AUTOR: PROF. PEDRO A. SILVA lê-se: 2 inteiros e cinco sextos. Exs.:, 2 3 Fração aparente É aquela cujo numerador é múltiplo do denominador.

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1 I - NÚMEROS RACIONAIS lê-se: inteiros e cinco sextos. a Dois números a e b ( b 0 ), quando escritos na forma b representam uma fração, onde : b (denominador) e a (numerador). O numerador e o denominador constituem os termos da fração, onde a IN e b IN*. Ex.:, onde é o numerador e o é o denominador. e são chamados também os termos da fração. Obs.: não é fração. 0 II - TIPOS DE FRAÇÃO Fração própria É aquela cujo numerador é menor que o denominador. Ex.: Fração imprópria É aquela cujo numerador é maior ou igual ao denominador. Exs.:, Fração aparente É aquela cujo numerador é múltiplo do denominador. Exs.: Obs.: Todo número natural pode ser considerado como uma fração de denominador igual a. Ex. As frações cujos denominadores são potências de 0 denominam-se frações decimais, e as demais, frações ordinárias. Exemplos:,, são frações decimais ,, são frações ordinárias III - NÚMEROS MISTOS São os números formados por uma parte inteira e uma parte fracionária. Observe: A expressão 6 é formada por uma parte inteira () e uma parte fracionária ( 6 ), pode ser representada por 6, onde Toda fração imprópria (não aparent pode ser escrita na forma mista. Todo número racional escrito na forma mista pode também ser escrito como uma fração imprópria. Exs.: Transformação de fração imprópria em um número misto. (dois inteiros e um terço) Transformação de um número misto em fração imprópria x = IV - FRAÇÕES EQUIVALENTES Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma fração por um número natural diferente de zero, obtém-se uma fração equivalente à fração dada. Ex.: dada a fração são equivalentes: 0 :,: X, X... 6 :,:, X, X...,, Simplificação de frações Para simplificar uma fração, devemos dividir o seu numerador e o seu denominador por um mesmo número maior que um. Ex.: encontrar a fração mais simples possível e equivalente 6 a 60. : : : 6 : : : 60 0 Fração irredutível Quando o numerador e o denominador de uma fração são números primos entre si (o m. d. c entre eles é ), dizemos que a fração é irredutível. Observe: é uma fração irredutível, pois m.d.c (,) = 6 não é uma fração irredutível, pois m.d.c. (6,) Comparação de frações Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador. AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

2 Quando as frações têm denominadores diferentes reduzimos as frações ao menor denominador comum, através do m.m.c., e caímos na situação anterior. Ex.: comparar e Calculado o m.m.c. (,) = 6, dividimos o D comum pelo D de cada fração e multiplicamos o resultado 6 6 pelo N de cada fração. Assim, <, pois 6 < 6. EXERCÍCIOS: ) Determine falso (F) ou verdadeiro (V) ( ) toda fração imprópria é maior que. ( ) toda fração aparente é também imprópria. ( ) todo número natural pode ser representado por uma fração aparente. ( ) uma fração é irredutível quando o m.d.c. dos seus termos é maior que. ) (CESD /) A fração é imprópria, quando equivale um inteiro menos de um inteiro mais de um inteiro qualquer número natural ) Transforme os seguintes números mistos em frações impróprias:. d ) 0 00 ) Transforme as seguintes frações impróprias em números mistos: 0 ) Qual a fração da ano corresponde a meses? 6) Qual a fração do dia representa 0 horas? ) Determine o valor de x, de modo a obter frações equivalentes: x 6 x x ) Determine a fração equivalente a cuja a soma dos termos é ) Determine a fração equivalente a dos termos é. 0) Simplifique as frações abaixo: cuja a diferença f ) ) Reduza as frações ao menor denominador comum:,,,, 6,, 6 0 d ),, 6 ) Coloque em ordem crescente as frações: 0,,,,, 0 6 ) Qual a fração de denominador situada entre AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -? ) Determine uma fração equivalente a numerador seja. ) (CESD/00) Sejam A=, B=, C= e D=. Desses quatros números, os dois maiores são: A e C B e D A e B B e C 6) Quantos pedaços iguais a comprar para dar a Rômulo? cujo de um bolo você precisa do bolo a Ricardo e um bolo inteiro

3 V - OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Adição e Subtração Para adicionar frações que têm o mesmo denominador, basta adicionar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exs.: Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes: Reduzimos as frações dadas ao menor denominador comum. Procedemos como no caso anterior, isto é, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Ex.: EXERCÍCIOS ) Resolva: f ) 0 0 g) ) ( CESD /) Se você adicionar e e, do 0 resultado, subtrair 0, qual é número racional que você vai obter? ) Que fração irredutível devo somar a para obter a unidade? 0) (CESD /) Três frações têm o mesmo numerador e estão colocados numa ordem tal, que seus denominadores são três números naturais consecutivos em ordem crescente. Assim, sobre as frações, pode-se afirmar que ª < ª ª < ª ª < ª ª < ª Multiplicação Para multiplicar uma fração por outra fração, basta multiplicar o numerador da primeira pelo numerador da segunda e o denominador da primeira pelo denominador a segunda. x Ex.: x x Obs.: Cancelamos fatores que são comuns ao numerador e ao denominador. x Ex.: x x Para calcular a fração de uma fração, basta calcular o produto dessas frações. x Ex.: de x EXERCÍCIOS ) Resolva: x x 6 x x x x x x x f ) x x x x 0 6 g) x x x x ) Quanto dá de de? ) Um pai resolveu distribuir parte de $ 0,00 entre seus três filhos. Ao primeiro deu / dessa quantia, ao segundo, / do que deu ao primeiro e ao terceiro, / do que deu ao segundo. Quanto lhe sobrou? AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

4 Divisão Para dividir um número racional por outro diferente de zero, devemos multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo. Ex.: : x 6 EXERCÍCIOS ) Calcule: : : 0 : 0 0 x : : : x f ) x Potenciação Para elevar uma fração a um expoente natural, elevamos o numerador e o denominador a esse expoente. Exs.: 6 Para elevar uma fração a um expoente negativo, invertemos a base e trocamos o sinal do expoente. Exs.: 6 Radiciação Para extrair a raiz de uma fração, devemos extrair a raiz do numerador e do denominador. Lembrando que: Exs.: g) Obs.: Para calcularmos um número x elevado a um a expoente fracionário, extraímos a raiz enésima de x n ) Um rolo de barbante contém 0 metros. Quantos rolos medindo metros podemos obter com aquela quantidade de barbante? 6) Para uma sessão de teatro, foram vendidos dos ingressos para crianças e o restante para adultos. Qual a lotação desse teatro, se os adultos eram 0? VI - OPERAÇÕES COM RACIONAIS RELATIVOS Com relação a adição, subtração, multiplicação e divisão o procedimento é o mesmo utilizado na unidade anterior, apenas observando agora as regras de sinais estudadas em números inteiros. ) Resolva: elevado a a x a n Exs.: ) RESOLVA: f) g) h) i) 6 j) n 6 x a 000 l) m) 0) 6 n) AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

5 VII - NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS Frações decimais Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 0 no denominador. 0 0 Ex.: Transformação de números decimais em frações decimais Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem a vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais. Ex.: 0, 0, 6 0, Transformação de fração decimal em número decimal Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas quantos forem os zeros do denominador. Ex.: 0, 0, , Operações com decimais Adição decimais º) Igualamos o número de casas decimais, com o acréscimos de zeros; º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; Subtração º) Igualamos o número de casas decimais, com o acréscimos de zeros; º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais. Ex.: - 0, =,000-0, =,0 Multiplicação Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais dos fatores. Ex.:, x, =, Divisão º) Igualamos o número de casas decimais do dividendo e divisor, suprimindo as vírgulas a seguir; º) Efetuamos a divisão dos números naturais obtidos. Ex.:, : 0,0 =, 0 : 0, 0 = 0 : = Ex.:,06 :,6 =,06 :,6 0 0 =,6 Obs.: Para se dividir um número decimal por 0,00, , basta deslocar a vírgula para esquerda uma, duas, três,..., casas decimais. Exemplos:, : 0 =,, : = 0, Divisão não exata, com quociente aproximado Nas divisões não exatas, o quociente encontrado é, na verdade, um quociente aproximado do real. Essa aproximação pode ser por falta (menor que o real) ou por excesso (maior que o real). Exemplo: 0 0 quociente aproximado por falta quociente aproximado por excesso 0 isto é, º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma, alinhada com as demais. Ex.:, +,6 + 0,0 =,0 +, ,0 =, AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

6 Na prática, o mais comum é realizarmos divisões não exatas, com quociente aproximado por falta, estipulando um erro para unidade (erro menor que ), ou para décimos (erro menor que 0,), ou para centésimos (erro menor que 0,0), e assim por diante. Exemplo: divisão de por divisão não exata 6 quociente com aproximação de unidade (erro menor que ) divisão não exata 0 6, quociente com aproximação de décimos (erro menor que 0,) divisão não exata 0 6, quociente com aproximação de centésimos 0 (erro menor que 0,0) E assim por diante. EXERCÍCIOS ) Converta em frações decimais: 0, 0,00,06 0,0 0)Converta em números decimais: a ) b ) 6 c 00 ) )Determine a fração irredutível que corresponde ao inverso de,. ) De uma jarra de litros foram retirados 0, litros. Quantos litros restaram? ) Calcule:,0 + -,6 (0, - 0,06) - 0, (0, - 0,. 0,) - 0,0 6,0 :, ) Determine o quociente de por,6 com aproximação a menos de uma unidade por excesso: ) (CESD /) Calculando-se o valor da expressão (0, + 0, : 0,0) :, temos: 6) calcule o quociente de por, com aproximação de milésimos por excesso. Dízimas periódicas Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Ex. : 0,... 0,... e são chamados períodos. Tipos de dízimas periódicas: Simples - são aquelas em que o período apresenta-se logo após da vírgula. Ex.: 0,... Composta - são aquelas em que entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica. 0. Ex.:, período: parte não periódica: Geratriz de uma dízima não periódica É possível determinar a fração que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos essa fração de geratriz da dízima periódica. Determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples. É a fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. Ex.: 0,...,... Dízima composta. É uma fração da forma n d, onde: n parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Ex.: 0, , AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL 6 FONE: -

7 EXERCÍCIOS: ) Ache a geratriz das seguintes dízimas periódicas: 0,... 0, 6,... d ), 0 0, f ),... g) 0, 0... ) Resolva as expressões: ,,,,,, 0,...,..., ,,, 0, 0, 0 0, f ) 0, g) 0, 0 0, 00: 0,, h) 0, 0 ) Se A= (,. 0,) e B = (, : 0,) calcule B:A 0) Se subtrairmos,... do seu inverso, quanto obteremos? ) (CESD /6) Calculando o valor da expressão 0 0 0, x, o resultado será 0,... 0 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES: ) Qual é o maior elemento do conjunto:,,,? ) Quais os números naturais compreendidos entre e? ) Determine a fração que não se altera quando se soma ao numerador ao denominador. ) Quantos inteiros existem na soma: 0, , , + 0, ,... ) Resolva:,..., : 0,... 6) Efetue e simplifique:,... ) Calcule o valor das expressões: ,... 0,0... 0, 0, : 0,0 0, d ) 6 ) Calcule o quociente de 0,0 por 0, com aproximação de 0,00 por excesso. ) João tem R$,0, Pedro tem R$,0 a mais que João e Henrique tem R$,0 a mais que Pedro. Que quantia têm os três juntos? 0) Resolva: 0, 0,, AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

8 ) (CESD /) Considere as afirmações: I) ; 0, e são números racionais II) Todo número inteiro é também racional III) Todo número racional é também inteiro. As afirmações I, II e III são respectivamente. F,V,V V,V,V F, F, F V,V,F ) Quantas vezes cabem em? ) Qual é o inverso da geratriz de, ) Um pedreiro construiu de um muro pela manhã e do mesmo muro à tarde. Nesse dia, já construiu metros do muro. Qual a extensão total desse muro? RESOLVA AS EXPRESSÕES ) ) 0, 0,0000 0,0 6) 0,00 : 0, 000 ) Se x = 0 -, então a expressão igual a: 00 x 0 x x x 0 x 00 0, 0, ,000 é ) Efetue: 0 0, 0,, 0) (EEAR Nov/0) O resultado da expressão 0,666 0, 0, 0,0,, impossível calcular AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

9 RESOSTAS DOS EXERCÍCIOS: ) (F) (V) (V) (F) ) b OBS.: Em nossa opinião não tem resposta certa! ) 0 00 ) ) 0 6) ) 0 ) ) 0) f ) 0 6,,,, 6 ) 00 0,, ,, 0 ) 0 ) ) ) c 6) ) f ) g) ) / ) 0) a ) f ) g) 0 0 ) 0 ) ) f ) g) 0 6 ) 6) 600 ) ) * 06 ) ) 0,0 0, ) / ), l ), 0,0 0,,06 ) ) 6) 0,0 ) 0 f ) g) 0 0 ) 0, * ) / / /6 0 f),6 Não Existe g) / h) - 0/ i) / j) l) m) - n) - o) - 0, 0 f) g)0,0 h) 0 ) 0) 0/ ) b RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES: ) / ) d ) 6 E ) / ) / ) 6 m ) ) ) / ) 6) 6) (0,) ) ) a / ) e ) a 0, 0) - ) 0,0 ) R$ 0,0 0) 0, AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL FONE: -

10 QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 0) (EPCAR/000) Uma aeronave voou no primeiro dia de uma viagem do percurso. No segundo dia, voou do que faltava e, no o dia, completou a viagem voando 00 km. O percurso total, em km, é um número divisor de.0 múltiplo de 0 divisor de 0 múltiplo de 0.0 0) (EPCAR/000) Dentre as identidades a seguir, marque a FALSA. 6 0, ) (CFC 000) O valor da expressão, -.0, - / / /0 / 0) (CFC 000) O valor da expressão (0,...) : 0, -,666.. é: - / -/ -/ - 0/ 0) (EPCAR/) A fração irredutível equivalente à expressão: é: / - / / - / / 06) (EPCAR/) Se A = e B = então: A + B = 0 B - A = 0 A - B = 0 B B A A ) (EPCAR/) Num trabalho de verificação de aprendizagem em classe, Daniel reclamava: QUE PROVA TRABALHOSA! Já fiz / das questões, mais / e ainda faltam. Quantas questões Daniel deveria fazer ao todo? 6 0 ) (ESA/) simplificando a expressão: 0,00 0,0000 0, 6 0, obtém-se: 0,00 0,0 0,06 0,6 ) (ESA/) A geratriz da dízima periódica 0, é: 0 0 0) (ESPCEX/6) de é igual a: 0 m p ) (ESPCEX/6) Para que seja um número inteiro, n q é necessário que: m seja divisível por n o produto m.q seja divisível pelo produto n.p o produto n.q seja divisível pelo produto m.p o produto m.p seja divisível pelo produto n.q o produto n.p seja divisível pelo produto m.q ) (EPCAR/) O valor numérico da expressão: 0,6 0, RESPOSTAS: ) a ) a ) b ) d ) d 6) a ) a ) b ) c 0) b ) b ) c AV. FERNANDO CORRÊIA DA COSTA 00 SL 0 FONE: -

11 APRESENTAÇÃO Esta Apostila é indicada para concursos onde exige-se um bom conhecimento de matemática básica. O AUTOR É Licenciado em Matemática,Bacharel em Ciência Contábeis, Orientador de Aprendizagem do Telecurso.000, pós-graduado em Administração Escolar, professor de Matemática Básica e Contabilidade Geral para Concursos e professor universitário. SUMÁRIO: NÚMEROS RACIONAIS... 0 OPERAÇÕES COM RACIONAIS RELATIVOS... 0 NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS... 0 DÍZIMAS PERIÓDICAS Todos direitos reservados a PEDRO A. SILVA. Nenhuma parte desta publicação pode ser utilizada ou reproduzida sem a expressa autorização por escrito do titular dos direitos autorais.

12 ÍNDICE: NÚMEROS RACIONAIS...0 OPERAÇÕES COM RACIONAIS RELATIVOS...0 NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS...0 DÍZIMAS PERIÓDICAS...06 QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES...0

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