles são positivos. Entre os 78 produtos dois a dois que eistem eatamente 22 são negativos. Quantos dos 13 números escritos na lousa são negativos? a) 2. b) Em um certo momento o número de habitantes de Matematilândia era um quadrado perfeito. Algum tempo depois, com o aumento de 100 habitantes, essa população era o sucessor de um quadrado perfeito. Atualmente, com um novo aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original de Matematilândia era um múltiplo de: b) 7. c) 9. d) 11. e) 17. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 6