Aula 01 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA

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1 Aula 01 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA

2 Paridade Par: x = 2n, n Z Exemplo 1: 6 6 = 2.3 n = 3 Ímpar: x = 2n+1, n Z Exemplo 2: 9 9 = n = 4 Exemplo 3: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) 3,2 é um número sem paridade. ( F ) 2,4 é um número par. ( F ) Zero é um número sem paridade. ( V ) - 2 é um número par. ( V ) (UFPR) 0, é um número ímpar.

3 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2: Números pares. Exemplos: 4, 16, Divisibilidade por 3: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 3. Exemplo 1: = 23 Exemplo 2: = não é divisível por 3, logo 2759 também não é. 12 é divisível por 3, logo 1902 também é.

4 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 4: Número formados pelos dois últimos algarismos divisível por 4. Exemplo 1: Exemplo 2: é divisível por 4, logo também é. 0 é divisível por 4, logo também é. Divisibilidade por 5: Números terminados em 0 ou 5. Exemplos: 10, 125,

5 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 6: Números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplo : 1902 É um número par, logo divisível por = é divisível por 3, logo 1902 é divisível por é divisível por 6.

6 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 7: Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou. Exemplo 1: x 2 = x 2 = é divisível por 7, logo 7154 também é.

7 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 7: Retira o algarismo das unidades, multiplica por 2 e subtrai do número que sobrou. Exemplo 2: x 2 = x 2 = 8 14 é divisível por 7, logo 2303 também é.

8 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 8: Números formado pelos três últimos algarismos divisível por 8. Exemplo 1: é divisível por 8, logo também é. Exemplo 2: é divisível por 8, logo também é.

9 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 9: Números cuja soma dos algarismos for divisível por 9. Exemplo 1: = 12 Exemplo 2: = não é divisível por 9, logo 1902 também não é. 27 é divisível por 9, logo também é. Divisibilidade por 10: Números terminados em 0 (zero). Exemplos: 30, 920,

10 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 11: Números cuja soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11. Exemplo 1: = 0 0 é divisível por 11, logo também é. Exemplo 2: = é divisível por 11, logo também é.

11 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 12: Números divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Exemplo: = 12 É um número que termina em 12, logo divisível por é divisível por 3, logo é divisível por é divisível por 12. Lei O número deve ser divisível por outros dois, tais que eles sejam primos entre si e que o produto dê o divisor. Exemplos: 18 Deve ser divisível por 2 e 9 ao mesmo tempo. 20 Deve ser divisível por 4 e 5 ao mesmo tempo.

12 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Menor múltiplo comum entre os números dados. Exemplo 1: Calcule o M.M.C. de 50, 60 e 100. Resolução: 50, 60, , 30, , 15, , 5, , 1, 5 5 1, 1, 1 multiplicar M.M.C. (50, 60, 100) = = = 300

13 Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Maior divisor comum entre os números dados. Exemplo 2: Calcule o M.D.C. de 60, 140 e 420. Resolução: 60, 140, , 70, , 35, , 7, 21 primos entre si multiplicar M.D.C. (60, 140, 420) = = 2².5 = 20

14 Exemplo 3: (FGV) Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por exemplo, imagine que, em uma avenida de um bairro temos três semáforos A, B e C. O semáforo A fica verde a cada 15 segundos; o semáforo B, a cada 20 segundos ; o semáforo C, a cada 25 segundos. Às 7h, simultaneamente os 3 semáforos, ficaram verdes ao mesmo tempo, a próxima vez que simultaneamente os 3 semáforos ficarão verdes ao mesmo tempo será à que horas: Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? M.M.C. (15, 20, 25) = = 2².3.5² = 300seg 300seg = 5min, logo às 7h e 5min. 15, 20, , 10, , 5, , 5, , 1, 5 5 1, 1, 1

15 Exemplo 4: Erivaldo possui 90 livros de geometria, 96 de trigonometria 144 de álgebra e 210 de culinária, ele deseja reparti-los pelo maior número possível de alunos, de modo que cada um receba o mesmo número de livros de cada tipo. Quantos alunos que ele conseguirá contemplar? Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? Geo Trigo Álg Culinária 90, 96, 144, , 48, 72, , 16, 24, 35 M.D.C. (90, 96, 144, 210) = 2.3 = 6 alunos

16 Exemplo 5: (CEM SIMULADO) Ao fazer a triagem das doações para as famílias desabrigadas de SC, um grupo de pessoas contou 200 peças de roupas, 120 cobertores e 80 brinquedos. Se esse grupo montou o maior número possível de cestas com a mesma quantidade de itens de cada tipo por cesta, então haverá quantas cestas, com quantas peças de roupa, com quantos cobertores e quantos brinquedos em cada cesta. Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC ou MDC? roupa M.D.C. (200, 120, 80) = = 40 cestas cobertor brinquedo 200, 120, , 60, , 30, , 15, , 3, 2 Peças de roupa: Cobertores: Brinquedos: 5 3 2

17 Números Primos Todo número que assume apenas dois divisores naturais. Exemplos: 2, 3, 13. Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( F ) 1 é um número primo. ( V ) (UFSC) 2 é o único número par primo. Números Primos Entre Si Números que possuem o M.D.C. igual a 1. Exemplos: 5 e 12. 4, 9 e e 88. Números Compostos Todo número que assume mais de dois divisores naturais.

18 Epístola de Eratóstenes Método para verificar se um número é primo. Passo 1: Liste os números naturais que o quadrado é menor que o número a se verificar. Passo 2: Verificar quais são os divisores da lista, através dos critérios de divisibilidade. Exemplo 1: Verificar se 221 é primo. Resolução: 13²= ²= ²= ² > 221, então vamos verificar até não é primo.

19 Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 1: Encontre quantos divisores possui o número 36. Resolução: = = d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9

20 Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 2: Encontre quantos divisores possui o número 540. Resolução: = = d = (2+1).(3+1).(1+1) = = 24

21 Quantidade de Divisores de Um Número Fatorar o número e efetuar o produto de cada expoente acrescido de uma unidade. Exemplo 3: O número 9.10 x possui 12 divisores. Calcule x. Resolução: As bases devem ser números primos x = x.5 x (2 + 1).(x + 1).(x + 1) = d 3.(x + 1) 2 = 12 (x + 1) 2 = 4 x 2 + 2x + 1 = 4 x 2 + 2x - 3 = 0 x 1 = 1 2 S = {1} -

22 Conhecendo os Divisores de Um Número Exemplo 1: Encontre o conjunto dos divisores de , 6, 12 9, 18, = = d = (2+1).(2+1) = 3.3 = 9 D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

23 Conhecendo os Divisores de Um Número Exemplo 2: Encontre o conjunto dos divisores de = = d = (2+1).(2+1).(1+1) = = 18 3, 6, 12 9, 18, 36 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180 D(180) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180}

24 M.M.C.(a, b). M.D.C.(a, b) = a.b Exemplo 1: Sabendo que M.M.C.(20, x) = 180 e M.D.C.(20, x) = 4, calcule x. M.M.C.(20, x). M.D.C.(20, x) = 20. x = 20. x 720 = 20. x x = 36 S = {36}

25 Aula 01 mtm B FIM