Critérios de Divisibilidade

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1 1. O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Calcule as dimensões destes ladrilhos. 2. No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira, pisca 12 vezes por minuto e a segunda, pisca 15 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 3. No estoque de uma papelaria, há uma caixa com várias borrachas iguais e, para facilitar as vendas, o dono dessa papelaria decidiu fazer pacotinhos, todos com a mesma quantidade de borrachas. Ao fazer isso, notou que era possível colocar 3 ou 4 ou 5 borrachas em cada pacotinho e, assim, não sobraria borracha alguma na caixa. Calcule o menor número de borrachas que essa caixa tinha. 4. Uma pizzaria funciona todos os dias da semana e sempre tem promoções para seus clientes. A cada 4 dias, o cliente tem desconto na compra da pizza de calabresa; a cada 3 dias, na compra de duas pizzas, ganha uma mini pizza doce, e uma vez por semana tem a promoção de refrigerantes. Se hoje estão as três promoções vigentes, esse ocorrido voltará a acontecer daqui a quantas semanas? 5. Abraão vai plantar 54 carvalhos e 27 pinheiros. Abraão gostaria de plantar as árvores em fileiras que tenham todas o mesmo número de árvores e apenas um tipo delas. Qual é o maior número de árvores que Abraão pode ter em cada fileira? 6. Enzo e Beatriz estão jogando no fliperama local. Incrivelmente, Enzo ganhava 5 bilhetes em todos os jogos, e Beatriz ganhava 11 bilhetes em todos os jogos. Quando pararam de jogar, Enzo e Beatriz tinham o mesmo número total de bilhetes. Qual é o número mínimo de jogos que Enzo pode ter jogado? 7. A Tadeu Eletrônicos tem 39 pares de fones de ouvido e 13 rádios. Tadeu quer vender todos os fones e rádios em pacotes idênticos. Qual é o maior número de pacotes que Tadeu pode fazer? 8. Rafaela é professora de Educação Física e tem 25 meninas e 35 meninos em sua turma. Ela quer dividir a turma em times do mesmo tamanho, que tenham o mesmo número de meninas e meninos. Se Rafaela montar o maior número de times possível, quantos meninos haverá em cada time? 9. A mãe de Jandira está comprando pão e salsicha para fazer cachorroquente na festa da família. As salsichas vem em pacotes de 12 e os pães vem em pacotes de 9. A loja não vende produtos avulsos, e a mãe de Jandira quer a mesma quantidade de salsichas e pães. Qual o menor número total de salsichas que a mãe de Jandira pode comprar? 10. Há 32 pivôs e 80 armadores na liga de basquete de Leonardo. Leonardo precisa incluir todos os jogadores em um time e quer que cada time tenha o mesmo número de pivôs e o mesmo número de armadores. Se Leonardo montar o maior número possível de times, quantos armadores haverá em cada time? 11. Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro a cada 4 dias, o segundo a cada 6 dias e o terceiro a cada 9 dias. Se esses navios partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos, novamente? 12. Em uma casa há quatro lâmpadas, a primeira acende a cada 27 horas, a segunda acende a cada 45 horas, a terceira acende a cada 60 horas e a quarta só acende quando as outras três estão

2 acesas ao mesmo tempo. De quantas em quantas horas a quarta lâmpada vai acender? 13. Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passaram juntos pelo planeta novamente? 14. (VUNESP) Em uma floricultura, há menos de 65 botões de rosas e um funcionário está encarregado de fazer ramalhetes, todos com a mesma quantidade de botões. Ao iniciar o trabalho, esse funcionário percebeu que se colocasse em cada ramalhete 3, 5 ou 12 botões de rosas, sempre sobrariam 2 botões. Calcule o número inicial de botões de rosas. 15. Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. 16. Numa pista de videogame, um carrinho dá uma volta completa em 30 segundos, outro, em 45 segundos e um terceiro carrinho, em 1 minuto. Partindo os três do mesmo ponto P, no mesmo instante T, quando os três se encontrarem novamente, calcule o número de voltas que o mais rápido terá dado. 17. Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então determine quantos metros cada pedaço deve medir. 18. Dispomos de 7 varas de ferro de 6 m de comprimento; 12 varas de ferro de 9,6 m de comprimento e 13 varas de ferro de 12 m de comprimento. Desejando-se fabricar vigotas para laje pré-moldada, deve-se cortar as varas em pedaços de mesmo tamanho e maior possível, sabendo também que para a construção de cada vigota são necessários 3 pedaços. Nessas condições, quantas vigotas obteríamos? 19. Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? 20. Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para plantar em uma região de sua fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Afirmação: Nessa situação, é correto afirmar que o número máximo de empregados da fazenda é 4. Julgue a afirmação acima em certa ou errada. 21. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? 22. Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é

3 composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. 23. (PUC SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. 24. Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos? 25. (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente? a. 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. b. 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. c. 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. d. 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. e. 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 26. (PUC) A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença. Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é: a. 25 b. 29 c. 37 d. 41 e Um automobilista dá a volta em uma pista circular em 12 minutos e um motociclista em 18 minutos. Os dois partem ao mesmo tempo

4 às 8 horas. A que horas voltam a se encontrar no ponto de partida e quantas voltas cada um dá? 28. Três viajantes seguiram hoje para Petrolina. O mais jovem viaja para o mesmo destino de 12 em 12 dias. O segundo a cada 15 dias e o mais velho, de 20 em 20 dias. Daqui a quantos dias eles partirão novamente juntos? 29. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república houve eleição simultânea para estes três cargos em A próxima eleição simultânea para estes três cargos ocorrerá novamente em que ano? 30. Ache o menor múltiplo de 13 que dividido por 15, 24 ou 40 deixa sempre resto Encontre o maior múltiplo comum a 12, 18 e 20 de quatro dígitos. 32. Uma estrada circular tem 18 estações. Um trem parte da estação inicial e faz parada de 8 em 8 estações. Quantas voltas terá dado na estrada quando fizer nova parada na estação inicial? 33. (Colégio Naval) O mínimo múltiplo comum entre dois naturais a e b é 360 e ab = Qual é o menor valor que a + b pode assumir? 34. Encontrar dois números naturais conhecendo-se sua soma 140 e seu MMC 240.

5 Critérios de Divisibilidade 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 16 é divisível por é divisível por 4, pois 24 é divisível por não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em ) é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. 1) Si (soma das ordens ímpares) = = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número é divisível por 11. 2) Si (soma das ordens ímpares) = = 10 Sp (soma das ordens pares) = = 21 Si-Sp = Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: = 21. Então temos a subtração = 0. Como zero é divisível por 11, o número é divisível por Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). 25 Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou , 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

6 Gabaritos cm x 32cm 20s semanas 27 árvores 11 jogos 13 pacotes 7 meninos 36 salsichas dias 540h m botões min voltas vigotas gavetas Retalhos com 6 equipes 14 de 14h B D 08:36h 60 dias cm de com 19 Dezembro comprimento funcionários. 3 voltas para o carro e duas para a moto voltas e 80 5 armadores Errada. 12 seria o máximo número de empregados.