Prova da segunda fase - Nível 2

Transcrição

1 31/05/ Caro Aluno, parabéns pela sua participação na sexta edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!. Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora nstruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do bilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas de 02/06/. Olimpíada de Matemática

2 31/05/ 01. Quantos ângulos de medidas diferentes e menores do que podem ser vistos na figura? 10 o 20 o 30 o 50 o a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Quais dígitos devemos eliminar do número para obter o menor número de três algarismos? a) 4, 9, 2 e 1 b) 4, 2, 1 e 0 c) 1, 5, 0 e 8 d) 4, 9, 2 e 5 e) 4, 9, 5 e Se x é um número par e y um número ímpar, então qual dos seguintes números não é ímpar? x. x y + y a) x + y b) c) 2x + 1 d) e) x.y Na figura abaixo tem-se AD = DC, AB = AC, o ângulo ABC mede 75 o e o ângulo ADC mede 50 o. Quanto mede o ângulo BAD? A D B C a) 30 o b) 85 o c) 95 o d) 125 o e) 140 o 05. Em um triângulo a medida do menor ângulo interno é A medida do maior ângulo interno possível desse triângulo é: a) 80 0 b) 90 0 c) d) e) Ao se dividir 64 em partes proporcionais a 2, 4 e 6, qual será a menor delas? a) 51 b) 5 2 c) 10 1 d) 10 2 e) Olimpíada de Matemática

3 31/05/ 07. Dois ciclistas, Maicon Binatória e Zé Porcento, correm em uma pista quadrada em direções opostas. Partindo de uma mesma esquina, ao mesmo tempo, encontram-se, pela primeira vez, em uma outra esquina e, uma segunda vez, em uma esquina distinta das anteriores. Se ambos vão com velocidades constantes, a razão entre elas é: a) b) c) d) e) Considere um número de 2 algarismos em que sua unidade é b e sua dezena é a. Se colocarmos o algarismo 1 à esquerda desse número, obteremos um número de 3 algarismos, dado por: a) a + b b) b + a c) 100a + b d) 100a + 10b e) a + b 09. Chico das Contas dispõe de 5 tons de cor laranja, 7 tons de cor verde e 4 tons de cor vermelha e quer escolher duas cores ao acaso, porém todas as combinações lhe agradam. O número de opções que ele tem é igual a: a) 55 b) 67 c) 70 d) 83 e) Ao se desenhar um círculo e um retângulo em uma mesma folha, qual é o máximo de pontos comuns que se pode ter? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) Na figura abaixo, o ponto O é o centro da circunferência circuncrista ao retângulo. Qual a medida de x? o x a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Em um colégio há 2048 alunos. O diretor decidiu dar férias da seguinte maneira: no primeiro dia saem metade dos alunos; no segundo dia, metade dos que sobraram; no terceiro dia, metade dos que restaram e assim sucessivamente. Zé Porcento foi o último a sair. Determine o número de dias que transcorreram desde que saiu o primeiro grupo de alunos até o dia em que saiu Zé Porcento. a) 7 dias b) 9 dias c) 10 dias d) 11 dias e) 12 dias Olimpíada de Matemática

4 31/05/ 13. Em cinco dias, quatro vacas negras e três malhadas dão tanto leite quanto três vacas negras e cinco malhadas dão em quatro dias. Podemos afirmar que: a) as vacas negras dão por dia a mesma quantidade de leite que dão as vacas malhadas. b) as vacas negras dão por dia mais leite que as vacas malhadas. c) as vacas negras dão por dia menos leite que as vacas malhadas. d) as vacas negras dão por dia o dobro da quantidade de leite por dia que dão as vacas malhadas. e) as vacas negras dão por dia a metade da quantidade de leite por dia que dão as vacas malhadas. 14. Calcule o valor de a) b) 1 c) 2007 d) 1 e) O número ( ) possui no final: a) 502 zeros b) 1004 zeros c) zeros d) 4016 zeros e) 8032 zeros 16. As três bandejas A, B e C estão em ordem crescente de massa. A B C Para manter essa ordem, a bandeja D deve ser colocada: a) entre A e B; b) entre B e C; c) antes de A; d) depois de C; e) D e C têm mesma massa. D 17. Na Jornada Olímpica de 2007, 96 alunos foram separados em grupos com o mesmo número de integrantes. De quantas maneiras pôde ser feita essa separação, se cada grupo tinha entre 5 e 20 alunos? a) 10 b) 8 c) 5 d) 4 e) Um número inteiro positivo chama-se palíndromo se sua leitura da esquerda para a direita e da direita para esquerda é a mesma. Por exemplo, 585 e são números palíndromos. Os números telefônicos de uma cidade constam, cada um, de 7 dígitos e todos começam por 3 (como por exemplo, ). A quantidade de números telefônicos que poderiam ser palíndromos são: a) 100 b) 1000 c) 6561 d) e) Chico das Contas faz determinado trabalho em 9 horas. Zé da Álgebra é 50% mais rápido do que Chico das Contas. Quantas horas Zé da Álgebra demora para fazer o mesmo trabalho? a) 13 1 b) 4 1 c) 6 d) 3 e) Olimpíada de Matemática

5 31/05/ 20. Cinco amigos se pesam conjuntamente de dois em dois, de todas as maneiras possíveis. Os pesos das duplas são: 90kg, 92kg, 93kg, 94kg, 95kg, 96kg, 97kg, 98kg, 100kg e 101kg. Determine o peso conjunto dos cinco amigos. a) 225kg b) 230kg c) 239kg d) 240kg e) 250kg 21. Chico das Contas tem três xícaras de cores respectivamente branca, cinza e preta. Cada xícara contém uma e somente uma bola de gude. As bolas de gude são das cores verde, roxo e azul. Sabe-se que à esquerda da xícara branca, está a xícara preta; à esquerda da bola de gude verde, está a roxa; à direita da bola de gude azul, está a xícara cinza; à direita da xícara cinza, está a bola de gude verde. Então, a xícara em que se encontra a bola de gude azul: a) é a xícara branca. b) é a xícara preta. c) é a xícara cinza. d) não se pode determinar. e) pode ser qualquer xícara. 22. Considere os números de 5 dígitos formados apenas pelos algarismos 1 e 2. Em quantos deles o algarismo 1 aparece mais vezes que o algarismo 2? a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) Quantos números primos positivos satisfazem a desigualdade? 2 < n < a) 10 b) 8 c) 6 d) 5 e) Seja n um número natural, n 2. Define-se o fatorial de n, que indicamos por n!, como o produto dos números naturais consecutivos: n. (n - 1). (n - 2)...1, isto é: n! = n. (n - 1). (n - 2)...1 Exemplos: 2! = 2. 1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 O produto dos maiores inteiros negativos é: a) -1. ()! b)! c) -1. ()! d) -! e)!. 2007!. 2006!...3!. 2!. 1! 25. Observe a operação que é representada por #, sendo. o símbolo usual utilizado para representar o produto entre inteiros: 2 # 2 = 2. 4 = 8 3 # 2 = 3. 5 = 15 4 # 3 = 4. 7 = 28 3 # 4 = 3. 7 = 21 Determine o valor de 3 # (2 # 3). a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 39 Olimpíada de Matemática

6 31/05/ GABARTO 01) C 14) A 02) D 15) D 03) B 16) A 04) C 17) D 05) E 18) B 06) D 19) B 07) B 20) C 08) A 21) B 09) D 22) E 10) E 23) B 11) E 24) B 12) D 25) E 13) C Olimpíada de Matemática