PROJETO KALI MATEMÁTICA B AULA 3 FRAÇÕES

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1 PROJETO KALI - 20 MATEMÁTICA B AULA FRAÇÕES Uma ideia sobre as frações Frações são partes de um todo. Imagine que, em uma lanchonete, são vendidos pedaços de pizza. A pizza é cortada em seis pedaços, como na figura ao lado. Enquanto inteira, há 6 pedaços, dos 6 originais. Representamos isso, matematicamente, como 6/6 (seis de seis). Quando um pedaço for vendido, podemos representar essa quantidade por /6 (um de seis).. Ainda sobram pedaços, dos 6 iniciais. Por sua vez, isso pode ser representado por /6 (cinco de seis). Quando dois pedaços forem vendidos, serão 2/6 (dois de seis). O restante, /6 (quatro de seis). E assim por diante. Essas representações são frações. São partes (o que foi vendido e o que não foi) de um todo (a pizza inteira). Fonte: org/20/0/22/fractions-everywhere/ Definição Fração é a representação da parte de um todo. Outras definições Vejamos matematicamente como lidar com as frações. Nas próximas aulas veremos formas equivalentes de representação numérica: a porcentagem e os números decimais. Podemos enxergar a fração como uma divisão. Observe abaixo a reta numérica: Vamos pegar o número e dividí-lo em 2 partes iguais, pegando uma delas. Isso é representado por ½ (uma parte, de duas no total). Se fôssemos identificar essa quantidade na reta numérica, estaria entre os números naturais 0 e, no meio deles. Tente imaginar como seria isso dividindo em,,, 0, 00 partes iguais.

2 Representamos, então, a fração por uma divisão entre dois números. A parte é chamada de numerador, e o todo, de denominador. Este último deve ser diferente de zero. Notação numerador denominador Exemplos básicos ) Podemos representar por frações as quantidades de quadradinhos cinzas por 9/9, 8/9 e /9. 2) Em uma família de 2 pessoas, são homens. Podemos representar as quantidades de mulheres por 8/2 e de homens por /8. Como ler as frações Frações com denominadores de 2 a 9, de 0, 00 e 000 recebem nomes especiais. Frações com denominador são números inteiros. O restante segue uma mesma regra. / Um /7 um sétimo 2/7 dois sétimos /2 um meio /8 um oitavo /8 cinco oitávos / um terço /9 um nono / um onze avos / um quarto /0 um décimo /2 um doze avos / um quinto /00 um centésimo 2/ dois treze avos /6 um sexto /000 um milésimo 8/20 oito vinte avos Cálculos e operações com números fracionários Sendo uma forma de representar quantidades, com as frações podemos efetuar todas as operações, como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Simplificação de frações Observe a figura ao lado, em que as frações que representam os quadrados azuis são /9 e /, respectiviamente. Perceba que, apesar de frações diferentes, elas representam a mesma quantidade. Elas são as chamadas frações equivalentes.

3 Frações equivalentes são obtidas multiplicando ou dividindo numerador e denominador por um mesmo número. Perceba que, multiplicando e por, chega-se em e 9. x x 9 Simplificação de frações é chegar a frações equivalentes reduzindo os valores do numerador e do denominador (dividindo). A fração equivalente formada pelos menores números possíveis é chamada de fração irredutível. 9 Exemplos: ) Frações equivalentes a /: x2 8 x2 0 x6 2 x6 0 2) Simplificação de 2/8: Fração irredutível Comparando frações Suponha que um bolo seja dividido em pedaços iguais. Desses, João comeu e Maria comeu 2. É fácil perceber que a fração do bolo que ficou para João, /, é maior que a fração de Maria, 2/. Essa comparação é simples de fazer, pois os pedaços eram iguais e João pegou mais. Mas, imagine agora que haja dois bolos de mesmo tamanho. O de João foi dividido em 6 partes iguais e, o de Maria, em 8. O menino comeu pedaços; a menina,. Maria comeu mais pedaços, mas cada um deles era menor. E agora, como saber quem comeu mais? Em outras palavras, qual fração é maior, /6 ou /8? A diferença entre os dois casos anteriores é que, no segundo, os bolos foram divididos em números de pedaços diferentes. Matematicamente o que impede de resolver o Fonte: igmas_desafios/027_600_00.jpg problema é o fato de que os denominadores são diferentes. Então, basta acharmos frações equivalentes com um mesmo denominador. É como se dividíssemos os dois bolos em um mesmo número de pedaços e, consequentemente, em pedaços iguais.

4 Sabendo disso, o primeiro passo é escolher o denominador que será comum entre as frações. Uma boa escolha é o MMC entre os denominadores originais. Outra é a multiplicação entre eles. Depois disso, basta achar as respectivas frações equivalentes, com o novo denominador escolhido. Podemos fazer isso analisando as frações ou pelo método prático que será explicado a seguir. Com as frações em um mesmo denominador, a que tiver maior numerador é a maior. Agora, vamos comparar na prática as frações /6 e /8. PASSO A PASSO PARA COMPARAR FRAÇÕES DE DENOMINADORES DIFERENTES ) Escolher um denominador comum apropriado, pelo MMC ou pela multiplicação dos denominadores iniciais. 2) Transformar as frações iniciais nas respectivas equivalentes usando o novo denominador, analisando as frações ou pela regra prática. ) Interpretar o resultado. A maior fração será a de maior numerador. Resolução de uma maneira: ) Escolher denominador comum por MMC Devemos fazer o MMC entre 6 e 8: Dessa forma, vemos que um denominador adequado é o 2. 2) Frações equivalentes, por análise Agora, devemos achar o fator que multiplica o denominador inicial e resulta no novo e usá-lo para multiplicar o numerador. A primeira fração, /6, tem denominador 6. Devemos multiplicar este número por para chegarmos em 2. Portanto, devemos multiplicar o numerador também por. Analogamente, devemos multiplicar a segunda fração por, já que 8 x = 2. x 6 6 x 2 x 8 x 2 Resolução de outra maneira: ) Escolher denominador por multiplicação Devemos multiplicar os denominadores iniciais: 6 x 8 = 8. Este é um denominador adequado. 2) Frações equivalentes, pela Regra Prática REGRA: Adquirir o novo numerador dividindo o denominador comum pelo denominador inicial e multiplicando pelo numerador inicial. Divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima! Pelos dois métodos, percebemos que a /6 é maior que /8. Matematicamente: 6 > 8

5 Adição e subtração de frações Primeiro caso: denominadores iguais Segundo caso: denominadores diferentes Exemplo: + 2 Exemplo: 6 + Observe as figuras a seguir, que representam a soma das frações acima: Novamente, observe as figuras, que mostram a soma acima: + + Assim é fácil perceber que o resultado é. Matematicamente, em somas de frações de mesmo denominador, devemos manter o denominador e somar os numeradores. + 2 = +2 = Para subtrações, o processo é o mesmo, mas, em vez de somarmos os numeradores, subtraímos. Exemplo: 7 7 Perceba que, com retângulos de tamanhos diferentes, não é simples identificar o resultado. É o mesmo problema dos pedaços de bolo dos exemplos anteriores. Ou seja, devemos transformar as frações originais em equivalentes de mesmo denominador para somá-las, seguindo os passos e 2 aprendidos em Comparando de Frações. ) Escolheremos o denominador por MMC, já que o MMC entre e 6 é o próprio 6. 2) Transformamos as frações, por análise, chegando em /6 e 2/6. Agora, é só fazer a soma: + 2 = = 6, ou simplificando: 2 Para subtrações, seguimos os mesmos passos, mas subtraímos os numeradores em vez de Terceiro caso: inteiros e fracionários Exemplo: + 2 Observe novamente a reta numérica e tente identificar onde estaria o resultado da soma acima.

6 Para resolver esse caso, devemos notar que números inteiros na forma de fração têm numerador. Isso faz sentido, já que frações são divisões e qualquer número dividido por é ele mesmo. Assim, a soma passa a ser + 2, simplesmente uma soma de frações de denominadores diferentes (o segundo caso estudado). Notação Números inteiros são representados por frações de denominador um. Multiplicação de frações Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Não é necessária a preparação feita para adições e subtrações. Exemplos: 2 x = 2 x x = 8 7 x 6 = 7 x 6 = 7 x x 6 = 6 Divisão de frações Para dividir, há uma regra prática simples. Devemos manter a primeira fração, inverter a segunda e transformar a divisão e a multiplicação. Vejamos o exemplo a seguir: 7 = 7 = x7 x = 7 20 Definição Frações inversas são aquelas em que são trocados de lugar numerador e denominador. Podemos definir, também, como duas frações cujo produto é um (multiplicadas resultam em ). Potenciação de frações Na potenciação, o expoente se distribui para numerador e denominador. O que indica isso é o uso dos parênteses. Exemplos: ( ) 2 = ² ² = x x = 6 Radiciação de frações Analogamente, na radiciação a raiz se distribui para numerador e denominador. A raiz abrangindo toda a fração mostra isso. Exemplos: 9 = 9 = 2 ( 2 ) = 2³ ³ = 2x2x2 xx = = = 8 2

7 Classificação das frações Frações próprias São aquelas em que o numerador é menor que o denominador. Como por exemplo: 2, 2 7,, etc. Frações aparentes São aquelas em que o numerador é múltiplo do denominador. Fazendo a divisão entre eles, chegamos em um número inteiro. 2 = 2, 8 6 =, etc. Frações impróprias São aquelas em que o numerador é maior que o denominador. Como por exemplo:, 2, 2, etc. O valor de uma fração imprópra está entre dois números inteiros maiores (em módulo) do que um. Perceba que faz sentido, já que se dividirmos um número por outro menor que ele, o resultado será maior que um. Nas aula de Números Decimais entenderemos melhor este assunto. Para saber mais: Simplificação de frações por fatoração Anteriormente aprendemos a simplificar frações por meio de divisões sucessivas de numerador e denominador por um mesmo número. Agora apresentaremos uma técnica muito útil para este e outros problemas. Exemplo: Simplificar a fração 8 6. Primeiramente, devemos fatorar numerador e denominador, como ao lado. Depois, escrevemos os números em forma de produto na própria fração. A vantagem desse método são: numerador e denominador estão em forma de multiplicações, o que permite a simplificação por divisão. Além disso, é mais fácil de perceber por qual número dividir os dois fatores. Veja o passo a passo: x = 2 x 2 6 = 20 x 2 2 = x =

8 Problemas envolvendo números fracionários Frações de Já ouvimos falar expressões como metade dos colegas da turma concordou em ir ao cinema ou um terço dos alunos da sala faltou hoje. Como calcular o número de colegas e de alunos desses dois casos? A resposta é simples: basta multiplicar o número total pela fração, obtendo o valor referente à parte do total representada pela fração. Exemplo Uma turma de 0 alunos do terceiro ano se reuniu para decidir o destino da viagem de formatura. Após uma votação, os resultados mostraram que /8 dos jovens gostaria de ir para Porto Seguro, 2/ prefere Florianópolis e o resto não deseja viajar. Responda o que se pede a seguir: a) Quantos alunos gostariam de ir a Porto Seguro? O número de alunos que quer ir a Porto Seguro é: de 0. Ou seja: 8 b) E a Florianópolis? 8 x 0 = x 0 8 = Analogamente, o número de alunos que prefere Florianópolis é: 2 Ou seja, mais alunos preferem Floripa a Porto. x 0 = 2 x 0 = 6 Frações e medidas É importante, no estudo da Matemática, termos uma ideia visual dos assuntos estudados. Um jeito de enxergar as frações é analisando medidas. Veja os exemplos a seguir: A B C D E F O seguimento AB mede / de CD. De outra forma: CD mede o triplo de AB. Analogamente, AB mede / de EF e EF mede o quádruplo de AB. CD mede / de EF. EF mede / de CD.

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