I-EXPRESSÕES NUMÉRICAS

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1 I-EXPRESSÕES NUMÉRICAS São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Exemplos: a) b) c) (15-4) = + 4 = 4 Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { } podem funcionar como verdadeiras vírgulas. A expressão pode ter resultados diferentes, conforme a colocação dos parênteses: (9 4) + 3 = = 8 9 (4 + 3) = 9 7 = 2 Prioridade das operações numa expressão matemática Nas operações em uma expressão matemática deve-se obedecer a seguinte ordem: 1º) Potenciação ou Radiciação 2º) Multiplicação ou Divisão 3º) Adição ou Subtração Observações quanto à prioridade: a) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. b) A multiplicação pode ser indicada por um x ou por um ponto ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Multiplicação e Divisão de Números Reais: Soma e subtração de Números Reais Prevalece o sinal do maior. Exemplo 1: Resolva a seguinte expressão: 1 Exemplo 2: Resolva a seguinte expressão: ( 4) 2( 5) = = 18 Exemplo 3: Resolva a seguinte expressão: 20 + [ (3 5). 2] = 20 + [ ( 2). 2] = 20 + [ ] = 20 + [3 10 4] = 20 + [ 11] = = 9 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Calcule o valor das expressões abaixo: a) 20 [(8 3) + 4] 1 b) 123 [90 ( ) 1] c) 10 + [ 8 ( 1 + 2)] d) 3 [8 + ( 6 3) + 1] e) 8 (4 + 5) [3 (6 11)] f) ( 2) [9 + (7 3 6) 8] g) 1 + [ 7 ( 2 + 6) + ( 2)] ( 6 + 4) h) 6 {4 + [ 7 ( )]} i) 3 [( 1 + 6) + 4 ( 1 2) 1] j) 2 ( 2) { 6 [ 3 + ( 3 + 5)]} 8 2) Calcule o valor das expressões abaixo:

2 a) : b) (21 15) : ( ) + 1 c) : 2 d) : 4 e) 30 : ( 6) + ( 18) : 3 f) 7 : ( 7) + 2( 6) + 11 g) : (4 + 5) 2 II-OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Nos números decimais, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. a) 7/10 = 0,7 b) 3/100 = 0,03 c) 27/1000 = 0,027 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Efetue as adições: a) 12, = b) 12,5 + 0,07 = c) 12,8 + 3,27 = d) 31,3 + 29,7 = e) 107, ,7 = f) 83, ,08 = g) 275, ,3 = h) 94, ,571 = i) 189, ,24 = j) 13, ,48 = 2) Efetue as subtrações: a) 85,3 23,1 = b) 97,42 31,3 = c) 250,03 117,4 = d) 431,2 148,13 = e) ,72 = f) 1050,37 673,89 = g) 3 1,07 = h) 98 39,73 = i) 43,87 17 = j) ,03 = 3) Efetue as multiplicações: a) 200 x 0,3 = b) 130 x 1,27 = c) 93,4 x 5 = d) 208,06 x 3,15 = e) 0,3 x 0,7 = f) 112,21 x 3,12 = g) 12,1 x 4,3 = h) 243,5 x 2,53 = i) 357 x 0,5 = j) 793 x 0,07 = 4) Efetue as divisões: a) 3 : 2 = b) 21 : 2 = c) 7 : 50 = d) 9,6 : 3,2 = e) 4064 : 3,2 = f) 1,5 : 2 = g) 4,8 : 30 = h) 1,776 : 4,8 = i) 7,502 : 12,4 = j) 0,906 : 3 = k) 50,20 : 5 = l) 21,73 : 1,06 = m) 35,28 : 9,8 = EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO a) Um milionário, antes de morrer, deixou escrito no testamento: Dos três milhões que tenho no banco, deixo 1 milhão e 800 mil para instituições de caridade e o restante para ser repartido igualmente entre meus três filhos. Quanto recebeu cada filho? b) João tem 26 tickets refeição e André tem o triplo. Quantos tickets refeição têm os dois juntos? c) Dois operários, Paulo e Pedro, cobram juntos, R$ 385,00 por um trabalho a ser realizado em 5 dias. Paulo ganha R$ 32,00 por dia de trabalho. Quanto ganhou Pedro pelo trabalho? d) Gaspar comprou uma bicicleta pagando um total de R$ 970,00, sendo R$ 336,00 de entrada e o restante em 8 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação? 2

3 e) José mandou fazer, de alumínio, as janelas de sua casa. Deu uma entrada de R$ 250,00 quando fez a encomenda e o restante vai pagar em quatro parcelas iguais de R$ 145,25 cada uma. Qual a quantia que José vai gastar para fazer as janelas? f) O preço de uma corrida de táxi é formado de duas partes: uma fixa, chamada bandeirada, e uma variável, de acordo com o número de quilômetros percorridos. Em uma cidade, a bandeirada é de R$ 4,00 e o preço por quilômetro percorrido é de R$ 2,00. Quanto pagará uma pessoa que percorrer, de táxi, 12 quilômetros? g) Regina comprou roupas, gastando um total de R$ 814,00. Deu R$ 94,00 de entrada e o restante da dívida vai pagar em 5 prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação? III-OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Fração: Chamamos de fração a uma ou mais partes do inteiro, dividido em partes iguais. É representada por um par de números naturais a e b, com b 0, onde: b indica o número de partes em que foi dividido o todo e a indica o número de partes consideradas. A fração será escrita como a/b, onde a representa o numerador e b o denominador. 2/3, que representa um inteiro dividido em três partes iguais, onde consideramos duas delas. Leitura e representação de frações Multiplicamos o denominador pela parte inteira e adicionamos o produto ao numerador. O denominador será o mesmo da parte fracionária. Operações entre frações a) Soma e subtração de fração: deve-se tirar o MMC entre os denominadores. b) Produto de fração: deve-se multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador c) Divisão de fração: repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo. _ I) Soma: a) _1_ + _4_ = _5_ b) _1_ + _4_ = = m.m.c (2,3) = 6 II) Subtração: a) _1 _4_ = _- 3_ b) _1 _4_ = 3-8 = m.m.c (2,3) = 6 Transformação de número misto em fração 3

4 III) Multiplicação a) _1_. _4_ = _4_ Transformar Número Decimal em Fração 0,2 = 0,5 = 0,25 = b) _2_. 4 = _8_ 3 3 0,02 = 0,0005 = c) 3. _2_ = _6_ = III) Divisão a) _1_ : _4_ = _1_. _3_ = 3_ ,5 = Transformar Dízima Periódica em Fração Geratriz 0, = 0, = 0, = 0, = b) _1_ : 2 = _1_. _1_ = 1_ , = Fração Decimal Chama-se fração decimal toda fração cujo denominador é 10 ou potência de 10. c) 4 : _8_ = 4. _5_ = _20_ = a) 7/10 b) 3/100 c) 27/1000 4

5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Efetue as operações: a) 3/6 + 2/6 = b) 13/7 + 1/7 = c) 7/9 5/9 = d) 9/5-2/5 = e) 5/4 + ¾ ¼ = f) 1/8 + 9/8-3/8= g) 1/3 + 1/5 = h) ¾ + ½ = i) 2/4 + 2/3 = j) 2/5 + 3/10 = k) 5/3 + 1/6 = l) ¼ + 2/3 + ½ = m) 5/4 ½ = n) 3/5 2/7 = o) 8/10 1/5 = p) 2 + 5/3 = q) 7 + ½ = r) 3/5 + 4 = s) 6/7 + 1 = t) 3/5 + ½ 2/4 = u) 2/3 + 5/6 ¼ = v) 4/5 ½ + ¾ = x) 5/7 1/3 + ½ = 2) Efetue as multiplicações: a) ½ x 8/8 = b) 4/7 x 2/5 = c) 5/3 x 2/7 = d) 4/3 x ½ x 2/5 = e) 1/5 x ¾ x 5/3 = f) 2 x 2/3 x 1/7 = 3) Efetue as divisões: a) ¾ : 2/5 = b) 5/7 : 2/3 = c) 7/8 : ¾ = d) 8/7 : 9/3 = e) 5 : 2/3 = f) 3/7 : 2 = 4) Calcule o valor das expressões: a) 5/8 + ½ -2/3 = b) 5 + 1/3-1/10 = c) 7/8 ½ ¼ = d) 2/ /10 = e) ½ + 1/6 x 2/3 = f) 3/10 + 4/5 : ½ = g) 7/4 ¼ x 3/2 = h) ½ + 3/2 x ½ = i) 1/10 + 2/3 x ½ = 5) Encontre a geratriz das seguinte dízimas periódicas: a) 0, = b) 0, = c) 0, = d) 0, = e) 0, = 6) Calcule o valor de: a) 0, , = 2/33 7) Transforme as frações em números decimais a) 3/10 = b) 45/10 = c) 517/10 = d) 2138/10 = e) 57/100 = f) 2856/1000 = g) 4761 / = h) /10000 = 8) Transforme os números decimais em frações a) 0,4 = b) 7,3 = c) 4,29 = d) 0,674 = 5

6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO m) De um total de 240 pessoas, 1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol? a) Determine 2/3 de R$ 1200,00. b) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. n) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? c) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça? d) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros percorreu? e) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos ¾. Quantos quilômetros já foram percorridos? f) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas você estudou? o) Numa prova de 40 questões um aluno errou ¼ da prova. Quantas questões ele acertou? p) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? q) Um brinquedo custou R$ 152,10. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo? g) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? r) Uma caneca tem 3,7 litros de leite que vai ser dividido por copos de 1/4 de litro. O número de copos que ficarão cheios será: h) Os ¾ do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? i) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? j) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade desse reservatório? k) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada? l) Para revestir ¾ de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede? s) DESAFIO - Uma senhora foi vender ovos para a feira. Ao primeiro cliente vendeu 1/7 dos ovos. Ao segundo cliente vendeu 2/5 dos restantes. Depois de atender os dois primeiros clientes ficou com 54 ovos. Quantos ovos a senhora levou para a feira? t) DESAFIO - Um matemático de nome Crestani assistia a uma corrida de automóveis pela televisão, quando seu filho Borges lhe perguntou: E aí, pai... Como vai indo o Rubinho? O matemático respondeu: Filho, 1/8 dos corredores está à frente de Rubinho, e 5/6, à sua retaguarda. pelos cálculos do matemático, a classificação atual de Rubinho é: 6

7 IV-OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS Números Primos São aqueles que possuem somente dois divisores, ele mesmo e a unidade. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...} I) Divisor: Definimos divisores de um número, como sendo o conjunto numérico formado por todos os números que o dividem exatamente. Roteiro para obtermos os Divisores de um número 36 Decomposição em fatores primos Decompor em fatores primos é realizar todas as possíveis divisões em fatores crescentes de primos. Decompor o número 120 em fatores primos 120 Portanto, o conjunto dos divisores de 36 é: D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Roteiro para obtermos o Nr de Divisores de um número Divisores e Múltiplos de um Número *Observação: Na divisão de dois números, o primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. 8 3 (vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatorar o número = º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resultando assim o número de divisores naturais do número 36 = ( ). ( ) = 3. 3 = 9 Então, 36 possui 9 divisores naturais. Obs: Q. d + R = D 7

8 II) Múltiplo: O conjunto dos múltiplos do número 3. DIVISIBILIDADE POR 5: Um número é divisível por 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. D(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,... } Critérios de divisibilidade Um número é divisível por outro quando, ao ser dividido, o resultado é sempre exato, ou seja, o resto é sempre igual a zero. DIVISIBILIDADE POR 6: Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente. DIVISIBILIDADE POR 2: Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar. DIVISIBILIDADE POR 10: Um número é divisível por 10, quando o algarismo das unidades for 0 ( zero ) DIVISIBILIDADE POR 3: Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. DIVISIBILIDADE POR 4: Um número é divisível por 4, quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for 00 ou divisível por 4. 8

9 Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC) I) Máximo Divisor Comum: O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente. I) Mínimo Múltiplo Comum: O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente. Calcular o MMC entre 120 e 36 Calcular o MDC entre 120 e 36 Obs: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b m.m.c.(a,b). m.d.c. (a,b) = a. b O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números. 9

10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 01 Uma filha me visita a cada 15 dias; uma outra me visita a cada 18 dias. Se aconteceu hoje a visita das duas filhas, a próxima visita acontecerá daqui ao seguinte número de dias: R: 90 V-POTENCIAÇÃO Onde: a base b expoente x - potência a b = x O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada, isto é: 2) Para equipar as novas viaturas de resgate e salvamento da corporação, dois rolos de cabo de aço, com respectivamente 450m e 600m de extensão, deverão ser repartidos em pedaços iguais e com o maior comprimento possível. A fim de que não haja sobras, a medida de cabo que cada viatura receberá é: R: 150m 10 Exemplo: 2 3 = = 8 (base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8) Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a 1 = a a 0 = 1, a 0 Propriedades da Potenciação I) a m. a n = a m+n = = 2 7 II) a m : a n = a m-n 3 4 : 3 2 = = 3 2 III) (a m ) n = a m.n (2 3 ) 5 = = 2 15 IV) (a.b) m = a m. b m (2.5) 2 = V) (a/b) m = a m / b m (3/4) 2 = 3 2 / 4 2 VI) a -n = (1/a) n = 1/a n 2-3 = (½) 3 = 1/2 3 VII) a m/n = n a m 4 ½ = 4

11 a) ATENÇÃO!! -2 4 (-2) VI-RADICIAÇÃO I) b) (3 2 ) 5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO II) 1) Calcule: a) 2 3 b) 99 0 c) d) 2 4 III) e) 2-3 f) 2-1 g) 3-2 h) (½) 2 IV) i) (½) -2 2) Calcular: a) b) c) d) e) (½) 3. (½) f) - (-2) 5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Determine as raízes: a) 256 b) 0,04 c) 3-8 d) 16 3 e) 64 g) 3-2 h) (3/5) -3 11

12 2) Efetue: a) b) Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. a) Calcular 10% de ) Racionalize os denominadores: a) b) Calcular 25% de 200. b) c) VIII-REGRA DE TRÊS d) VII-PORCENTAGEM Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. 7/100, 16/100, 125/100 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. A regra de três pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente proporcional. Obs: G.D.P G.I.P Aumenta / Aumenta Diminui / Diminui Aumenta / Diminui Diminui / Aumenta Acompanhe a resolução de exemplos utilizando a regra de três. 12

13 I) Regra de três simples Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65Km. Quantos litros gastará num percurso de 910Km? R: 140 II) Regra de três simples inversa Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens, nas mesmas condições, executam em 9 dias? R: 6 III) Regra de três composta Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? R: 25 13

14 Gabarito: I-Expressões Numéricas (Exercícios de Fixação) 1) a) 10 b) 122 c) 1 d) -3 e) -9 f) 3 g) -10 h) 7 i) -14 j) 1 2) a) 10 b) 2 c) 11 d) -15 e) -11 f) -2 g) 24 III-Operações com Frações (Exercícios de Fixação) 1) a) 5/6 b) 2 c) 2/9 d) 7/5 e) 7/4 f) 7/8 g) 8/15 h) 5/4 i) 7/6 j) 7/10 k) 11/6 l) 17/12 m) ¾ n) 11/35 o) 3/5 p) 11/3 q) 15/2 r) 23/5 s) 13/7 t) 3/5 u) 5/4 v) 21/20 x) 37/42 2) a) 1 b) 8/35 c) 10/21 d) 4/15 e) 1/4 f) 4/21 3) a) 15/8 b) 15/14 c) 7/6 d) 8/21 e) 15/2 f) 3/14 II-Operação com números decimais (Exercícios de Fixação) 1) a) 31,48 b) 12,57 c) 16,07 d) 61 e) 139,73 f) 100 g) 404,34 h) 130,851 i) 373 j) 15,753 2) a) 62,2 b) 66,12 c) 132,63 d) 283,07 e) 376,28 f) 376,48 g) 1,93 h) 58,27 i) 26,87 j) 177,97 3) a) 60 b) 165,1 c) 467 d) 665,389 e) 0,21 f) 350,0952 g) 52,03 h) 616,055 i) 178,5 j) 55,51 4) a) 1,5 b) 10,5 c) 0,14 d) 3 e) 1270 f) 0,75 g) 0,16 h) 0,37 i) 0,605 j) 0,302 k) 10,04 l) 20,5 m) 3,6 II-Operação com números decimais (Exercícios de Aplicação) a) b) 104 c) R$ 225 d) R$ 79,25 e) R$ 831 f) R$ 28 g) R$ 144 4) a) 11/24 b) 157/30 c) 1/8 d) 113/3 e) 11/18 f) 19/10 g) 11/8 h) 5/4 i) 13/30 5) a) 7/9 b) 23/99 c) 124/990 d) 43/900 e) 11/900 6) a) 47/6 7) a) 0,3 b) 4,5 c) 51,7 d) 213,8 e) 0,57 f) 2,856 g) 0,4761 h) 1,5238 8) a) 4/10 b) 73/10 c) 429/100 d) 674/1000 III-Operações com Frações (Exercícios de Aplicação) a) 800 b) 32 c) 18m d) 360 km e) 54 km f) 200 g) 200 h) 1200 i) 75 j) 600 litros k) 270 km l) 200 m) 210 n) 400 km o) 30 p) 18 q) R$ 126,75 r) 14 s) 105 t) 4º lugar V-Potenciação 1) a) 8 b) 1 c) 456 d) 16 e) 1/8 f) ½ g) 1/9 h) 1/4 i) 4 2) a) 1 b) 1/3 c) 65/8 d) 1/25 e) 2-4 f) 32 g) 1/9 h) 125/27 VI-Radiciação 1) a) 16 b) 0,2 c) -2 d) 2 e) 2 2) a) 5 b) 3 3) a) 4 3 b) 3 10 c) d) 2(5-5) 14