Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção

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1 Nível 3 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima segunda edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site 20 horas de 03/06/2014 (terça-feira). a partir das OMRP

2 RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa E 2. Alternativa A (Anulada) 3. Alternativa C 4. Alternativa C 5. Alternativa C 6. Alternativa E 7. Alternativa A 8. Alternativa C 9. Alternativa B 10. Alternativa B 11. Alternativa E 12. Alternativa C 13. Alternativa C 14. Alternativa A 15. Alternativa B 16. Alternativa D 17. Alternativa C 18. Alternativa E 19. Alternativa B 20. Alternativa B 21. Alternativa B 22. Alternativa E 23. Alternativa D 24. Alternativa A 25. Alternativa E Observação: A questão 2 foi anulada, pois seu texto estava incorreto na prova que foi aplicada. Nesse arquivo já fizemos a correção do mesmo.

3 1. Gê Ométrica, distraída no final da aula de Matemática, resolveu escrever os números inteiros positivos: Quando a aula terminou, ela tinha acabado de escrever o 1000º algarismo. Quais foram os dois últimos algarismos que ela escreveu? a) 28. b) 45. c) 60. d) 63. e) Uma destas caixas está vazia e, em cada uma das restantes, há um lápis, uma caneta, uma calculadora e um compasso. Caixa A O compasso está aqui. Se todos os enunciados são falsos, em que caixa está o lápis? a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. Caixa B Esta caixa não está vazia. Caixa C A caneta está em A. Caixa D O compasso está em C. Caixa E A calculadora não está aqui. 3. O valor da expressão é: a) b) c) d) e) Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um outro quadrado inscrito nessa mesma circunferência. Sejam G a área do quadrado maior e P a área do quadrado menor. Assinale a correta relação entre as áreas G e P. a) G = 4P. b) G = 3P. c) G = 2P. d) G = 2 2 P. e) G = 2 P. 5. Quantas das quatro operações abaixo têm como resultado um múltiplo de 9? x a) Nenhuma. b) Uma. c) Duas. d) Três. e) Quatro. 6. Dois losangos iguais se intersectam, conforme a figura a seguir, determinando um octógono regular. Qual a medida dos ângulos agudos desses losangos? a) 30. b) 36. c) d) 40. e) Calcule a área de um trapézio isósceles, cujas bases medem 40 cm e 48 cm, inscrito numa circunferência de raio 25 cm. a) 968. b) 954. c) 944. d) 920. e) Qual a maior potência de 3 que divide o produto ? a) 12. b) 13. d) 15. e) Na figura a seguir, a medida da área do triângulo ABC é 9, a medida do segmento DC é um terço da medida de AC e os pontos E e F dividem AB em três segmentos congruentes. Qual a medida da área do quadrilátero DCFE? a) 3. b) 4. c) 4,5. d) 5. e) Para cada inteiro positivo n, maior do que 2014, define-se o número m = n 3 n. O maior divisor comum desses números assim definidos é: b) 6. c) 41. d) 49. e) Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3

4 11. Aumentando-se o comprimento de cada um dos dois lados opostos de um quadrado em 10% e diminuindo-se o comprimento de cada um dos outros dois em 10%, obtém-se um retângulo. A área desse retângulo, comparada com a área do quadrado inicial é: a) a mesma. b) 10% maior. c) 1% maior. d) 10% menor. e) 1% menor. 12. Na figura a seguir, O é o centro da circunferência e a medida do segmento AB é a mesma medida do raio da circunferência. Se α = 25 então β é igual a: a) 65. b) 70. c) 75. d) 80. e) O triângulo ABC é retângulo em B e a medida do cateto AB é 3 cm. O ponto P pertence ao cateto AB e por ele é traçada uma reta paralela a BC que intersecta a hipotenusa AC em Q. Se a área do trapézio PBCQ é o dobro da área do triângulo PQA, o comprimento do segmento AP é: a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 3 cm. e) 5 cm. 14. O ponto M é o centro da semicircunferência da figura abaixo. Considerando as medidas dos ângulos indicadas, pode-se afirmar que a medida do ângulo x é: a) 50. b) 51. c) 52. d) 53. e) Existem apenas dois números de dois algarismos que são o triplo do produto de seus algarismos. O produto desses dois números é: a) 300. b) 360. c) 420. d) 540. e) Em uma reunião de 52 pessoas, qual o maior número n para o qual a afirmação pelo menos n pessoas dessa reunião comemoram aniversário no mesmo mês é sempre verdadeira? b) 3. d) 5. e) Um terreno retangular tem 168 m 2 de área e sua diagonal mede 25 m. Quanto mede seu perímetro? a) 52 m. b) 58 m. c) 62 m. d) 68 cm. e) 70 m. 18. Seja o retângulo OMRP em que OM = 6 e MR = 3. Sobre o lado OM marca-se um ponto C de modo que a medida do ângulo OCP seja igual a medida do ângulo PCR. Pode-se, então, afirmar que a medida de cada um desses ângulo é: a) 71. b) 72. c) 73. d) 74. e) Para obter 8 8, deve-se elevar o número 4 4 ao expoente: b) 3. d) 8. e) 16. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4

5 20. Três números primos, a, b e c, com a < b < c, são tais que a + b + c = 78. Então c + 3b é igual a: c a b = 40 a) 100. b) 110. c) 120. d) 130. e) Sabendo que n é um quadrado perfeito, o primeiro quadrado perfeito maior que n será dado por: a) n + n. b) n + 2 n + 1. c) n d) n 2 + n. e) n 2 + n A figura a seguir mostra uma semicircunferência de centro O e raio 1 cm. Sobre essa semicircunferência, marca-se o ponto C. Observe a figura e assinale a alternativa falsa: 24. Os bombons preferidos de Ana Lítica são vendidos apenas em caixas com 30 ou 59 unidades. Se Ana Lítica pretende comprar 2014 bombons, quantas caixas, no mínimo, terá que comprar? a) 42. b) 41. c) 39. d) 32. e) Um triângulo retângulo ABC com lados 5, 4 e 3 determina um hexágono cujos vértices são os vértices externos dos quadrados construídos sobre os lados AB, BC e CA. Determine a área deste hexágono. a) 82. b) 80. c) 78. d) 76. e) 74. a) O ângulo ACB é reto. b) O triângulo AOC é isósceles. c) A área do triângulo ABC é menor ou igual a 1 cm 2. d) A área do triângulo AOC é igual a área do triângulo OBC. e) AO 2 + OB 2 = AC 2 + BC Chico das Contas diverte-se praticando jogo de dardos num alvo como o da figura. Nesse jogo, a pontuação é inversamente proporcional à área de cada região. Chico acertou a região R e marcou 10 pontos. Quantos pontos ele conseguirá se acertar a região M? a) 5. b) 8. c) 16. d) 20. e) 24. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5

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