Proposta de resolução do Modelo de Prova Final

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1 Proposta de resolução do Modelo de Prova Final 1.1. Seja A o seguinte acontecimento: «O João trabalha na linha A numa quarta-feira» O acontecimento «O João não trabalha numa quarta-feira» é complementar (contrário) do acontecimento A. Logo, P A P A Resposta: A probabilidade pedida é Relativamente a este acontecimento, vamos começar por organizar os dados num diagrama em árvore de probabilidades. 4.ª feira 5.ª feira T 4 significa que o João trabalha numa quarta-feira e T 4 o seu contrário; T 5 significa que o João trabalha numa quinta-feira e T o seu contrário. 5 Trabalhar em pelo menos um destes dois dias significa trabalhar na linha A na quartafeira ou na quinta-feira ou em ambos os dias. Logo, P ou Resposta: A probabilidade pedida é P a) Dado que ambos os bombons são retirados sucessivamente e sem reposição, 30 e 90 correspondem ao produto de dois números naturais consecutivos. No caso do número 90 um dos fatores é necessariamente 10. Como 30 = 6 5 e 90 = 10 9, então na 1.ª tiragem havia 6 bombons com recheio de café num total de 10 bombons. Agora já podemos completar o diagrama em árvore. b) Como o bombom retirado em primeiro lugar tinha recheio de café, para que os dois bombons retirados tenham diferentes recheios, o bombom retirado em segundo lugar, dos nove restantes tem, necessariamente, recheio de cereja. Assim: Número de casos possíveis = 9 Número de casos favoráveis = 7 7 P. Resposta: A probabilidade pedida é

2 .1. Por observação do gráfico, a média do número de crianças por família é dada por: 11 n em que n representa o número de famílias com duas 1 n crianças. Como 3, vem: 1 1 n n n n 15 n 55 3n 45 n 3n n 10 n 10 Logo, há 10 famílias que têm duas crianças, como queríamos mostrar... a) = 5 Número total de famílias = 9 Número de famílias com mais de três crianças. Relativamente à probabilidade pedida, temos: Número de casos possíveis = 5 Número de casos favoráveis = 9 9 P 5 Resposta: A probabilidade pedida é 9 5. b) Com uma criança há uma família e com cinco crianças há três famílias. Assim, relativamente à probabilidade pedida, temos: Número de casos possíveis = 5 Número de casos favoráveis = 4 (1 + 3) 4 P 5 Resposta: A probabilidade pedida é O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula p d representa o diâmetro da circunferência. p 18,1 56,9, em que d Resposta: O comprimento da circunferência de uma aliança do tamanho 8 é, aproimadamente 56,9 mm. 3.. Sabemos que p d, p 51 Assim, 51 d 51 d. Logo, d 16,. Resposta: A Adriana deverá comprar uma aliança do tamanho ,7 16,5 17,3 18,1 18,9, + 0,8 + 0,8 + 0,8 + 0,8 A sequência numérica que representa os sucessivos diâmetros das alianças é uma sucessiva aritmética cuja diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 0,8. Como, por eemplo, quando r = 5, d = 15,7 e 0, ,7 = 15,7, então a epressão algébrica que relaciona d e r é d = 0,8r + 11,7. Resposta: A epressão algébrica pedida é d = 0,8r + 11,7.

3 4. Admitindo que representa o número de quilómetros percorridos pelo automóvel alugado, as epressões que representam o custo do aluguer das agências A e B (A() e B()) são as seguintes: Agencia A A() = 0, Agencia B B() = 0, Para responder à questão colocada é necessário resolver a equação B() <A (), ou seja, 0, < 0, ,60 0 0,50 5 0,60 0, , ,10 Resposta: A agência B é mais vantajosa até 49 km percorridos pelo automóvel. k 5. A função f é do tipo y, sendo k a constante de proporcionalidade inversa, e a função g é do tipo y = a, sendo a constante de proporcionalidade direta. 6 Como k = 3 = 6, então f, com 0. 3 Por outro lado, a 3 e, portanto, g () = Assim, f g Resposta: A opção correta é,. 6. y y y 6 4 y 11 5 Resposta: As retas intersetam-se no ponto de coordenadas y,, Por eemplo: 8.1. Para que o heágono regular encaie eatamente no octógono e no quadrado a soma das amplitudes dos respetivos ângulos internos deverá ser igual a 360º. (8 ) 180º = 6 180º = 1080º e 1080º : 8 = 135º A amplitude de um ângulo interno do octógono regular é 135º. (6 ) 180º = 4 180º = 70º e 70º : 6 = 10º A amplitude de um ângulo interno do heágono regular é 10º. Dado que a amplitude de cada um dos ângulos internos do quadrado é 90º, a soma dos três ângulos internos é 135º + 10º + 90º = 345º. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos é diferente de 360º, então os três polígonos regulares não encaiam perfeitamente uns nos outros. Logo, a afirmação do Pedro é errada, c. q. m.

4 8.. O heágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes. De acordo com o esquema ao lado, vem: h 4 h 4 h 1 Logo, h 1. A triângulo = A heágono = Resposta: O valor eato da área do heágono regular é 4 3 cm. 9. É um número irracional 0,64 0,8 É um número racional É um número racional (número fracionário) 10 Resposta: A opção correta é é um número racional É um número racional (número natural) Sabemos que: 360º BÔD 90º 4 k ODC ˆ CBO ˆ A soma dos quatro ângulos internos do papagaio é º 38º 90º Assim, ˆ ODC 116º. Resposta: k = a) A amplitude de rotação 70 coincide com a amplitude de rotação de amplitude 90. Logo, o transformado do papagaio [BCDO] pela isometria referida é o papagaio [DEFO]. b) Na refleão de eio AE, o ponto O transforma-se nele próprio, o ponto B transforma-se no ponto H, o ponto C transforma-se no ponto G e o ponto D transforma-se no ponto F. Logo, o transformado do papagaio [BCDO] pela isometria referida é o papagaio [FGHO] O polígono dado tem quatro simetrias de refleão e quatro simetrias de rotação O menor número real do conjunto A é 1,4. Logo, o menor número inteiro que pertence ao conjunto A é 1. Resposta: A opção correta é (B) A,6. Logo, Para determinar A B vamos começar por representar ambos os conjuntos na mesma reta real. Resposta: A B, 3,6.

5 1. Sabemos que o volume de uma pirâmide é igual à terça-parte do volume de um cubo com a mesma base a mesma altura. Como neste caso a base da pirâmide tem metade da área da base do cubo, então V pirâmide = 1 1 V cubo = V cubo Assim, V pirâmide = Resposta: O volume da pirâmide seccionada do cubo é 3 3 cm Para calcular o volume da casa vamos decompô-la em três prismas: dois prismas retangulares e um prisma triangular. Assim, o volume da casa é dado por: 7 V Resposta: O volume da casa é 69 m A reta EB é concorrente oblíqua ao plano IJL. Resposta: A opção correta é (B) Resposta: S, Para resolver esta questão vamos usar o esquema ao lado. O ângulo y pertence a um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 m e 1,1 m. Relativamente ao ângulo y, temos que 1 5 Logo, y tg 87,5º 1,1. Resposta: y = 87,5 (1 c. d.). 5 tg y. 1,1 16. Sabemos que BOC ˆ BC CA 180º 10º, uma vez que o arco BC está 3 3 compreendido entre os lados do ângulo ao centro BOC. Logo, AÔB = = 60, pois os ângulos AOB e BOC são suplementares. Como o triângulo [ABO] é retângulo em B, já que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta que contém o ponto de tangência e o centro da circunferência, então é: BÂC = BÂO = 180 ângulos internos de um triângulo é 180). Assim: BÂC = = 30. Resposta: A amplitude do ângulo BAC é 30. OB ˆ A AÔB (a soma das amplitudes dos

6 17. O ponto C pedido é o ponto de interseção da mediatriz do segmento de reta [AB] e da circunferência de centro no ponto A e raio igual a 3 cm. Resposta: