Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 20 de Março de 2015

Transcrição

1 20 de Março de 205 She looked him in the eyes and told him quite tenderly, You re 59, I m 6, together we combine to become twice what 60 could ever be. At this point 59 had tears in his eyes, Was so glad to have this one-of-a-kind girl in his life. He told her the very definition of being prime Was that with only one and himself could his heart divide, And she was the one he wanted to give his heart to, She said she felt the same and now she knew the films were half true. Because that wasn t real love, that love was just a sample, When it came to real love, they were a prime example. (Harry Baker) Ver: TED Talk Sumário Revisão 2. Regras de sinais Múltiplos e Divisores Números Primos Fatoração Encontrando os Divisores Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Algoritmo Propriedades Voltar para o Sumário MAT- Revisão p.

2 20 de Março de 205 Revisão. Regras de sinais Nas operações de multiplicação e divisão: Sinais Resultado Iguais + Diferentes.2 Múltiplos e Divisores Sejam os números inteiros a, b, q e r, sendo que b 0, e ainda 0 r < b. Então dizemos que a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente, r é o resto. E podemos escrever a seguinte expressão: a = b q + r Quando r = 0, ou seja, a divisão é exata, temos que a = bq. Dizemos então que a é um múltiplo de b, b é um divisor de a, a é divisível por b. Exemplo: Como podemos escrever 6 = 2 3 e também 6 = 3 2, temos que 6 é múltiplo de 2 e de 3. Além disso, temos também que 2 e 3 são divisores de 6. Obs.: Se escolhermos b = 2, e respeitando a condição dada anteriormente 0 r < b, teremos duas possibilidades para o valor de r: r = 0 ou Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 2

3 20 de Março de 205 r =. Assim, todo número inteiro a pode ser escrito de uma das formas a seguir: a = 2q (dizemos que a é par), a = 2q + (dizemos que a é ímpar). Ou seja, os números inteiros múltiplos de 2 são números pares e os números inteiros que não são múltiplos de 2 são números ímpares. Exercícios resolvidos. A soma de dois números ímpares é par? Resolução Vamos considerar dois números ímpares, 2n + e outro 2m +, sendo que n e m são inteiros. Somando-os, temos: (2n + ) + (2m + ) = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + ) Como (n + m + ) Z, temos como resultado um número par. Logo, a soma de dois números ímpares é par. 2. Mostre que: (a) Se a é um número par, então a 2 é par. (b) Se a é um número ímpar, então a 2 é ímpar. Resolução (a) Como a é par, podemos escrever a = 2n. Assim, temos que a 2 = (2n) 2 = 4n 2 = 2(2n 2 ) Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 3

4 20 de Março de 205 Visto que (2n 2 ) Z, concluímos que a 2 é um número par. (b) Como a é ímpar, podemos escrever a = 2n +. Assim, temos que a 2 = (2n + ) 2 = 4n 2 + 4n + = 2(2n 2 + 2n) + Visto que (2n 2 + 2n) Z, concluímos que a 2 é um número ímpar..3 Números Primos É chamado de número primo todo número inteiro que possui apenas dois divisores positivos. E chamamos de número composto todo número inteiro que não é primo. Exemplos: 2 é um número primo, pois só é divisível por e por 2. 6 é um número composto, pois é divisível por, por 2, por 3 e por 6..4 Fatoração Seja um número inteiro diferente de 0, ou. Então podemos escrever, de forma única, esse número como um produto de números primos positivos. Fatorar um número é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de fatores primos. Para isso, usamos o seguinte processo:. Escrevemos o número a ser fatorado e ao lado uma barra Dividimos o número à esquerda pelo seu menor divisor primo Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 4

5 20 de Março de Repetimos o item anterior até chegarmos na unidade Assim, podemos escrever 20 = Encontrando os Divisores Para determinar os divisores positivos de um número, por exemplo o 20, vamos utilizar o algoritmo a seguir:. Fatoramos o número Construímos mais uma coluna à direita e escrevemos acima dos outros números Multiplicamos cada número da segunda coluna pelos números da terceira coluna que estão acima dele. Para o primeiro número, temos Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 5

6 20 de Março de 205 Em seguida, , 4 Ao final do processo, temos , 4 5, 0, 0, 20 Portanto, os divisores positivos de 20 são os números na terceira coluna, ou seja, são os números, 2, 4, 5, 0 e 20. Denotamos o conjunto dos divisores positivos de 20 por D + (20) = {, 2, 4, 5, 0, 20}. Obs.: Ao fatorar um número k Z, obtemos o produto k = a m b n c p..., sendo que a, b e c são primos e m, n, e p são números naturais. Então, o número de divisores positivos de k será o resultado da multiplicação (m + ) (n + ) (p + ).... Exemplo: Vimos que 20 = Portanto, o total de divisores positivos de 20 deve ser (2 + ) ( + ) = 6. Conforme visto anteriormente, os divisores positivos de 20 são os números, 2, 4, 5, 0 e 20. Ou seja, há 6 divisores positivos..5 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum Chamamos de máximo divisor comum (MDC), entre dois números inteiros a e b, o maior entre os divisores comuns de a e b. Chamamos de mínimo múltiplo comum (MMC), entre dois números inteiros a e b, o menor entre os múltiplos comuns positivos de a e b. Exemplo: Considere os números 2 e 8. Os conjuntos dos divisores positivos e dos múltiplos positivos desses números são: Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 6

7 20 de Março de 205 D + (2) = {, 2, 3, 4, 6, 2} D + (8) = {, 2, 3, 6, 9, 8} M + (2) = {2, 24, 36, 48, 60, 72,...} M + (8) = {8, 36, 54, 72, 90, 08,...} Obs.: O número 0 é múltiplo de todos os números, mas como é um elemento neutro não aparece nos conjuntos dos múltiplos positivos M +. Assim, o MDC(2, 8) = 6, pois é o maior valor que aparece tanto em D + (2) quanto em D + (8). E o MMC(2, 8) = 36, já que é o menor valor que aparece tanto em M + (2) quanto em M + (8)..5. Algoritmo Outra forma para determinar o MDC e o MMC entre dois números inteiros a e b é realizando o seguinte processo:. Fatoramos, simultaneamente, os números a e b. Ou seja, devemos determinar o menor primo positivo que divide pelo menos um dos números da coluna à esquerda. 2. Identificamos os fatores primos que dividiram ambos os números da coluna da esquerda. 3. O MMC será o produto de todos os números da coluna à direita. 4. O MDC será o produto de todos os números identificados na etapa 2. Exemplo: Vamos aplicar esse processo para os números 2 e 8.. Na primeira etapa, teremos 2, 8 2 6, 9 2 3, 9 3, 3 3, 2. Agora, identificamos os divisores comuns Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 7

8 20 de Março de 205 2, 8 2 6, 9 2 3, 9 3, 3 3, 3. Portanto, o MMC(2, 8) = = Logo, o MDC(2, 8) = 2 3 = Propriedades Considere dois números inteiros a e b. Então,. MMC(a, b) = MMC( a, b) = MMC(a, b) = MMC( a, b) 2. MDC(a, b) = MDC( a, b) = MDC(a, b) = MDC( a, b) 3. MDC(a, b) MMC(a, b) = a b Exemplo: Determine o MMC e o MDC entre os números 2, 6 e 0. Resolução Utilizando as propriedades e 2, temos que MMC( 2, 6, 0) = MMC(2, 6, 0) MDC( 2, 6, 0) = MDC(2, 6, 0) Assim, utilizando o processo visto anteriormente: 2, 6, 0 2, 3, 5 3,,,, Portanto, MMC(2, 6, 0) = = 30 MDC(2, 6, 0) = 2 Voltar para o Sumário MAT- Revisão p. 8