o) (V) a) D (6) = 6, 3, 2, 4. a) D (220) = 220, 110, 55, 44, 22, 20, 11, 10, 5, 4, 2, 16q 1 = 18q 2 8q 1 = 9q 2 (I) 9q 1 + 9q 2 = 9 68

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1 Matemática 5 aula. DIVISIBILIDADE a) N = 0 = =.. 5 Seja n o número de divisores positivos, n = ( + )( + )( + ) = 4 b) Se n é o número de divisores negativos, n 4. Logo, a quantidade total é 48. c) N =. (.. 5 ). N tem tantos divisores pares quanto os divisores de.. 5 que é ( + )( + )( + ) = 8. d) Já os divisores ímpares são os divisores de. 5 ( + )( + ) =.. 7 = q. + r, onde q. é o maior múltiplo de 7 menor que ele. Logo,. > 7 > 4. q = 4 e r = = 7. Logo, são, respectivamente quociente e resto: 4 e 7.. Seja N = MDC (5,, 40, 504). Então, o número de divisores comuns é n, o número de divisores positivos de N: 5 =.. 7 = = = Analisando a fatoração, vemos que N =.. 7 = 84 e n = ( + )( + )( + ) =. Logo, são 4 divisores comuns. I. N = 5q + R R II. q R 4 q 4 III. 0 R 5 R{4, 8, } Assim temos possíveis valores para o resto e para o quociente, logo soluções para o problema. 5. Temos x, 0x, 9,, 9, x 9 9x 9, x. Analogamente: 90 y 0,0. 90 e) (V) O número. f) (V) Sobre esse aspecto um número é primo ou composto ou nem é primo nem é composto. g) (V) h) (F) i) (V) j) (V) Os números e. k) (F) Pois o conjunto dos múltiplos de um número é formado pelos produtos do número por cada número inteiro. Como os inteiros (Z) são infinitos, então os múltiplos são infinitos. l) (V) Pois o maior divisor de um número natural é ele mesmo e o menor é. m) (F) n) (V) Não podemos dividir um número por zero, a não ser que seja o próprio zero, mais aí seria uma indeterminação. o) (V). Seja K o número: K = 4... :. a) (V) Pois 4 =. b) (V) Pois =. c) (F) d) (F) Pois < k e) (V) Pois 4 =, assim k =... f) (F) Pois é divisor de todo número. l a) D () =,,, b) + + = c) Sim, pois D (8) = 8, 4, 7, 4,, = 8 q l q ; Resposta correta: a),, e, b) ; c) sim l l 4. a) D (0) = 0, 0, 55, 44,, 0,, 0, 5, 4,, D (84) = 84, 4, 7, 4,, b) = 84 c) = 0 5. x q q x 8q + = 8q + q = 8q 8q = 9q (I) I) II) 8q 9q q q 8 q q Daí: q + 9q = 9 8 9q + 9q = C OMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS 9q + 8q =. a) (F) Pois o número é par e primo ( é o único n o par e primo). b) (F) c) (V) Existe os números, 0 e. d) (F) Pois é impar e não é primo. q 7 q = x = x = + x = 588 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

2 . x = y + xy = k + 80 k = y (I) (II) (III) Substituindo I e III em II, temos: xy = k + 80 (y + ). y = 5y y + y = 5y + 84 y 7y 84 = 0 Resolvendo: y = 4 ou y = Assim como y : 0 y x então é: x = y + x = + = Se temos: melhor compreensão. 777,... ; então separaremos os termos para 0, ,... = 9 = 4, = 7 9 = 9 x 0,... = Assim: 0,... = 9 77,... é: 0,... 9 = 9 9 = 8. Seja K = 5. (m + ). Se K tem 00 divisores. Pela regra prática: n[d(k)] = ( + ). (m + + ), temos: 00 =. (m + ) m = 47 4 = 4 9. Seja K = 0 5 = (. 5) 5 = K = a) 5, 5 = 5, (V), pois 5 5 = 5. 5 b) 50, 50 = 5. 0 = = 5., (V), pois: 5 =. 4 e 5 5 = 5. 5 c) 4, 4 =, (V), pois 5. 9 d) 75, 75 = 5.., (F), pois K não tem o fator, logo 75 não é divisor de K. e) 50, 50 = 5., (V), pois: 5 =. 4 e 5 5 = X = 00 = Logo: p = (4 + )( + )( + ) = 45 x =. (.. 5 ) q = ( + )( + )( + ) = p = 45 e q = MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) aula 7. Pelo critério de divisibilidade por 7: Temos: Logo, é divisível (97 8 8) ( 7 7 4). Logo: ( ) ( ) = é divisível por. Daí: = q. +. Deixa resto I. Resto por : = 8 Logo: é divisível = q; +. a = II. Resto por 5: = = q b = 4. III. Resto por 8: = = q. 8 + c = = ( + ) 5. Desenvolvendo o binômio, o único termo independente de é 5. Logo: 9 5 = M() + 5 onde M() represente múltiplo de. 9 5 = M(4) + 5. Mas 5 = 4 = = M(4) + (M(4) + ) = M(4) +. Resto é = 75 + (S) = m(5) = M(5) + Assim, o resto é. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Para um número ser divisível por, ele deve ser múltiplo de e. Critério para divisão por : RN par R 0 S, N é um número inteiro. N ímpar R T Critério para divisão por : A soma dos algarismos deve ser múltiplo de. Analisando os itens, percebemos que 0848 é par e que S algarismos =. ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

3 . I. a e b {0,,,, 4, 5,, 7, 8, 9} Para o número 57ab ser: RM5 b { 0, 5} S b = 0, necessariamente. M b é par T 57a0 ser M9, devemos ter (57 a 0) M9 5 a M9 9 a M9 a M9, que ocorre quando a. Analisemos os casos em que 5004x seja M4 e M9, pois são mais gerais que M e M. R S T divisível par M4 X : 4 x {, } M9 M x M9 x M 9 x M 9 x OBS.: Para ser divisível por 4, basta que o número possua os dois últimos dígitos divisível por = A B Perceba que A = 45 é M, pois é par (M) e a soma de seus algarismos é M. Portanto, (M) 54 = M e M deixa resto R = Melhorando as parcelas: A = 0, A = 9 (0,...) = 9 9 = B = = 8 C = ( ) 0,... C = 99 4 Assim, A + B + C = + + = 8 Obs.: R S T K 0,... 0K,... 9K = K = 9 5. Seja N = alg arismos R S T N0,... 00N,... 99N = N = 99 Se um número é divisível por, então S S S i = soma dos algarismos de ordem ímpar. S p = soma dos algarismos de ordem par. Assim, S S resto R = 0 i p i p, onde: Como o número deve ser múltiplo de, 4, e 9 simultaneamente, devemos ter x =, que é múltiplo de e. Resposta correta: E 7. Seja N = 954 N é ímpar, então na divisão por deixa R =. A soma dos algarismos de N é = + = M + e R =. Analisando os dois últimos dígitos 4 = 40 + = M4 + e R =. Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Assim, 954 = M5 + e R =. 8. Critério para divisão por 9: A soma dos algarismos do número deve ser múltiplo de nove. Assim: (445) = (M9 + 4) = M9 + 4 = M9 + 4 = (M9 + ) + = M9 + b g b g M 9 = M9( = 7= M9) 0 0 = (M9 + ) 0 = M9 + 0 = M9 + Por fim, N = (M9 + ) + M9 + (M9 + ) = M9 + R = 9. x =,45 00x =, x = 45, x = x = = = Note: as potências diminuem de em. Então... deixa resto por ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

4 RAZÕES E PROPORÇÕES aula 8. A = B =.. 7 C = Pela fatoração: m = MMC (A, B, C) = M = MDC (A, B, C) =. Logo: 4 4 m M. Erro!!!!!. Primeiro, fatora-se: P(x) = x 5 x + x = x (x ) + (x ) = (x )(x + ) = (x )(x + )(x + ) Q(x) = x = (x )(x + ) MMC (Q(x), P(x)) = (x )(x + )(x )(x + ) possui 4 fatores primos entre si.. P(x) = x + x + x + = x (x + ) + (x + ) = (x + )(x + ) Q(x) = x + x + 5x + = x + x + x + x + x + = x (x + ) + x(x + ) + (x + ) = (x + )(x + x + ) Como x + x + é irredutível pois < 0, MDC(P, Q) = x +. Soma dos coeficientes vale. 4. c), 9, 77, 95 (. ;. ; 7. ; 5. 9) São primos entre si. 5. Se M(x) representa um múltiplo qualquer de x, e n o número de DVD s. Temos: n = M() + n = M() n = M(0) + n = M(0) n = M(5) + n = M(5) Logo: n = M(MMC(, 0, 5) = M(0) n {0, 0, 0,...} Como 00 < n < 50 n = 0 n =, sendo a soma dos algarismos igual a 4. C OMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. 8, 4, 0 9,, 5 9,, 5 9,, 5,, 5,, 5 5,, MDC. = MMC =.. 5 = 0 Total + 0 =.,4min =,4. 0s = 44s = 4.,0min =. 0s = 0s =.. 5,min =,. 0s = 9s = 5. MMC(44, 0, 9) = = 440s Sabendo que depois de 440s o mais veloz leva 9s por volta e terá percorrido voltas. a. b = 5 MDC (a, b) = MMC (a, b) =? Sabendo que MDC (a, b). MMC (a, b) = a. b, então:. MMC (a, b) = 5 MMC (a, b) = 5 Resposta correta: 5 4. A peça tem que ter o MMC(50, 80, 00) 50, 80, , 8, 0 5, 4, 5 5, 7, 5 5, 7, 5 5 5, 7, 5, 7, 7,, 000cm = 0 metros : 5 9 :. r x x. x pedaços sx x. x x 4 t x x. x x. x. x MDC (r, s) = u = x MMC (s, t) = v = x x. x. x. x MMC (s, t) v x x. x. x 4 MMC (s, t) v x. x x 47 x 7 a 5 x b ax 7 47 ax 40 bx 5 bx a 40 a 0 a 0 e b x = 4 b b 4 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

5 y 5 c cy 5 7 cy y dy dy 0 d c c 7 d 0 d 5 y Portanto: x + y = 4 + = 0 a) Seja o comprimento do lado do ladrilho. Logo, divide 00 e 45. Como é máximo, = MDC (00, 45) = 5cm. b) A T = = 7500 A = 5. 5 = 5 n : 50 = = n 950 : 50 = = n 00 : 50 = = n Logo: n = n + n + n = + + n = pacotes Resposta correta: 0. Sendo A = m. ². 5 m, seja B = 9000 B = ³. ². 5³ Como MDC (A, B) = ². 5, ou seja, o produto dos fatores primos comuns de menores expoentes, podemos afirmar que m = e assim A = A =. 5. Logo o número de divisores positivos de A, pode ser obtido por meio da regra: ( + ). ( + ) =. = (adiciona-se a unidade a cada expoente dos fatores primos do número A e logo após efetua-se o produto).. A = x.. 5 B = x.. 5 MMC (A, B) = x.. 5. GRANDEZAS PROPORCIONAIS aula 9 m n p q e m + n = 7!! 4! 5!! 4! 7! Mas n.m n 4m. Como m + n = 7! m! 5 Logo: p = ! 4.7! 5 e q = !.4.7! 5 q p = !=0. 7!. Quarta proporcional, e 8 8 x 4 x. Terceira proporcional e y 8. y Daí: x 4. y 8 4 pares pretas x pares azuis A = B Gastos: 4A + xb = G 8B + xb = G (I) Pedido retirado x pretas 4 azuis A = B Ax + 4B =,5G Bx + 4B =,5g (II) Tomando as equações, temos: 8B xb G B (8 x) G BX 4B,5g B (4 x),5 G 8x,5x 4 x 4 x,5 8 0,5x x Assim: 4 4 O número de divisores positivos do MMC (A, B) é obtido x.. 45 x x 5 x 4 x 4. x y z 4x 9y z k k x 9yz 4 k k k Logo: x, y = 5 e z = 9 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 5

6 5. x y z xy z y z x yz x x x y y y y z, logo x y z z z z x x Então: xy yz xz x. x x. x x. x x y z x x x x x x x. 9x x 5. x y k x k e y 5k 5 x y (k) (5k) 9k 5k 4k k 4 k Se k =, temos: x k. y 5k 5. 0 E y 9x (0) 9() 5. C OMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Devemos dividir os recipientes em partes iguais: R : : partes R : : 4 7 partes Divide-se em partes = MMC (, 7) R : 7 : 4 partes R : 9 : pontos Agora, tendo partes equivalentes, soma-se: (7 + 9) : (4 + ) proporçãoé : ou 8 :. Seja x a média pedida, então: 9 x. x x x y xy. Como x y = 0, temos:,,7,, 7 x y 0 50,,7 0,4 x 50 x 05, y 50 y 85,7 Logo: y x y x 55 0 y x 45 x xy 4 y 4 y 4 4 Resposta correta: E S S. S a. b b a b. b a ab b a ab b 8b 8ab a ab 0 0b ab a 0 a 0a a a a 5 b a a 5 b b 0 a a b b 7. A primeira jarra está dividida em 0 partes, sendo de álcool e 7 de água. Já a segunda, em 8 partes. Devemos dividi-las igualmente, mantendo a proporção. Logo dividimos, mantendo a proporção. Logo, dividimos por MMC (0, 8) = 40. Jarra = : 5, de modo que + 48 = 40 Jarra = 5 : 5, de modo que = 40 Se misturarmos, obtemos 7 : d. vd. vd. v v v 5 0 v 5. 0 v v v 0 v. 0 4 Obs.: = 0 cm dh O = = d v 0,4.0 v 0,4 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

7 9. m 7 m 7 m 7. 00% 5% H mh 7 m H 0 0 t t d d t d. 4h t d h 0. x y z 4 x y z 4 x 5y z 04 ( ) 5( ) (4 ) Assim: x =. =. 8 = y =. 8 = 4 z = 4. 8 = REVISÃO aula 0. Temos A B C k e A B C A B C 8000 k k k Logo: B = 5k = 500. Seja x quantidade que A, mais novo, recebe, e y a de B. Temos: xa = yb, pois x e y A B Logo: y A y x x B 4 4 x 4.75 Como x + y = 75 x 75 x x Questão Confusa!!! Temos A B e A + B = 770 A e B Também: a = b e a + b = 770 a = 4 e b = 08. Maior parte: a = 4 e menor b = 08. Proporção % Trabalho Tempo 0 7 t 7 7 t 7. 0 t Seja v a velocidade de correção dos professores a equipe, sendo [v] provas hora. 000 provas 000 Foram corrigidas provas hora. horas 0 dias. 0 dia 000 Como são professores: v provas hora. 0 Na equipe, v = v = 000 provas hora. 0 Como são 5 professores, na equipe são produzidas 5000 provas hora. 0 0 horas dia Logo: D.4000 provas. 4dias 5000 provas 4 horas COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS. Carbono Oxigênio 8.. g m m 88g m 9g a b ab a 8 a 4 b 8 b 8 Resposta correta: E x y z xy z x 500 x y 500 x z 500 x 50 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 7

8 4. d 500 v v km/h. t t 54 t 0,8h ou t 0h e 48min. 9 t 5. T + T = T T h 8min t 5h 8h t t h t t 0. Mantimentos Pessoas Tempo (500 + x). ) x Devemos observar que os mantimentos são dados por: = (500 + x). 400 = x 000 = x x 000. Trabalho Pessoas Dias md m d md m + r t Assim, md = (m + r). t md t m r 7. O bloco tem volume v =.,5. = 4,5m² O bloco tem volume v = 0,. 0,. 0, = 0,00m² 4,5m² toneladas 0,00m² x x 0,008 toneladas 8. inversa direta inversa professores dias questões 4h/ dia x 7.. x dias x ª máquina: ª máquina: 500 x As duas máquinas: 8 x x CML-5//09 Resol_Matemática 5_EL/Rev.: Jarina 8 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5