Prova da segunda fase - Nível 2

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Herman Fortunato Caires
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1 Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na sexta edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas de 26/05/ (terça-feira).

2 RASCUNHO

3 01. Uma pizza é dividida em 8 pedaços iguais. Se Chico das Contas comeu três pedaços e Gê Ométrica comeu dois, a fração que representa a quantidade de pedaços que sobraram da pizza é: a) 5 b) 1 c) 3 d) 1 e) Chico das Contas e Gê Ométrica percorreram 12km de bicicleta. A cada pedalada, Gê avançava 6m e Chico das Contas avançava 4m. Se nem um nem outro pararam de pedalar durante o percurso, quantas pedaladas Chico das Contas teve que efetuar a mais do que Gê? a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4,... O º termo dessa sequência é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Zé da Álgebra tem seis correntes de ouro com cinco elos cada uma. Pensou que, se juntasse todas as correntes teria uma bela jóia para pendurar no pescoço. Para fazer tal serviço, o joalheiro Zé Porcento cobra R$ 1,00 por elo que precisa ser aberto e fechado. Supondo que Zé Porcento fosse inteligente e honesto, quanto Zé da Álgebra pagaria pela corrente? a) R$ 4,00 b) R$ 5,00 c) R$ 6,00 d) R$ 7,00 e) R$ 8, No quadrilátero ABCD, ABD = 70 o, CAD = 42 o e CDA = 68 o, determine a medida do ângulo CBD. a) 38 o b) 39 o c) 40 o d) 41 o e) 42 o 06. As letras O, M, R e P representam números naturais. Se O.M + R.P = 43, R + P = 12, O.R - P = 3 e O + R + P = 14, o valor de O.M.R.P é: a) 18 b) 22 c) 210 d) 280 e) Um carpinteiro demora cinco minutos para cortar um certo tronco de madeira em dois pedaços. Assim, mantendo o mesmo ritmo, cortará a madeira em quatro pedaços em: a) dez minutos b) sete minutos e meio c) quinze minutos d) doze minutos e meio e) vinte minutos 08. O retângulo abaixo foi dividido em dois triângulos e dois trapézios ligando as diagonais do retângulo e os pontos médios de sua largura. Se a área de cada triângulo sombreado é 20 u.a., então a área do retângulo é: a) 80 u.a. b) 120 u.a. c) 160 u.a. d) 200 u.a. e) 60 u.a. 09. Ao escolherem de uma lista quatro número inteiros distintos, Maicon Binatória escolheu três cujo produto foi 74 e Ana Lítica escolheu três cujo produto foi 54. Qual o produto dos quatro números da lista? a) 1998 b) 3996 c) 2738 d) 999 e) 2598

4 10. Se ignorarmos o duplo zero, as 27 peças restantes de um jogo de dominó podem ser vistas como frações menores do que ou iguais a 1. Por exemplo, A peça ao lado representa a fração 2 6 Qual é a soma dessas 27 frações? a) 27 b) 27 c) 27 d) 28 e) Dois sinaleiros ficam fechados durante dez segundos. No entanto, um deles fica aberto durante trinta segundos e o outro durante quarenta segundos. Se, em um dado momento, os dois sinaleiros fecham simultaneamente, eles voltarão a fechar no mesmo tempo após: a) dez segundos b) dois minutos c) um minuto e trinta segundos d) um minuto e dez segundos e) três minutos e vinte segundos 12. Numa sala de aula, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é 3. Se no total existem x alunos na sala, qual o número de meninas? 4 a) x b) 3x c) 4x d) x e) x Em uma pequena discussão para saber quem tinha feito mais pontos na Olimpíada de Matemática, Ana Lítica disse: Chico das Contas fez mais pontos. Zé da Álgebra disse: Eu não fiz mais pontos. Chico das Contas disse: Mané da Geometria fez mais pontos. E Mané da Geometria disse: Chico das Contas mente quando diz que eu fiz mais pontos. Sabendo que apenas um deles falou a verdade e que não ocorreram empates, podemos dizer que quem fez mais pontos foi: a) Zé da Álgebra b) Chico das Contas c) Mané da Geometria d) Ana Lítica e) impossível determinar 14. A diferença entre os quadrados de dois números inteiros positivos e consecutivos é sempre: a) um número primo b) um múltiplo de 3 c) igual à soma desses números d) um número par e) um quadrado perfeito 15. O valor de n que satisfaz a igualdade n = é: a) 1000 b) c) 4 d) 8 e) 2008

5 16. Quatro participantes de uma gincana precisam cruzar uma ponte à noite, que suporta, no máximo duas pessoas. O grupo tem apenas uma lanterna; é necessário usá-la na travessia e o desfiladeiro é largo demais para que alguém se arrisque a atirá-la para o outro lado. Não são permitidas travessias pela metade. Cada membro do grupo atravessa a ponte em uma velocidade. Os tempos de travessia são: Participante 1 - um minuto Participante 2 - dois minutos Participante 3 - cinco minutos Participante 4 - dez minutos Se duas pessoas atravessam juntas, vale a velocidade do mais lento. Qual o tempo mínimo para que todo o grupo cumpra a tarefa? a) 15 min b) 17 min c) 19 min d) 20 min e) 23 min 17. Maria pode cortar pedaços de barbante de tamanho 1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm, e assim por diante, sempre duplicando o tamanho anterior, até atingir o comprimento de 1024 cm. Ela juntou vários pedaços para cobrir uma distância de cm. Quantos pedaços de barbante, no mínimo, ela usou? a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) Quatro casais juntam-se para um jogo de xadrez. Sabendo que: i) a Beatriz jogou contra o Eduardo, ii) a Alice jogou contra o marido da Clara, iii) o Frederico jogou contra a mulher do Gustavo, iv) a Dora jogou contra o marido da Alice, v) o Gustavo jogou contra a mulher do Eduardo, Quem está casado com o Humberto? a) Beatriz b) Dora c) Alice d) Clara e) mulher de Gustavo 19. Se a + b + c + d = 2008 e b + d =, então a - b + c - d é: a) 1 b) 2010 c) d) 2008 e) A média geométrica de dois números naturais x e y é definida por xy. Se a média geométrica de x e y é igual à média aritmética de x e y podemos afirmar que: y a) x < y b) x > y c) x = y d) x = e) y = x Quando a minha irmã nasceu, o meu pai tinha o quíntuplo da minha idade. O ano passado, ele tinha o quádruplo da minha idade. Quando a minha irmã tiver o dobro da idade que tem hoje, o meu pai terá o triplo da minha idade. Que idade tenho eu agora? a) 6 anos b) 9 anos c) 10 anos d) 12 anos e) 33 anos 22. Considere os números X = 2 700, Y = e Z = Assinale a alternativa correta: a) X < Z < Y b) Y < X < Z c) Y < Z < X d) Z < X < Y e) Z < Y < X

6 23. Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usando uma certa quantidade de cerca de arame farpado. Descobri, porém, que tenho 10% a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercada será: a) 5% menor b) 10% menor c) 19% menor d) 20% menor e) 25% menor 24. Um ponto P pertence ao interior de um quadrado com 10 cm de lado. No máximo, quantos pontos da borda do quadrado podem estar a uma distância de 6 cm do ponto P? a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) ABCD é um quadrado de lado l. P e Q são pontos sobre os lados BC e CD respectivamente, tais que QAP = 27º e CQ + CP = l. Se α e β, são medidas em graus, dos ângulos PDC e CBQ respectivamente, então α + β é igual a: a) 47º b) 53º c) 60º d) 63º e) 90º

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