[C] [D] [A] [B] Calculando: = 4035 Divisores 4035 = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.

Transcrição

1 RESOLUÇÕES

2

3 1 4 2 Calculando: = 4035 Divisores 4035 = (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = = 8 Sejam x, y, z e w, respectivamente, a idade da professora e de suas filhas. Suponhamos que x > y > z > w; 5 Tempo para a colheita da variedade V 1 : = 9 semanas. Tempo para a colheita da variedade V 2 : = 6 semanas. Tempo para a colheita da variedade V 3 : = 4 semanas. O número mínimo de semanas necessárias para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente, será: MMC(9, 6, 4) = 36 semanas. 3 Daí, x.y.z.w = x.y.z.w = x = 37, y = 13, z = 11 e w = 5. Portanto, y + w = y + w = 18 anos 18 = 3.6, ou seja, é um múltiplo de 3. Para obter o número total de barreiras, basta dividir o tamanho total do percurso pelo espaço que cada barreira está uma da outra, ou seja, = 40 Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, deve-se subtrair uma barreira, logo: 40-1 = 39 barreiras. 6 Retirando o tonel de nata a soma das capacidades dos tonéis restantes deverá ser múltipla de três, já que há duas vezes mais leite do que chocolate. A soma das capacidades de todos os tonéis é 119L. Se retirarmos o tonel de 15 litros, restarão 104L (não é múltiplo de 3) Se retirarmos o tonel de 16 litros, restarão 103L (não é múltiplo de 3) Se retirarmos o tonel de 18 litros, restarão 101L (não é múltiplo de 3) Se retirarmos o tonel de 19 litros, restarão 100L (não é múltiplo de 3) Se retirarmos o tonel de 20 litros, restarão 99L (é múltiplo de 3) Se retirarmos o tonel de 31 litros, restarão 88L (não é múltiplo de 3) Portanto, o tonel com a nata é o tonel de 20L. q = k/50 k = 50q q + 22,5 = k/5 k = 5.(q + 22,5) 5.(q + 22,5) = 50q 112,5 = 45q q = 2,5 k = 125

4 = = = = = = resto 6 Número de páginas não impressas: 636 : 3 = 212 Total de páginas impressas: = 111 Escrevendo todos os quadrados perfeitos de 1 até 111 temos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, Temos então 10 quadrados perfeitos utilizados na enumeração das páginas. Pela divisão Euclidiana sabemos que 40 = Então, a figura que ocupa a 40ª posição é a mesma que ocupa a quarta posição na sequência toda, ou seja, o paralelepípedo. 11 Sendo x o número de meninas e y o número de meninos, pode-se escrever: x/y = 0,88 0,88 = 88/100 = 44/50 = 22/ = 47 9 Fatorando as quantidades de goiabas, laranjas e maçãs, tem-se: 576 = = MDC(432,504,576) = = 72 famílias 504 = Assim, cada família receberá: = 8 goiabas = 6 laranjas = 7 maçãs Somando as frutas que cada família receberá tem-se o número 21, que é múltiplo de Números primos que estão entre 10 e 20: 11, 13, 17 e 19, portanto, m = 4. Números primos que estão entre 20 e 30: 23, 29, portanto, n = 2. Logo, m 2 + n 2 = = = 20 Para visitar o menor número de hospitais, devemos ter o máximo de pessoas em cada grupo. O máximo divisor comum entre 216 e 180 é 36. Logo, serão formados 6 grupos de mulheres ( = 6), e 5 grupos de homens ( = 5). Se cada grupo visitará um hospital distinto, serão visitados 11 hospitais (6 + 5).

5 14 19 Entre a terceira e a sexta árvores há 3 espaços. Logo, a distância entre duas arvores consecutivas é de 750/3 = 250m. Em consequência, a distância entre a primeira e a última árvores é igual a = 4500 metros. Estendendo o primeiro lençol, serão utilizados 4 pegadores. Para cada lençol a mais, serão necessários 3 pegadores. Logo, em cada varal com 9 lençóis são utilizados = 28 pegadores. Em consequência, como 84 = , segue-se que o resultado pedido é = = = Portanto, o número de divisores positivos de que são múltiplos de é (15+1).(15 + 1) = MMC(12, 22, 39) = 1716 = 28 x minutos, ou seja, 1 dia + 4 horas + 36 minutos. Mais precisamente, às 19 horas e 36 minutos do dia seguinte MMC(3, 4, 60) = 12 Portanto, = 18 horas Seja x o maior número de grupos que podem ser formados. Do enunciado, x divide 120, 180 e 252. Como queremos o maior x possível, x é o máximo divisor dos números 120, 180 e 252. Como MDC(120, 180, 252) = 12, o maior número de grupos que podem ser formados é = 33 vezes 23

6 = Portanto, o menor número que deverá ser somado a 1983, para que se torne um múltiplo de 7, é 7-2 = 5. Para que João e Pedro se encontrem novamente deve-se passar um número de dias múltiplo de 6 e 4 simultaneamente. Nesse caso, o único número dentre as alternativas que é múltiplo de 6 e 4 simultaneamente é De 1 até 2016, temos 1008 números ímpares, portanto teremos 1008 : 2 = 504 somas possíveis para a decomposição do 2016, como é sugerido no enunciado. O número 24 possui 8 divisores (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24). Temos, portanto 8 possibilidades para essa divisão. 26 Podemos considerar 3 sequências para as 6 faces do dado. Sequência 1: (18, 21, 24, 27, 30, 33) Não poderá ser, pois neste caso 24 e 27 devem ser faces opostas. Sequência 2: (15, 18, 21, 24, 27, 30) Não poderá ser, pois neste caso 18 e 27 devem ser faces opostas. Portanto, a única sequência possível é: Sequência 3: (12, 15, 18, 21, 24, 27) Logo, a soma das três faces ocultas será = Calculando o mínimo múltiplo comum entre 20 e 35, temos: 20, 35 10, 35 5, 35 1, 7 1, 1 MMC(20, 35) = = 140 A próxima passagem na terra ocorrerá no ano de = Do dia 4 de julho ao dia 6 de fevereiro do ano seguinte há 217 dias. Por conseguinte, sendo 217 = 7.31, segue que 6 de fevereiro do ano seguinte foi sexta-feira.

7 Tem-se a = , b = e c = Logo, MMC(a, b, c) = e, portanto, o resultado pedido é (4 + 1).(3 + 1).(2 + 1) = 60. Como a parede mede 880cm por 550cm, e queremos saber qual o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede, devemos encontrar a medida do quadrado de maior lado que cumpre as condições do enunciado. Tal medida é dada por MDC(880, 550) = 110cm. Portanto, o resultado pedido é (880/110).(550/110) = 8.5 = 40. Os números primos com o último algarismo igual a 9 de 1 até 100 são os seguintes: 36 19, 29, 59, 79 e 89; portanto, cinco números primos com último algarismo igual a 9. (3 + 1).(2 + 1).(x + 1) = 24 x + 1 = 2 x = 1 33 Portanto, o número procurado é = 360. Um número natural primo possui exatamente dois divisores, o 1 e ele próprio. 37 A soma S dos nove primeiros naturais primos será dada por: S = S = 100 Primeiro antibiótico deverá ser tomado a cada 1,5h = 90 min. Segundo antibiótico deverá ser tomado a cada 2,5h = 150 min. Calculando M.M.C.(90,150) = 450 min = 7,5h. 34 Como = (3 3.10) 30 = , segue que o resultado pedido é 90. Portanto, os antibióticos serão tomados juntos a cada 7,5h. Manhã: 7h30 Tarde: 15h Noite: 22h30

8 38 39 Certamente q deverá ser igual a dois, pois dois é o único número primo par. Se ímpar menos par resulta ímpar, portanto: p 2 = 41. p = 43. Portanto, p + q = 45. Desde que R = 16 - Q e N = 13Q + R, temos N = 13Q Q N = 12Q + 16 Ademais, se N + 2 = 13(Q + 1), então 12Q = 13Q + 13 Q = 5 Portanto, vem R = 11 e N = 76 Escrevendo 76 = , podemos concluir que os divisores primos de N são 2 e 19. Falsa. Tome n = 2 como contraexemplo e obtém-se: 2.(2-1) = 2.(1) = 2. 2 é um número par. Verdadeira. Obtendo o mínimo múltiplo comum (MMC) pela fatoração de n e 2n. n, 2n 1, 2 1, 1 n 2 1 Logo, MMC(2n, n) = 2n. 2n é obrigatoriamente par. Falsa. O máximo divisor comum (MDC) entre n e 2n é n. Note que: MDC(2n, n) = n, pois n divide simultaneamente n e 2n. 40 Falsa. Tome n = 1 como contraexemplo e obtém-se: = = 4. O resultado é par. Falsa. Tome n = 1 como contraexemplo e obtém-se: 1 3 = 1. 1 não é divisível por 3.

9