Prova da segunda fase - Nível 2

Transcrição

1 Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na nona edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas de 27/05/2011 (sexta-feira).

2 RASCUNHO

3 1. No ponto de ônibus perto de sua casa, Maicom Binatória pode pegar os ônibus de duas linhas para ir à escola. Os ônibus de uma linha passam de 15 em 15 minutos e os da outra, de 25 em 25 minutos, sendo que, às 7h30m da manhã, os ônibus das duas linhas passam juntos. A que horas passarão juntos novamente? a) 8h b) 8h 15min c) 8h 25min d) 8h 30min e) 8h 45min 2. Se a 1 = b + 2 = c 3 = d + 4, qual é o maior dentre os números a, b, c e d? a) a b) b c) c d) d e) São todos iguais 3. Da igualdade = pode-se concluir que um dos números a seguir é divisível por 13. Qual é esse número? a) b) c) d) e) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível? a) 55 b) 65 c) 70 d) 75 e) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos quadrados desses números é: a) 14 b) 15 c) 18 d) 24 e) Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o número 24 é: a) ab 3 b) a 2 b 3 c) a c b c d) ab 2 c 3 e) a b b c c a 7. Zé da Álgebra escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi: a) 2314 b) 3000 c) 1401 d) 2316 e) Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é: a) 72 b) 36 c) 35 d) 64 e) No fim de 1999, Ana Lítica tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento das duas é Quantos anos Ana Lítica completa em 2011? a) 55 b) 56 c) 60 d) 62 e) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é: a) 5 : 1 b) 16 : 1 c) 12 : 1 d) 40 : 3 e) 13 : Qual é a maior raiz da equação (x 37) = 0? a) 39 b) 43 c) 47 d) 50 e) 53

4 12. Se dois lados de um triângulo medem 5 e 7 cm, então o terceiro lado não pode medir quantos centímetros? a) 11 b) 10 c) 6 d) 3 e) Para um grupo de crianças formado de cinco meninos e cinco meninas, as seguintes afirmações são verdadeiras: (1) as crianças de cabelos longos não gostam de bombom; (2) não há meninas com cabelos curtos; (3) o número de meninas que não gostam de bombom é igual ao número de meninos com cabelos longos. Quantos meninos (se existirem) gostam de bombons? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Uma mistura é composta de 90 kg de água e 10 kg de sal. Pondo-a para evaporar, obtém-se uma nova mistura da qual 24 kg contém 3 kg de sal. Determine a quantidade de água evaporada. a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) Em uma feira, há uma barraca com cinco caixas alinhadas contendo frutas distintas. A caixa com ameixas está ao lado da caixa com melancias e ao lado da caixa com maçãs; a caixa com laranjas e a caixa com mamões não estão colocadas uma ao lado da outra; a caixa com laranjas está à direita da caixa de melancias. O tipo de fruta que se encontra na caixa localizada na extremidade esquerda da fila é: a) ameixa b) melancia c) maçã d) laranja e) mamão. 16. Um colar de pérolas é formado por uma pérola negra, duas pérolas brancas, três pérolas negras, quatro pérolas brancas, cinco pérolas negras, seis pérolas brancas, sete pérolas negras e oito pérolas brancas, nessa ordem. Chico das Contas fez dois cortes no colar dividindo-o em duas partes, cada uma delas com a mesma quantidade de pérolas negras. A maior quantidade de pérolas brancas que podem estar em alguma dessas partes é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) Em um triângulo equilátero XYZ os lados são divididos em três partes iguais. Sejam A, B, C, D, E e F os pontos em que essas divisões foram feitas, como mostra a figura ao lado. Se a área do triângulo XYZ é igual a 18 cm 2, determine a área do quadrilátero BDEF. a) 8 cm 2 b) 10 cm 2 c) 12 cm 2 d) 9 cm 2 e) 15 cm 2. B A X F E 18. Zé da Álgebra quer formar a seguinte palavra cruzada numérica com sete algarismos naturais escolhidos entre os primeiros nove números naturais não nulos (sem os repetir), um em cada casa, de modo que os três números de três algarismos que podem ser lidos a partir da indicação das flechas, resultem em múltiplos de 93. Y C D Z Então, não devem ser usados os algarismos: a) 1 e 3 b) 4 e 5 c) 5 e 9 d) 3 e 8 e) 1 e 4.

5 19. ABCD é um retângulo, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. P é um ponto sobre o lado AB que pode ocupar qualquer posição sobre esse lado. Analogamente, Q é um ponto sobre o lado CD, que também pode andar sobre esse lado. Sabendo que a área do retângulo ABCD é igual a 100 cm 2, determine a área do quadrilátero MNPQ. a) 80 cm 2 b) 70 cm 2 c) 60 cm 2 d) 50 cm 2 e) 25 cm Chico das Contas escreveu um número inteiro em cada círculo e depois escreveu em cada quadrado o resultado da multiplicação dos números que estavam nos dois círculos vizinhos. Alguns números foram apagados e estão representados por letras. x 85 y 136 u 9 z Detemine o valor de w. a) 17 b) 5 c) 8 d) 45 e) t w 21. Zé da Álgebra, brincando com caroços de feijão, formou diversos triângulos: T1 T2 T3 T4 O número de caroços de feijão empregado para formar o 100 o triângulo é: a) 100 b) c) 500 d) 5050 e) Seja ABC um triângulo que possui ângulos BAC ^ ^ = 36 o e ABC = 21 o. Sobre o lado AB marcam-se os pontos D e E de modo que AD = DC e EB = EC. Determinar a medida do ângulo DCE. ^ a) 123 o b) 66 o c) 36 o d) 21 o e) 11 o 23. O dígito 3 é escrito à direita de um número de dois dígitos, formando assim um número de três dígitos. O novo número é 777 unidades a mais que o número original de dois dígitos. Determine a soma dos algarismos do número original. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) No mesmo mês, três domingos caíram em dias com numerações pares. Qual dia da semana foi o dia 20 de tal mês? a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira 25. Num tabuleiro 3 x 3, contando os retângulos existentes, em diversas posições, chegamos a um total que: a) é maior que 40 b) é menor que 30 c) é igual a 30 d) entre 30 e 40 e) é igual a 40

6 GABARITO - Nível 2 01) E 02) C 03) A 04) B 05) A 06) B 07) C 08) B 09) C 10) D 11) D 12) E 13) A 14) E 15) E 16) C 17) A 18) B 19) D 20) E 21) D 22) B 23) A 24) C 25) D