Prova final de Matemática 3.º ciclo, 2017 (2 ạ fase) Caderno 1

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Felipe Wagner Gil
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1 Prova final de Matemática.º ciclo, 07 ( ạ fase) Caderno. No histograma estão representadas as frequências relativas, em percentagem, da distribuição da massa corporal de um grupo de alunos. Desta forma, atendendo ao conceito frequencista de probabilidade, pode afirmar-se que a probabilidade pedida corresponde ao valor da frequência relativa da classe [40, 4[. Assim, como a soma das frequências relativas é 00%, vem que Resposta: (C) k + 7% + 4% + 9% + % = 00% k = 8%. Recorrendo à calculadora, sabe-se que 4,4. Como a distância entre dois pontos consecutivos é uma unidade e 4 < <, então a + 4 < a + < a +. Logo, o ponto de abcissa a + pertence ao segmento de reta [UV]. a + P Q R S T U V a a + a + a + a + 4 a +. A distância média da Terra ao Sol é 49,6 milhões de quilómetros. 49,6 milhões de km = = 49, km = = km = =, km A distância média de Neptuno ao Sol é 0 vezes a distância média da Terra ao Sol. Assim, 0, km = = 44, km = = 4, km Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

2 4. Como o triângulo é retângulo, estamos nas condições de aplicar o teorema de Pitágoras. Assim, como os catetos deste triângulo medem 48 cm e 6 cm, temos que h =48 + 6, onde h representa a hipotenusa desse triângulo. Desta forma, h = h = h = 648 h = ± h ±78,4 Como h > 0, h 78,4 cm.. Sabe-se que A D =, B C = e A B = C D. Como A D = A B + B C + C D, vem que: = A B + + C D = A B + A B= A B =, Assim, como o triângulo [ABH] é retângulo, é possível determinar B H: tan0 = B H B H =, tan0, B H,74 Por outro lado, os triângulos [ABH] e [GEF] são geometricamente iguais, pelo critério ALA. Desta forma, F E = B H,74. Como B H = D E e D F = D E + F E, vem que D F =,74 +,74 = 6,. Logo, D F = 6, m. A B = C D As retas AD, EH e ED contêm arestas do cubo. Logo, ou são paralelas ao plano que contém a face [ABCD] retas AD e EH ou são perpendiculares a esse plano reta ED. A reta AH contém uma diagonal espacial do cubo. Assim, apesar de intersetar a face [ABCD], não é perpendicular a essa face. Resposta: (A) Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

3 6.. Sabe-se que o volume do cubo [ABCDEFGH] é 79 cm. Então, a medida da sua aresta é 7 9 = 9. Por outro lado, como o vértice V coincide com o centro do cubo, a altura da pirâmide [ABCDV] é metade da medida da aresta do cubo. Assim, sendo A B a medida de uma das arestas do cubo, o volume da pirâmide [ABCDV] é V [ABCDV] = A [ABCD] altura = A B A B V [ABCDV] = 9 9 =, Logo, V [ABCDV] =, cm. Caderno 7. O grupo de quatro alunos é constituído por duas raparigas, M e M, e dois rapazes, H e H. Como a professora vai sortear dois elementos do grupo para fazerem a apresentação do trabalho, irá selecionar um dos seguintes seis pares possíveis: M M, M H, M H, H H, M H e M H. Dos pares referidos, apenas quatro são constituídos por uma rapariga e um rapaz: M H, M H, M H e M H. 4 Desta forma, a probabilidade pedida é = A amplitude interquartis é dada pela diferença entre o.º quartil, Q, e o.º quartil, Q. Atendendo ao diagrama de extremos e quartis, sabe-se que Q = 7 e Q = 4. Assim, a amplitude interquartis é Q Q = 7 4 =. 9. O conjunto X é constituído por todos os números inteiros relativos pertencentes ao intervalo [, [. Como o intervalo é aberto no limite superior, [, [. Logo, X = {,, 0}. Resposta: (B) 0. Como o triângulo [OAB] é isósceles (O B = A B), a altura relativamente ao lado [OA] bisseta esse lado. 4 Desta forma, como O A = 4, a abcissa do ponto B é =. A altura do triângulo [OAB] corresponde à ordenada do ponto B. Como o ponto B pertence ao gráfico de f, a sua ordenada é f() = 4 = 6. Assim, a área do triângulo [OAB] é dada por: 4 6 A [OAB] = = Logo, A [OAB] = u.a. Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

4 È Í Î. A representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa é parte do gráfico de uma hipérbole que não interseta o eixo das ordenadas. Desta forma, a opção correta é a D. Resposta: (D). Através da análise dos primeiros quatro termos da sucessão, verifica-se que: os termos da sucessão são, alternadamente, valores positivos e negativos, pelo que b < 0; o valor absoluto dos termos da sucessão são potências de base. Desta forma, b =.. 0x x = 0 x = x = x = x = x = a C.S. = b, c ( ) ± ( ) 4 0 ( ) 0 ± ± x = x = 0 0 a b c x + 4. > (x ) x + > x x + > 0x > 0x x > 9x 9 x < C.S. = > x 9, È Í 9 Î 4 Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

5 . x + y = x y = 0 x + y = x = y x + x = x = x = x = y = Logo, (x, y) = (, ). Resposta: (B) 6. ( ) 9 = = 9 = = 6 9 = = = = 9 = = 9 = = 9 h i j = 4 9 h i j 9 9 = 7. A área de um retângulo é dada pelo produto dos comprimentos de dois dos seus lados adjacentes. Assim, A = x (x + ) = x + x. 8. ABˆC = DBÂ + 0 Como o ângulo ADB é um ângulo inscrito na circunferência, o arco correspondente, AB, tem o 60 dobro da sua amplitude. Assim, ADˆB = = 0. Como o triângulo [ABD] é isósceles e A D = B D, vem que BÂD = DBÂ. Desta forma, como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 80, temos: ADˆB + BÂD + DBÂ = DBÂ = 80 DBÂ = 0 DBÂ = 7 Logo, ABˆC = DBÂ + 0 = = 9. Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

6 9. A reflexão deslizante de eixo EB e vetor F A do ponto F pode ser transformada na composição de duas isometrias: uma reflexão de F relativamente ao eixo EB, seguida da translação da imagem resultante associada ao vetor F A. A primeira isometria transforma o ponto F no ponto D; a segunda isometria transforma o ponto D no ponto C. Desta forma, a imagem de F pela isometria pedida é o ponto C. Resposta: (C) 0. Os planos AFE e BGH são perpendiculares ao plano que contém a face [ABCD] do cubo, pois contêm, respetivamente, as faces [AFED] e [BGHC] desse sólido. Contudo, esses planos são estritamente paralelos entre si, pois as faces do cubo que esses planos contêm são paralelas. 6 Edições ASA, Matemática.º ciclo, 07

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