Decomposição de um número composto. Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: = 2 2 X 3 X 5 X 7

Transcrição

1 Decomposição de um número composto Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos Ex: = 2 2 X 3 X 5 X 7

2 Determinação do número de divisores de um número natural n Você deve decompor n em fatores primos, adicionar uma unidade aos expoentes desses fatores e efetuar o produto dos números obtidos. Ex: no exemplo anterior o número 420 tem: 420= 2 2 x 3 x 5 x 7 (2+1)x(1+1)x(1+1)x(1+1)=3 x 2 x 2 x 2= 24 divisores

3 Determinação dos divisores de um número natural Ex: Quais são os divisores do número 480? 1 - Faça a decomposição do nº 480 em fatores primos. 2 - Trace uma vertical à direita dos fatores primos. 3 - Escreva o nº 1 à direita do traço vertical. 4 - Multiplique o primeiro fator primo 2 por 1 e escreva o resultado do 2 abaixo da unidade. 5 - Multiplique todos os fatores primos pelos números que estão à direita do traço vertical, sem repetir eventuais resultados. 6 - Os números obtidos à direita do traço vertical são os divisores de 480.

4 Determinação dos divisores de um número natural ,6,12,24,48,96 5 5,10,20,40,80,160,15,30,60,120,240,480

5 Máximo divisor comum Dados dois números naturais a e b, não nulos, chama-se máximo divisor comum de a e b a um número natural c, tal que: C é divisor comum de a e b; Todo divisor comum de a e b é divisor de c. Representa-se o máximo divisor comum de dois números naturais a e b pelas seguintes notações: m.d.c(a,b) ou a b

6 Máximo divisor comum Processo para a determinação do m.d.c Algoritmo de Euclides ou processo das divisões sucessivas Ex: m.d.c de 423 e 45 m.d.c.(423,45)=9 ou =

7 Decomposição em fatores primos ex: m.d.c. de 180, 600 e = 2 2 x3 2 x = 2 3 x3x = 2 4 x

8 Decomposição em fatores primos Os fatores primos comuns são os números 2 e 3 O máximo divisor comum é o produto dos fatores primos comuns, com os menores expoentes. Portanto, m.d.c(180,600,48)= 2 2 x3 =12

9 Propriedades do m.d.c. a b = b a 36 45= 45 36= 9 Se a for divisor de b, então a b=a 5 é divisível de 15, então 5 15= 5 1 a = a 1= 1 1 7= 7 1= 1 a b= 1 quando a e b são primos entre si 6 13= 1 pois 6 e 11 são primos entre si (a b) c= a (b c) (3 15) 6= 3 (15 6)= 3 Os divisores comuns de dois ou mais números são divisores do seu m.d.c Se multiplicarmos vários números pelo número k (k 0), o seu m.d.c. ficará multiplicado por k. Se dividirmos vários números por um divisor desses números, o seu m.d.c. ficará dividido por k. Os divisores comuns de 36 e 45 são os divisores do seu m.d.c.=9, cujos divisores são 1,3 e = 3, então, (3 x 2) 15 x 2 6 2= 3 x 2= =30, então 30:10 150:10 60:10= 30:10 ou =3

10 Mínimo Múltiplo Comum Dados dois números naturais a e b, não nulos, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b a um número natural m, diferente de zero, tal que: - M é múltiplo comum de a e b. - Todo múltiplo comum de a e b é múltiplo de m. Representa-se o mínimo múltiplo comum de dois números naturais a e b pelas seguintes notações: m.m.c. (a,b)=m ou a U B= m

11 Processos para a determinação de m.m.c Processo da decomposição simultânea Ex: m.m.c. de 48,120, U 120 U 180= 2 4 X 3 2 X 5=

12 Processo da decomposição em fatores primos Ex: m.m.c. de 48,120 e Os fatores primos comuns são 2 e O fator 5 não é comum O mínimo múltiplo comum é igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes. - Portanto o m.m.c.(48,120,180)= 2 4 x3 2 x5= 620

13 Propriedades do m.m.c aub = bua 12 U 56= 56 U 12= 168 Se a for múltiplo de b, então aub=a 12 é múltiplo de 4, então 12 U 4=12 O m.m.c. de dois números primos entre si (a b)=1 é o produto deles a b=1 aub = axb 6 11=1 6 U 11= 6 X =1 7 U 10= 7 X 10 (a U b)u c = a U (b U c) (12 U 8) U 3= 12 U (8 U 3)= 24 Os múltiplos comuns de dois ou mais números são múltiplos do seu m.mc Se multiplicarmos dois ou mais números por um número K(K 0), o seu m.m.c. ficará multiplicado por K. Os múltiplos comuns de 8 e 12 são os múltiplos de 24 que é o m.m.c.(8,12), isto é, os múltiplos comuns de 8 e 12 são: 6,24,48, U 6 U 3=18, então: (18 x 3) U (6 X 3) U (3 X 3)= 18X3= 54 Se dividirmos dois ou mais números por um divisor K desses números, o seu m.m.c. ficará dividido por K (K 0) 180 U 60 U 30=180, então 180:10 U 60:10 U 30:10= 180:10 = 18

14 Propriedade do m.d.c. e do m.m.c. de dois números naturais O m.m.c. de dois números multiplicado pelo seu m.d.c. é igual ao produto dos números Ex: Sejam os números 24 e U 4=24 e 24 4=4 Então: (24 U 4) X (24 4)= 24 X 4= 96

15 Conjunto do números inteiros z - Conjunto de números inteiros não nulos - z z = {...,-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} - Conjunto de números inteiros não negativos- z+ z+ = {0,1,2,3,4...} - Conjunto de números inteiros positivos- z + z + = {1,2,3,4...} - Conjunto de números inteiros não positivos- z- z- = {..., -4, -3, -2, -1,0} - Conjunto de números inteiros não negativos- z z - = {...,-4, -3, -2, -1,}

16 Operações com números inteiros - Adição adicionar números inteiros do mesmo sinal é adicionar os valores absolutos das parcelas e dar à soma o sinal comum dessas parcelas. Ex: (+3) + (+6)= +9 = 9 ; (-5) + (-2) = -7 - Subtração subtrair números inteiros é adicionar ao primeiro o simétrico ou oposto do segundo. Ex: (+8) (-5)= (+8) + (+5) = 13 ; (-7) - (+2)= (-7) + (-2) = Multiplicação O produto de números inteiros de mesmo sinal é positivo e de sinais contrários é negativo. Ex: (+3) x (+2)= +6 ; (-3) x (-2) = +6 ; (-3) x (+2)= -6 - Divisão O quociente de números inteiros segue a mesma regra do produto. Ex: (-5) : (-1)= 5 ; (-10) : (-2) = 5 ; (-9) : (+3) = -3

17 Operações com números inteiros - Potenciação Seja n um número natural positivo e x um número inteiro: Toda potência de base inteira e expoente ímpar conserva o sinal da base Ex: (+2) 3 = +8 ; (-2) 3 = -8 Toda potência de base e expoente par é um número não negativo Ex: (-2) 4 = +16 ; (-3) 2 = +9 a m x a n = a m+n ex: (-2) 3 x (-2) 2 = (-2) 5 = -32 (a x b) m = a m x b m ex: (2 x 3) 2 = 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = 36 a m : a n = a m-n ex: 3 5 : 3 2 = 3 3 = 27 (a:b) n = a n : b n ex: (8:2) 2 = 8 2 :2 2 = 64:4 = 16 (a m ) n = a mxn ex: (2 2 ) 2 = 2 4 = 16

18 Radiciação Sejam a, b e n números inteiros com n maior que zero Se o índice n for um número par Se o índice n for um número ímpar Radicando a 0 Radicando a <0 n a n = a n a n = -a n a n = a para todo a ϵ Z