Prova da segunda fase - Nível 2

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1 Instruções: O tempo de duração da prova é de duas horas. Este é um teste de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco opções (a, b, c, d, e). Somente uma resposta é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 0: 0) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. Centro Universitário de Rio Preto - Unirp. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada a partir de 29/05/. BOA PROVA!!!

2 0. Na figura abaixo, o triângulo é eqüilátero e a área do quadrado é igual a 6 cm 2. Qual o perímetro, em centímetros, do triângulo? a) 2 b) 20 c) 24 d) 40 e) A soma de três números inteiros consecutivos sempre é um número: a) par b) ímpar c) primo d) quadrado perfeito e) múltiplo de 3 a 03. Se > b e b < 0, qual das seguintes afirmativas é verdadeira? a) a - b > 0 b) b - a > 0 c) a + b > 0 d) ab < 0 e) a = b 04. As três circunferências mostradas abaixo, tangentes duas a duas, têm centros A, B e E e raios 2, e 2, respectivamente. Qual a medida do segmento CD? a) 0,5 b) c) 2 d) 3 e) 4 B C D A E Nota: A figura está fora de escala. 05. A fração é igual à dízima periódica n = 0, Determine qual o algarismo decimal que 3 ocupa a casa de posição a. a) 0 b) 7 c) 6 d) 9 e) Sendo x um inteiro positivo, então na lista 2x + ; x 2 + 3x + 2 e x 2 + 5x, quantos números são pares? a) 0 b) c) 2 d) 3 e) depende do x 07. Dois irmãos convidaram três amigos para a sua festa de aniversário. Para fazer os convites dividiram uma folha de cartolina em três retângulos iguais da forma indicada na figura. A folha tinha 20 cm de largura. Qual era o seu comprimento? a) 25 cm b) 27 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 35 cm

3 08. Simplifique 5 45 a) F I HG 3 K J F I b) HG 3 K J c) d) 5 5 e) Se a metade de cinco fosse nove, quanto seria a terça parte de dez? a) b) 5 c) 9 d) 2 e) 5 0. Observe a figura: A B C r r//s P Q Sejam: S a área do triângulo PAQ. S 2 a área do triângulo PBQ. S 3 a área do triângulo PCQ. s Podemos afirmar que: a) S < S 2 < S 3 b) S 3 < S 2 < S c) S + S 2 = S 3 d) S 2 > S + S 3 e) S = S 2 = S 3. Se a, b e c são números primos positivos, e a = b + c, então b ou c deve ser igual a: a) 3 b) c) 7 d) 5 e) 2 2. y P(3;) O x O vetor OP está no plano cartesiano. Se ocorrer uma rotação de noventa graus em torno da origem no sentido anti-horário o ponto P terá quais coordenadas? a) (-3; ) b) (-3;-) c) (-;3) d) (;-3) e) (3;-) 3. Se - < p < 0, em qual das seguintes alternativas os números p -2, p -, p, e p 2 estão colocados em ordem decrescente? a) p 2, p -2, p, p - b) p 2, p, p -, p -2 c) p -2, p -, p, p 2 d) p -2, p 2, p, p - e) p -, p -2, p, p 2 4. Quantos números inteiros de três algarismos, pares e maiores do que 500 podem se formar utilizando apenas os algarismos 3, 4, 6 e 8, sem repeti-los? a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 2

4 5. Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3 : 7 na primeira jarra e 3 : 5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obteremos uma mistura de álcool e água em que proporção? a) 9 : 35 b) 3 : 5 c) 7 : 3 d) 2 : 35 e) 27 : Um colégio de Ensino Médio tem alunos de ª, 2ª e 3ª séries. Na 2ª série, há 200 alunos; na 3ª, 60 alunos e a ª tem 40% dos alunos do colégio. Sobre o número de alunos da ª série pode-se afirmar que: a) é múltiplo de 5 e de 8. b) é múltiplo de 5 e não de 8. c) não é múltiplo de 5, nem de 8. d) não é múltiplo de 5 mas é múltiplo de 8. e) é múltiplo de Um grupo de pessoas dispõe de certo número de bancos para sentar. Sentando duas pessoas em cada banco, sobram vinte pessoas em pé; mas, sentando três pessoas em cada banco, sobra um banco vazio. A soma do total de bancos com o total de pessoas é um número: a) par b) menor que 80 c) primo d) múltiplo de 5 e) divisor de A operação é definida por a b = a a) a.b b) a.b a + b c) a + b a.b d) a + b e) a. b +, quando a. b 0. Qual o resultado da operação b a? b 9. Uma pesquisa entre os telespectadores de um canal de televisão mostrou que o programa A tem quatro vezes mais audiência que o programa B. Se a chance de escolher aleatoriamente um telespectador que assiste ao programa B é de uma em dez, podemos concluir que a chance de escolher um telespectador que assiste ao programa A é de: a) uma em quatro b) uma em quarenta c) quatro em dez d) quatro em quarenta e) uma em cem 20. Para esvaziar um lago são necessárias 6 horas enquanto que para o encher bastam 2 horas.o jardineiro do parque começou a encher o lago, que inicialmente estava vazio, às 4 horas do dia 27 de maio, mas esqueceu-se de fechar a saída da água. A que horas o lago ficará cheio? a) 6h de 28/05 b) 4h de 28/05 c) 7h de 28/05 d) 4h de 29/05 e) 7h de 29/05 2. A grande atração do parque de diversões é uma roda-gigante (a figura mostra uma roda-gigante similar, porém com um número menor de cabines). As cabines são numeradas de, 2, 3,..., no sentido horário. Quando a cabine 25 está na posição mais baixa da roda-gigante, a de número 8 está na posição mais alta. Quantas cabines tem a roda-gigante? a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36

5 22. Um número escrito numa cartela tem dois algarismos cuja soma é 0. Trocando os algarismos de lugar, o novo número é 8 unidades menor do que o número que está na cartela. Qual a soma dos algarismos do sucessor do número da cartela? a) 0 b) c) 2 d) 3 e) 4 b 23. Um polígono convexo de n lados tem n. n g 3 diagonais. Assim, por exemplo, o pentágono (n = 5) tem 2 b g diagonais = 5 2 Se a razão entre o número de diagonais e o número de lados de um polígono convexo é um número natural, então o número de lados desse polígono convexo necessariamente é um número: a) múltiplo de 5 b) primo c) quadrado perfeito d) ímpar e) divisor de Sabe-se que m, n e p são três números inteiros positivos, tais que: m < n < p e m.n + p.n = 58. Determine o valor de m + n - p. a) 3 b) -25 c) 29 d) -29 e) Uma certa empresa fornece ônibus para as pessoas viajarem da cidade A para a cidade B, e vice-versa. Todos os dias, desde às 6 horas da manhã até às 6 horas da tarde, de 0 em 0 minutos, partem, pontualmente, um ônibus da cidade A para cidade B, e outro da cidade B para a cidade A. Eles viajam pela mesma estrada e a duração da viagem é de precisamente uma hora. Um ônibus que sai da cidade A às 0 horas e chega à cidade B às horas, acaba cruzando pelo meio do caminho com quantos ônibus da sua mesma empresa vindos no sentido contrário? a) b) 3 c) 7 d) 9 e)

6 GABARITO 0) A 4) C 02) E 5) E 03) B 6) A 04) C 7) C 05) B 8) D 06) C 9) C 07) C 20) D 08) D 2) C 09) D 22) B 0) E 23) D ) E 24) B 2) C 25) E 3) D