Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas

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1 Matemática Básica Introdução / Operações matemáticas básicas 0. Softwares que podem ser úteis no estudo da disciplina: Geogebra gratuito, possui versões para windows e linux disponível em wxmaxima gratuito, possui versões para windows e linux disponível em wxmaxima.sourceforge.net Maple Bibliografia BÁSICA: Graphmatica possui versão gratuita para windows e para Mac. IEZZI, Gelson (Et Al) - Fundamentos de Matemática Elementar Vol. I, Conjuntos e Funções e Trigonometria Vol. III, São Paulo. Ed. Atual, 985. BONJORNO & GIOVANI Matemática Fundamental Vol. I, São Paulo, Ed. FTD COMPLEMENTAR:. NETO, Aref Antar - Matemática Básica, São Paulo, Ed. Atual, 995. FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, Cálculo A, Ed. Makron Books, São Paulo, 99. Matemática Básica - 0 pg. /0 Revisão: 05

2 3. Números importantes O valor de π (Pi) Pi, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. Apesar dessa antiguidade, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas; com efeito, Pi é um dos poucos objetos estudados pelos antigos gregos, há mais de 000 anos, que ainda continua sendo pesquisado. A maior parte dessas pesquisas centram-se no estudo das propriedades de Pi e na invenção de novos métodos para calcular seu valor. Pi é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente. O valor de π determinado no software Maple (maplesoft.com): > evalf(pi, 75); O valor de e Na matemática, número de Euler, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 68 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. É definido como: e = lim h 0 ( + h) h ou e = lim h ( + h) h O valor de e determinado no software Maple (maplesoft.com): > evalf(exp(), 75); Matemática Básica - 0 pg. /0 Revisão: 05

3 4. As operações fundamentais Operação Descrição Propriedades Adição Subtração Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro: a + 0 = a Comutativa: (a + b) = (b + a) Associativa: não possui! (a b) c a (b c) Elemento neutro: a 0 = a Comutativa: não possui! (a b) (b a) Multiplicação Divisão Associativa: (a b) c = a (b c) Elemento neutro: a = a Comutativa: (a b) = (b a) Distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) Associativa: não possui! (a b) c a (b c) Elemento neutro: a = a Comutativa: não possui! (a b) (b a) Nota importante: A divisão por zero é indeterminada (não existe)! - a divisão por zero é uma indeterminação. Matemática Básica - 0 pg. 3/0 Revisão: 05

4 5. Operações básicas ordem de prioridade Ordem de realização de operações matemáticas:. Em expressões nas quais aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores;. Operações potenciação e radiciação, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda para a direita); 3. Operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda para a direita); 4. e depois adições e subtrações, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda para a direita); Quando à frente do sinal da reunião (parênteses, colchetes ou chaves) eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Somas e subtrações algébricas: Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior valor. Multiplicação e divisão algébricas: Sinais iguais: a resposta terá sinal positivo. Sinais diferentes: a resposta terá sinal negativo. 6. Números primos Um número natural ( n N ) é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo. Notas importantes: O número, por definição, não é primo. O número é o único número primo que é par. No conjunto dos números inteiros ( n Z ), n é um primo se ele tem exatamente quatro divisores distintos: ± e ±n. (a) Decomposição de um número em um produto de fatores primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado no exemplo a seguir: Determinação dos fatores primos do número 50: Matemática Básica - 0 pg. 4/0 Revisão: 05

5 . Escrever o número a ser decomposto;. Traçar uma linha vertical ao lado do número; 3. Determinar o menor número primo divisor do número à esquerda. 4. Escrever este divisor ao lado direito da linha vertical. 5. Efetuar a divisão (o número da esquerda dividido pelo divisor primo, à direita). 6. Anotar o quociente da divisão ao lado direito da linha vertical, abaixo do número inicial. 7. Repetir o processo, desde o passo 3, até que o quociente da divisão seja igual a. Com isso, determinamos que o número 50 é igual a: 3 5 (b) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Uma das formas para a determinação do m.m.c. de um conjunto de números dados, estes números são simultaneamente decompostos em seus fatores primos o exemplo a seguir demonstra o processo. O m.m.c. é usado para a homogenização dos denominadores de frações ordinárias (é uma forma de realizarmos operações de soma e subtração com estas frações). Determinar o m.m.c. entre, 6 e 45:. Escrever os números para os quais se quer determinar o m.m.c., separados por vírgula.. Traçar uma reta vertical à direita do último número. 3. Determinar o menor número primo que seja divisor de pelo menos um dos números iniciais. 4. Anotar este número primo ao lado direito da reta vertical. 5. Efetuar a divisão do(s) número(s) divisíveis pelo número primo, indicando o resultado na linha inferior. Os números não divisíveis pelo número primo são repetidos na linha inferior. 6. Repetir o processo desde o passo 3 até que os números em todas as colunas sejam iguais a. 7. Efetuar a multiplicação de todos os fatores determinados (na coluna da direita). O resultado desta multiplicação é o m.m.c. entre os número dados. No exemplo: = 70 Matemática Básica - 0 pg. 5/0 Revisão: 05

6 (c) Máximo divisor comum (m.d.c.) O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Uma das formas de cálculo do m.d.c. entre números dados é o uso da decomposição dos números em seus fatores primos: Determinar o m.d.c. entre, 8 e 36: Fatorar os números dados: = 3 8= = 3 3 Identificar os fatores comuns a todos os números dados: 3 Assim, o m.d.c. entre, 8 e 36 é ( 3) = 6 7. Operações com frações ordinárias Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. Uma fração é dita própria quando o numerador é menor do que o denominador: Exemplos:, 4 7, 4 64 Uma fração é dita imprópria quando o numerador é MAIOR do que o denominador, sendo possível representá-la como um número misto Exemplos: 0 7 = 3 7 = possui resto 3; =,5 ( )+ = 5 o uso de números mistos é muito comum quando são aplicadas unidades de medidas de comprimento do sistema inglês (polegadas). IMPORTANTE: Quando se multiplica o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, a fração não se altera. Matemática Básica - 0 pg. 6/0 Revisão: 05

7 Soma algébrica de frações Para se efetuar a soma algébrica de frações, as diversas parcelas devem ser reduzidas ao mesmo denominador (o m.m.c. entre os denominadores das parcelas) e os numeradores são somados. Para cada parcela, o denominador e o numerador serão multiplicados pelo mesmo valor, o que mantém a fração inalterada. para efetuar a soma algébrica : ) determinar o m.m.c. entre, 6 e (calculando o m.m.c. conforme descrito acima): 6 ) reduzir todas as frações ao denominador comum: = = 6 = 3 Notar que: na primeira fração ( ), quando reduzimos ao denominador comum (que é 6), multiplicamos o denominador original (que é ) por 3 logo, o numerador () também foi multiplicado por 3, assim, a fração passou a ser representada como 3 6. O mesmo procedimento foi usado na última parcela. Após determinarmos o resultado (, calculamos o m.d.c. entre o numerador e o denominador (encontramos 3) e dividimos numerador e denominador pelo m.d.c., encontrando 6) ( 3). Multiplicação de frações Para realizar a multiplicação de frações, multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si a fração resultante é o produto procurado. ( 5) 7 8 Divisão de frações = ( 7) (5 8) = 4 40 = 7 0 Para realizar a divisão de frações, multiplicar a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. Ver exemplo = = = (7 4) (8 ) = 8 8 = 7 Matemática Básica - 0 pg. 7/0 Revisão: 05

8 8. Cálculo da área de algumas figuras planas A = b h A = bh A= r θ s=r θ θ em radianos A= h (a+ b) V =alp Área superf =al+ ap+ lp A = π r = π d² 4 C = πr = π d 9. Exercícios. Colocar os valores em ordem crescente: (a) 7 3, 3 3, 4 3, 3, 6 3, 0 3, 3, (b) 3, 5, 7 4, 3,,,. Calcular o valor das expressões a seguir: (a) (b) 3 4 (4 ) (c) (3 4) 4 (d) (e) 00 ( )+ (f) (4+) (g) (00 4)+ (h) ( ) ( 4+) 3. Posicionar os parênteses de forma que as igualdades sejam verdadeiras: (a) = 7 (c) = 36 (b) = 46 (d) = Decompor os números a seguir nos seus fatores primos: (a) 5 (d) 0 (b) 350 (e) 04 (c) 800 (f) 87 (g) 35 Matemática Básica - 0 pg. 8/0 Revisão: 05

9 5. Calcular o valor das expressões a seguir (expressar os resultados em forma de frações simplificadas): (a) 4 (b) (c) 3 (d) ( ) (e) (f) ( ) ( 4 5) ( ) 6. Determinar o valor de y: (a) 5((7+ y) 8) = 00 (b) [(3, 5, 9,) + y] 4 = 8 7. Determinar o valor das expressões a seguir (onde possível, simplificar antes de usar a calculadora!): (a) (3,) + 0,39 4 5,5 (b) ( 8) ( 4 ) (,) (f) 5 [( 5 ) 5] 3 (c) 3,8 + ( 6) ,8 + 0, (d) [00, ( 0,7)] (e) ( 3) 3 ( ) (g) (7 5)0 7 9 (5 9 ) (h) 0,3 0 0,3 5 0,3 7 0,3 0 (i) 3 (j) (k) ( ) Resolver os problemas envolvendo o cálculo de áreas: (a) Um círculo dado possui área A e diâmetro d. Se dobrarmos o diâmetro deste círculo, qual será a sua área. (b) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento (ver figura). A parte sombreada representa um jardim retangular cuja largura é, também, 3/5 do comprimento. Determinar a razão entre a área do jardim e a área total do terreno. Matemática Básica - 0 pg. 9/0 Revisão: 05

10 (c) Dois lados opostos de um quadrilátero têm um aumento de 40% e os outros dois lados opostos têm um decréscimo de 40%. Qual a variação percentual da área deste quadrilátero? (d) Deseja-se construir um recipiente fechado em forma de cilindro reto com área lateral igual a 44 π m e altura de,0 m. Calcule o volume do recipiente. Supondo que o metro quadrado do material utilizado custa R $ 0,00, calcule o valor gasto na construção do recipiente. (e) Determinar a área correspondente à parte sombreada de cada uma das figuras a seguir (os arcos indicados são circunferências): Matemática Básica - 0 pg. 0/0 Revisão: 05