invés de dizermos, por exemplo, um seis, para a fração, dizemos um sexto. Os

Transcrição

1 FRAÇÕES Os números naturais {0,,, 3,...} são uteis para realizar contagens de objetos, por exemplo. No entanto, eles não dão conta de algumas situações do cotidiano, como quantificar partes de um todo. Durante sua história os egípcios se esbarram nesse problema. Quando as águas do rio Nilo baixavam após as enchentes anuais, as demarcações que delimitavam as propriedades eram levadas pelas águas. Era necessário, então, fazer novas medições para demarcar novamente a superfície de terreno que caberia a cada proprietário. Para fazer as medições, eram utilizadas cordas nas quais havia uma unidade de medida indicada por nós. Os medidores esticavam a corda e verificavam quantas vezes a unidade de medida cabia nos lados do terreno. Muitas vezes, porém, a unidade de medida não cabia um número inteiro de vezes no lado do terreno. Era necessário partir, isto é, fracionar a unidade de medida. Assim, surgiram no Egito os números fracionários. Veja como os egípcios representavam alguns números fracionários. É interessante observar que a palavra fração está relacionada com a palavra fratura que significa quebrar, e, de fato, podemos pensar que as frações representam quantidades que correspondem a pedaços de coisas.

2 Como ler frações? Como acontece muitas vezes, prestar atenção nas palavras pode nos ajudar a lembrar a que elas se referem. A palavra denominador quer dizer indicar nome de, e, de fato, o denominador de uma fração indica o seu nome, que tipo de partes são, se são meios, quartos, sextos ou doze avos como nas frações acima. Já o numerador, indica o número que vamos tomar deste tipo de partes. É como se, ao escrever a fração, estivéssemos dizendo uma parte do tipo sexta. 6 Para ler uma fração, então, dizemos o numerador e depois o denominador, mas por tradição, ao invés de dizermos, por exemplo, um seis, para a fração, dizemos um sexto. Os 6 denominadores de a 0 são lidos assim: denominador como se lê meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono décimo Como você pode reparar, as palavras usadas para ler denominadores de fração de a 0, são as mesmas que usamos para indicar posição, por exemplo, em uma fila; isso pode ajudar a memorizálas. Se o denominador é um, podemos dizer inteiros : pode ser lido quatro inteiros. Para denominadores maiores que 0, usamos a palavra avos : é lido um doze avos. Essa palavra pode parecer estranha, mas a usamos corriqueiramente. cinco centavos Quando falamos cinco centavos, estamos fazendo referência a, já que um centavo 00 corresponde a um centésimo de real. Mas, ao invés de dizermos cinco centésimos de um real, dizemos cinco cem avos de real ou cinco centavos. Outro modo de se ler frações, bastante mais simples, mas que não é o oficial, é simplesmente ler o numerador e o denominador, colocando entre eles a palavra sobre. Nesse caso, pode ser lida 3 sobre 3 e 3, pode ser lida 3 sobre.

3 3 Frações de uma quantidade Para calcular a fração de uma medida ou quantidade que é indicada por um número, basta dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicá-lo pelo numerador. Exemplo Uma pesquisa com duzentas pessoas concluiu-se que três quartos delas são esportistas. Qual é o número de pessoas que são esportistas? Resolução A pergunta nesse caso é: quantos são 3 de 00?. Para responder, primeiramente dividimos 00 por Em seguida, multiplicamos o resultado por =0 O mesmo resultado pode ser obtido apenas multiplicando a fração pela quantidade, ou seja, de Portanto, para calcular a fração de uma quantidade, basta multiplicar a fração pela quantidade. O mesmo se aplica para o cálculo de uma fração de outra fração. Exemplo Calcule de 3 9. Resolução de Comparar frações Para obter uma fração a partir da divisão de um objeto ou de um inteiro, deve-se lembrar que a divisão deve ser feita de maneira a obter partes iguais. Na figura abaixo não é verdade que foram pintados, já que o retângulo não está dividido em partes iguais.

4 Agora, observando os recipientes a seguir podemos dizer que A foi dividido em partes iguais e, que B foi dividido em 3 partes iguais. Podemos afirmar ainda que de A está preenchido com líquido e que 3 de B está preenchido com líquido. Se fosse perguntado qual das duas frações e é a maior, ficaria simples de responder com 3 referência aos recipientes, pois a relacionada ao recipiente com mais líquido é a maior. Mas, se não estivéssemos observando os recipientes com líquido, como seria possível afirmar qual é a maior? Poderíamos obter frações equivalentes a cada uma delas com o mesmo denominador, ou seja, calcular um conjunto de frações equivalentes a cada uma delas multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por,, 3,,... 3 :,,,,, :,,,,,, Ao invés de comparar e 3, comparamos e. Observando os numeradores percebemos que é maior que, logo é maior que 3. Para economizar em cálculos e encontrar as frações a serem comparadas, sem que para isso seja necessário encontrar um conjunto ou uma classe de frações equivalentes, podemos utilizar o mínimo múltiplo comum dos denominadores, no nosso caso, mmc(3, ) =. Em seguida, obtemos frações equivalentes cujos denominadores são. e 3 são respectivamente equivalentes a e Para encontrar a fração equivalente a, por exemplo, dividimos o mmc, ou seja, pelo seu 3 denominador, que é igual a 3, e obtemos. Em seguida, multiplicamos tanto o numerador como o denominador por e obtemos. 3

5 Adição e Subtração de frações Na adição ou subtração de frações com denominadores iguais, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador O cálculo é realizado dessa forma, porque o numerador é o elemento da fração que indica a quantidade de partes a serem tomadas, o denominador, por sua vez, apenas indica em quantas partes foi dividido o todo. Na adição e na subtração de frações com denominadores diferentes, é preciso primeiro substituir as frações por frações equivalentes de mesmo denominador e depois adicionar ou subtrair, respectivamente, as frações Multiplicação de frações Na multiplicação de duas ou mais frações, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador Divisão de frações Na divisão de um número natural por uma fração (diferente de zero), há uma regra prática que diz que basta multiplicar o número natural pelo inverso da fração. Observe. A mesma regra também pode ser aplicada na divisão de uma fração por um número natural (diferente de zero) e na divisão de uma fração por outra. Observe.

6 6 Frações x Decimais Uma fração é chamada de irredutível quando o maior divisor comum entre o numerador e o denominador for. Uma fração irredutível pode ser representa em forma decimal, para isso basta dividir o numerador da fração pelo seu denominador., 7, ,3 3 Como podemos observar a primeira fração resultou em um número com decimal finita e, a segunda resultou em um número com decimal periódica. O primeiro caso acontece quando um ou mais fatores do denominar forem iguais a e/ou , ,0 0 (.) ,7 0 (.) Possuir apenas os fatores e/ou no denominador faz com que seja possível obter uma potência de 0 no denominador, como podemos ver nos exemplos acima. Assim, a divisão resulta em um número com parte decimal finita. Quando o denominador não possuir apenas e/ou como fatores, a divisão resultará em uma decimal periódica, o que chamamos de dízima periódica. 0,... 0, 9 7 0, ,07 99 Os algarismos escritos abaixo do traço são chamados de período da dízima e eles se repetem indefinidamente. Uma pergunta importante nesse momento é a seguinte: Dada uma dízima periódica, como podemos encontrar a fração correspondente, ou seja, a fração geratriz? Vejamos alguns exemplos. 0,... X = 0,... 0X =,... 0X X =,... 0,... 9X = X 9

7 7 0, X = 0, X = 3, X X = 3, , X = 3 3 X 99, X =,0 + 0, X,0 = 0, (X ) = 0, (X ) = 8, (X ) 0(X ) = 8, , X 000 0X + 0 = 8 990X 990 = 8 990X = X = X X Exercícios Resolvidos. Qual é o resultado de 6: 3? 3 8 6: Qual é o resultado do cálculo. 3? Na compra de um carro, foi paga uma entrada, correspondendo a um terço do seu valor, e o restante foi dividido em prestações fixas e sem juros de R$ 6,00. Calcule o preço do carro. x 000 x x 000 x x

8 8. Em uma caixa havia chocolates. João abriu a caixa e comeu um terço dos chocolates que encontrou. Pedro chegou em seguida e comeu metade dos chocolates que encontrou. Sobraram chocolates. Qual foi a quantidade de chocolates que João comeu? º momento x º momento x x x 3 3 3º momento x 3 x x 3 3. Qual é a soma de todas as frações irredutíveis que são possíveis de escrever com numerador e denominador com apenas um algarismo e formados a partir dos números, 3 e? Em uma sala com 30 alunos foi feita uma pesquisa para saber o esporte preferido dos alunos. O gráfico de setores abaixo representa os resultados dessa pesquisa. Sabendo-se que o círculo representa todos os alunos da sala, responda as questões. a) Qual é a fração que representa os alunos que preferem basquete? FB V V V V V 3 b) Qual é o número de alunos que prefere cada esporte? Futebol: 30 0; Basquete: 30 e Vôlei:

9 9 7. Na figura abaixo todos os triângulos são equiláteros. Que fração irredutível representa a superfície preta dessa figura? Na figura podemos observar quatro tamanhos diferentes de triângulos, que em ordem decrescente, nomeamos por T, T, T 3 e T. Tomando como unidade o T, podemos observar que T T, T3 T e T T3, ou seja, cada triângulo possui um quarto da área do triângulo de tamanho imediatamente superior ao seu. A área preta da figura é composta por T 9T, ou seja, Escreva cada fração na forma do número decimal correspondente. a) b) , , ,37 00 c) 0 0, 0 0 0, 0 0, d) , 9 8 0, , 00 _ , 8

10 0 9. Escreva os números decimais na forma de fração irredutível. a) 0,7 7 0 b) 0, c) 0, d), e), Calcule. a) 7 de b) 7 de c) 9 de Escreva as frações impróprias na forma de número misto. a).().( ) () ou b) 3.() 3 3.( ) 3 3 3() 3 3 ou

11 . Encontre a fração que representa cada dízima periódica a seguir. a) 0, b) 0, c) 3, d), , 0, e) 0, , Compare as frações com os sinais <, > ou =. 3 a) 7, pois 3 mmc(,7) 3 e b) 00, pois mmc(,00) c) 8, pois 7 mmc(,8) e 8 3 d) 3, pois 3 9 mmc(3,) 33 e e) 6, pois 3 33 mmc(6,) e 6. Um vendedor externo recebe comissão de % das vendas que realiza. Em um mês recebeu de comissão R$.00,00, qual foi a sua venda nesse mês? 00 % 00.(00) 00.( 0 0) 00.(0) x x x x 000 x 00% Assim, o vendedor vendeu nesse mês R$.000,00.

12 . A comissão de um vendedor de automóveis é de 0,7% sobre o valor da venda. Quanto ele recebe de comissão ao vender um automóvel por R$ 3.700,00? 0,7 7 0,7% Assim, (3,7),9 000 A comissão da venda desse automóvel é de R$,00. Exercícios Propostos. Sobre as frações: afirmar que: 7 a) 7 8 b) 8 7 e 7 c) são irredutíveis. d) são menores que 7 e 7, é incorreto. A soma dos termos de uma fração é. Adicionando 3 ao numerador e subtraindo 0 do denominador, a diferença entre eles passa a ser. Sendo assim, qual é o valor do denominador? a) 9 b) c) 6 d) 70 e) 79 e) são equivalentes

13 3 3. O texto seguinte é um extrato do testamento do senhor Astolfo: Deixo/3 da quantia que tenho no Banco à minha única filha, Minerva, e o restante à criança que ela está esperando, caso seja do sexo feminino; entretanto, se a criança que ela espera for do sexo masculino, tal quantia deverá ser igualmente dividida entre os dois. Considerando que, mês após o falecimento de Astolfo, Minerva teve um casal de gêmeos, então, para que o testamento de Astolfo fosse atendido, as frações da quantia existente no Banco, recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente: a) b) c) d) e), e 6 6 3, e 6 3 6, e, e, e. Dadas as frações 3,, e 6 3 a) b) c) d) a maior é: e) Nenhuma das demais alternativas

14 . Uma empresa tem funcionários. 3 Desses, executam serviço técnico, um 8 deles é o gerente e o restante executa serviços administrativos. Qual é a fração que representa o número de funcionários que executam serviços administrativos? a) 3 b) c) d) 36 e) 7 7. A expressão a) b) c) d) é igual a: 6. Um avião partiu de um aeroporto com certo número de passageiros. Na primeira escala, desembarcaram 37 dos passageiros. Na escala seguinte embarcaram 0. Na penúltima escala desembarcaram /8 dos passageiros, calcule com quantos passageiros ele partiu do primeiro aeroporto, sabendo que chegaram no destino final 36 passageiros. a) 0 b) 96 c) 6 d) 08 e) 98 Gabarito e d d b b e b