Prova da segunda fase - Nível 3

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Gustavo Natal Neiva
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1 Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na sexta edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas de 26/05/ (terça-feira).

2 RASCUNHO

3 01. Há 18 anos, Zé da Álgebra tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora tem o dobro da idade desse filho. Qual a soma das idades atuais de Zé da Álgebra e de seu filho? a) 108 anos b) 54 anos c) 60 anos d) 75 anos e) 47 anos 02. Chico das Contas criou um relógio digital cujas duas primeiras linhas marcam as datas e horários da 2 a e 3 a fases da OMRP, respectivamente. Ou seja, 23/05/ 14h 00min 00s (1 a linha) 01/08/ 9h 00min 00s (2 a linha) Na terceira linha do relógio de Chico, aparecerá em ordem, o número de dias, horas e minutos que faltam para chegar a data e horário da prova da 3 a fase, a partir da data e horário da prova da 2 a fase da OMRP. Se um aluno que estiver indo fazer a prova da 1 a fase da OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) que será realizada no dia 06 de junho às 14 horas, passar em frente ao relógio de Chico exatamente 30 minutos antes do horário de início da prova da OBM, o que este aluno estará vendo na 3 a linha do relógio de Chico? a) 51 dias, 18 horas e 00 min b) 52 dias, 00 horas e 00 min c) 55 dias, 19 horas e 30 min d) 55 dias, 10 horas e 30 min e) 51 dias, 17 horas e 30 min 03. Um carpinteiro demora cinco minutos para cortar um certo tronco de madeira em dois pedaços. Assim, mantendo o mesmo ritmo, cortará a madeira em quatro pedaços em: a) dez minutos b) sete minutos e meio c) quinze minutos d) doze minutos e meio e) vinte minutos 04. O valor de n que satisfaz a igualdade n = é: a) 1000 b) B 4 d) 8 e) Se a, b IN * são primos entre si e x = a é um número racional não inteiro, quantas parcelas iguais a b x precisamos somar para obter um valor igual ao do numerador de x? a) a parcelas b) b parcelas c) a + b parcelas d) a - b parcelas e) a:b parcelas 06. Seja uma sequência definida por duas regras descritas abaixo: (i) se o termo é par, dividimos o termo por dois e obtemos o próximo termo; (ii) se o termo é ímpar, multiplicamos o termo por 3 e adicionamos 1, obtendo o termo seguinte. Assim, se começarmos a sequência com 30, ela será da seguinte maneira: 30, 15, 46, 23, 70, 35,... Em uma sequência que começa com o número 12, qual a soma dos primeiros termos dessa sequência? a) 4669 b) 4730 c) 4733 d) 4673 e) Em uma pequena discussão para saber quem tinha feito mais pontos na Olimpíada de Matemática, Ana Lítica dise: Chico das Contas fez mais pontos. Zé da Álgebra disse: Eu não fiz mais pontos. Chico das Contas disse: Mané da Geometria fez mais pontos. E Mané da Geometria disse: Chico das Contas mente quando diz que eu fiz mais pontos. Sabendo que apenas um deles falou a verdade, podemos dizer que quem fez mais pontos foi: a) Zé da Álgebra b) Chico das Contas c) Mané da Geometria d) Ana Lítica e) impossível determinar

4 08. Dois sinaleiros ficam fechados durante dez segundos. No entanto, um deles fica aberto durante trinta segundos e o outro durante quarenta segundos. Se, em um dado momento, os dois sinaleiros fecham simultaneamente, eles voltarão a fechar no mesmo tempo após: a) dez segundos b) dois minutos c) um minuto e trinta segundos d) um minuto e dez segundos e) três minutos e vinte segundos 09. ABCD é um paralelogramo. G é o ponto médio de AD e F é o ponto médio de AG. A área do paralelogramo ABCD é 200 cm 2. Determine a área do quadrilátero BCGF. a) 155 cm 2 b) 145 cm 2 c) 135 cm 2 d) 125 cm 2 e) 115 cm Se a + b + c + d = 2008 e b + d =, então a - b + c - d é: a) 1 b) 2010 c) d) 2008 e) Se (x + 1). (x - 1) =, então (x 2 + x). (x 2 - x) é igual a: a) b) c) d) e) Para que número primo p, 15 é raiz da equação x 2-5px + 6p 2 = 0? a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 20 c) 40 d) 70 e) No retângulo abaixo temos que XY = 15cm, XA = 25cm e XB = 39cm. Y A B Z O segmento AB, em cm, é: a) 16 b) 20 c) 36 d) 48 e) 60 X T 15. Qual das alternativas corresponde ao valor de N, sabendo que: N = a) 0 b) 1 c) 2 d) e)

5 16. Os irmãos granjeiros Tércio e Tibúrcio estavam com dificuldades financeiras e precisavam tomar algumas decisões importantes a respeito do seu galinheiro. Tércio, pessimista, pretendia vender setenta e cinco aves - assim, a ração duraria vinte dias a mais do que o normal. Já Tibúrcio propunha a compra de mais cem galinhas, confiando na obtenção de uma linha de crédito e argumentando que isso reduziria em apenas quinze dias o tempo que poderiam alimentar os animais. Quantas galinhas tem Tércio e Tibúrcio? Observação: considere que todas as galinhas comem a mesma quantidade de ração e que cada galinha coma o mesmo tanto todos os dias. a) 150 b) 200 c) 250 d) 300 e) ABCD é um quadrado de lado l. P e Q são pontos sobre os lados BC e CD respectivamente, tais que QAP = 27º e CQ + CP = l. Se α e β, são medidas em graus, dos ângulos PDC e CBQ respectivamente, então α + β é igual a: a) 47º b) 53º c) 60º d) 63º e) 90º 18. Um ano tem no máximo quantos domingos? a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) Se x 2 + x - 1 = 0, então x 4 + 2x 3 + x 2 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) O setor circular sombreado tem perímetro de 28cm e uma área de 49cm 2. O comprimento do arco s do setor é: r r s a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

6 21. Dez pessoas, numeradas de 1 a 10, sentam em uma mesa redonda, como na figura abaixo Cada pessoa pensa num número e fala esse número apenas para as pessoas que estão sentadas ao seu lado. Depois disto, cada pessoa fala, para todos ouvirem, a soma dos números pensados por seus dois vizinhos. Neste momento, a pessoa 1 diz para todos UM. A pessoa 2 diz para todos DOIS, e assim sucessivamente, até a pessoa 10 que diz para todos DEZ. Sendo assim, o número pensado pela pessoa 7 foi: a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) Seis amigos disputaram um torneio. Cada jogo foi entre dois times de três competidores cada um. Após cada jogo, os times foram modificados e, durante todo o torneio nenhum time se repetiu. O torneio acabou depois que todos os confrontos possíveis foram jogados. Quantos jogos houve no torneio? a) 3 b) 8 c) 10 d) 12 e) Um polígono convexo tem lados. Determine a maior quantidade de ângulos internos agudos que ele pode ter. a) b) 1000 c) 4 d) 3 e) Num triângulo ABC, D é ponto médio do lado AB e E ponto do lado BC tal que CE = 2 EB. A razão AF é igual a: FE a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. Inicialmente, o cone superior está cheio de areia e o cone inferior está vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com vazão constante. O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto tempo demora até que a altura da areia no cone inferior seja metade da altura da areia no cone superior? a) 30min b) 10h c) 1h03min20s e) 1h10min12s e) 1h14min30s

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