Concurso Público 2017

Transcrição

1 Concurso Público 017 Conteúdo I Frações frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). II Conjuntos Numéricos números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais. III Números Decimais operações com números decimais (adição, subtração, multiplicação e divisão), potência com base decimal, raiz quadrada de um número decimal, dízima periódica. IV Múltiplos e Divisores máximo divisor comum (M.D.C), mínimo múltiplo comum (M.M.C). V Sistema Métrico Decimal medida de comprimento, medida de superfície, medida de capacidade e medida de massa. VI Medidas de Tempo relação entre hora, minuto e segundo. VIII Equações de 1º Grau com uma variável e com duas variáveis. IX Inequações de 1º Grau resolução e discussão de inequação com uma variável. X Equações do Grau resolução e discussão da equação, relação entre os coeficientes e as raízes. XI Funções análise de gráficos, construção de gráficos, domínio, contradomínio, imagem, classificação de funções (injetiva, sobrejetiva e bijetiva) e estudo da função afim e quadrática. XII Radiciação e Potenciação propriedades da potência e propriedades da radiciação. XIII Expressões Numéricas elementos das expressões numéricas (parênteses, colchetes e chaves) e aplicação das regras dos sinais. XIV Razões e Proporções grandezas proporcionais diretas e inversas. XV Algarismos Romanos sistemas de numeração e suas regras. XVI Regra de Três simples e composta. XVII Porcentagem. XVIII Ângulos ideais de ângulos, medidas de ângulos, subdivisão do grau, operações com medidas de ângulos, ângulos complementares, ângulos suplementares, ângulos adjacentes e ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal (alternos internos, alternos externos, colaterais internos, colaterais externos e correspondentes). XIX Polígonos ângulos, diagonal, soma das medidas dos ângulos internos e soma das medidas dos ângulos externos. XX Geometria Plana cálculo do perímetro e da área das principais figuras planas (retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, círculo e suas partes). XXI Geometria Espacial cálculo da área e do volume dos seguintes sólidos: paralelepípedo e cilindros. XXII Círculo e Circunferência ângulo na circunferência, comprimento da circunferência e área do círculo. XXIII Trigonometria no Triângulo Retângulo razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), cálculo do seno, cosseno e tangente de 0º, 45º e 60º e Teorema de Pitágoras. Coletâneas de Exercícios pertinentes 1

2 Números Racionais - (Q) Frações - frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). O termo fração significa pedaço do inteiro dividido em partes iguais. Observe o exemplo: A figura abaixo representa um inteiro Dividindo-a em partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) representará a fração (1/ do inteiro). Observe os desenhos abaixo: Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). Cada número que compõe a fração recebe um nome especial. Atenção: I) Todo número natural é um racional. II) Todo número inteiro relativo é racional. Frações - Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Exemplos: ) 1 hora = 60 minutos ) ¼ hora = 15 minutos 4) 4 hora = 0 minutos

3 5) 4 hora = 45 minutos Representação Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração. O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias. Leitura: Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o denominador. Observe: Ex.: lê-se três quintos. Se o denominador for, lê-se meio (s) Ex.: três meios Se o denominador for, lê-se terço (s) Ex.: dois terços Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex.: um quarto Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 (décimo). A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra avos. Exemplos: = quatro onze avos b) = sete treze avos Fração é divisão: O traço de fração ou barra ( ) também significa divisão pois: Frações Decimais - Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc.

4 Frações Ordinárias - São todas as outras frações: Tipos de Frações a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Redução de frações ao mesmo denominador Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador. Para isso é necessário que você: 1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste módulo); - O resultado do m.m.c. será o novo denominador; - Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração; 4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. Observe o exemplo abaixo: Reduza ao mesmo denominador as frações: 4

5 Modo prático Divide o novo denominador pelo nº debaixo e multiplica o resultado pelo nº de cima. O resultado final será o novo numerador. Copie e resolva em seu caderno: Reduza ao mesmo denominador (nº debaixo) as frações: Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade (igual) ou de desigualdade entre esses números. Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: < (menor) ou > (maior) 1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: Observe os desenhos e compare: o pedaço a é maior (>) do que o pedaço b Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima). º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador. 5

6 Propriedade das Frações 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número. 6 Seja a fração 10. Se multiplicarmos o numerador por, obteremos a fração 10, que é duas vezes maior que 6 10, pois se em 10 tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em 10 tomamos apenas três. Ilustração: 6 Observando a ilustração, verificamos que 10 é duas vezes menor que 10. ) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Seja a fração. Multiplicando o denominador por, obtemos a fração, que é duas vezes menor que, pois em 5 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas, enquanto que em 10, a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações:

7 Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5 é duas vezes maior que 10. ) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera Logo: 5 = 10 4 Ilustrações: Números Mistos - Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador. 7

8 4 6 = = 7 46 Comparação de Frações - Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação: 1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. 4 1 > > ) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador > > ) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador < < < < Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal < ,,,, Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e para tanto o MMC (,, 5, 10) = 0: ,,,,,,,, ,,,, Logo: < < < < < 1 < 10 7 < 5 4 < 6 8

9 Frações Equivalentes - São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor. 1 = = 6 4 Na figura acima temos: logo são frações equivalentes. Simplificação de Frações - Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas divisões. 1 o. Modo: o. Modo: está na sua forma irredutível. o. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o M.D.C (48,6) = Exercício Resolvido 9

10 1) Obter frações equivalentes a 5. Resolução: Basta tomar os termos da fração 9 = multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero: = = Adição de Frações - Temos dois casos a considerar: Caso 1: Denominadores Iguais - "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Assim: = = Uma pizza foi dividida em pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? Logo, sobrou 1/ da pizza. Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. Caso : Denominadores Diferentes - "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplicase a regra anterior " = 0 0 Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível: 1 6 = Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. Subtração de Frações - Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição 10

11 ) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar para plantar mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações? Resposta: da área sobrará para as outras plantações. 4) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar para o pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras plantações? Resposta: Deixará (simplificando por ) a resposta será: para outras plantações. Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e positivas observe as regras dos sinais I) Mesmo denominador. II) Denominadores diferentes (não esqueça do M.M.C. para reduzir ao mesmo denominador): 11

12 Multiplicação de Frações - Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Regra Prática: - Multiplique os numeradores (nºs de cima); - Multiplique os denominadores (nºs debaixo); - Observe os sinais das frações para usar a regra. Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo. Exemplos: = = = = = = Nota: Neste segundo exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe: = = , simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro. 1) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, são produtivas. Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra de, dessa, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro. 1

13 ) Um fazendeiro vai plantar da área da fazenda. Já plantou dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda? Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à fazenda inteira é (ou simplificando por 6) apenas. Divisão de Frações - Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Regra Prática: - Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação ( ); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma da multiplicação = = = = A metade ( ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes iguais. Qual a fração que representa cada parte? Observe que: 1- A divisão foi transformada em multiplicação. - A segunda fração foi invertida. R: Cada parte é representada por. 1

14 Potenciação e Radiciação de Números Fracionários Potenciação Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Radiciação Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Expressões Aritméticas Fracionárias - O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Vamos resolver a seguinte expressão: = = + = = + = = = = = = = = = Exercícios Resolvidos 1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório? Primeiramente o reservatório foi deixado com 1/ da sua capacidade e depois reduziu-se este volume em /4 do que havia restado, podemos então montar a seguinte sentença matemática: 14

15 Que pode ser resumida a: Se multiplicarmos a capacidade total do reservatório por 1/1, iremos obter os 0000 litros que restam nele, obviamente realizando a operação inversa, se dividirmos os 0000 por 1/1 iremos obter a capacidade total do depósito: Portanto: A capacidade total deste reservatório é de 40 mil litros. ) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 18,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto? Se de 1 que representa a fração total do preço do produto, subtrairmos do mesmo ficaremos apenas com As quatro das nove parcelas, equivalem a dos : Ou seja, os R$ 18,00 equivalem a do preço total sem o desconto. Fazendo a operação inversa, se dividirmos esta quantia por esta fração, iremos obter o preço total do produto sem o desconto: Temos então que: O preço total do produto sem este desconto é de R$ 60,00. ) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu? Este problema é bastante simples, basta refazermos as contas em ordem inversa. Primeiro dividimos R$ 75,00 por e depois dividimos por : Logo: O valor da multa de trânsito referente à infração é de R$ 80,00. 4) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 4 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 1 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas? 15

16