unidade de milhar Centena dezena unidade ordem

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1 1 REPRESENTAÇÃO NA FORMA DECIMAL A representação dos números fracionária já era conhecida há quase anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète. O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal. Chamamos de frações decimais, toda fração em que o denominador é uma potência de 10 com o expoente natural não nulo. No sistema de numeração decimal, cada número natural é representado por um numeral formado por um ou mais algarismos, e cada algarismo que compõe o numeral ocupa uma certa ordem. Por exemplo, para o numeral 5672, temos: ordem unidade de milhar Centena dezena unidade Qual o valor do algarismo 5 nesse numeral? O valor do algarismo no numeral depende da ordem que ele ocupa, veja: 5 na ordem de milhar vale 5 x 1000, ou seja 5000 Assim, caso o algarismo 5 ocupasse alguma das outras ordens teríamos: 5 na ordem das centenas vale 5 x 100, ou seja na ordem das dezenas vale 5 x 10, ou seja 50 5 na ordem das unidades vale 5 x 1, ou seja 5 Toda vez que um algarismo é deslocado uma ordem à direita, o seu valor passa a ser um décimo do anterior. Quanto aos numerais decimais, eles são uma outra maneira de se representar os números racionais. Vamos precisar representar partes da unidade, então, vamos ampliar o sistema de numeração decimal da seguinte maneira: 1º) Colocamos uma virgula para separar as unidades inteiras das partes da unidade. 2º) Criamos novas ordens à direita da vírgula, ordens decimais ou casas decimais, lembrando que cada ordem vale um décimo da ordem que está à sua esquerda, assim, temos:

2 Centenas dezenas unidades simples décimos centésimos milésimos décimos milésimos centésimos milésimos milionésimos Veja alguns exemplos: 0,9 = nove décimos 0,17 = dezessete centésimos 0,254 = duzentos e cinqüenta e quatro milésimos 5,6 = cinco inteiros e seis décimos 7,18 = sete inteiros e dezoito centésimos 18,391 = dezoito inteiros e trezentos e noventa e um milésimos. 1.1 Números Decimais Viète desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje. Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais: Fração Decimal Números Decimais = 0,1 = 0,01 = 0,001 = 0,0001 Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

3 Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos milésimos Centésimos milésimos Milionésimos 1.2 Leitura dos números decimais No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações: Partes inteiras Partes decimais Assim, vamos ler da seguinte maneira: A partir da parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: décimos...: quando houver uma casa decimal; centésimos... : quando houver duas casas decimais; milésimos... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos... : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente. 1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. 0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). 4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

4 1.3 Transformação de números decimais em frações decimais Observe os seguintes números decimais: 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja,. 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,. 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja,. 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, Verifique então que: Assim, um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

5 1.4 Transformação de fração decimal em número decimal Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir: Podemos concluir então que, para transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. 1.5 Decimais equivalentes As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe: Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes. Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

6 0,4 = 0,40 = 0,400 = 0, = 8,0 = 8,00 = 8,000 2,5 = 2,50 = 2,500 = 2, ,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000 Dos exemplos acima, podemos concluir que um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. 1.6 Comparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos: Primeiro caso: as partes inteiras são diferentes O maior é aquele que possui a maior parte inteira. 3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > Segundo caso: as partes inteiras são iguais O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros. 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70. 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3. 2 PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Veja alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

7 Dos alunos de uma determinada escola, 48% são meninas. Significa que em cada 100 alunos da escola, 48 são meninas. 2.1 Razão centesimal Toda a razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. Por exemplo: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere como exemplo o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Solução: Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Calcular 10% de 300.

8 Calcular 25% de 200kg. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Solução: Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Uma dica importante sobre o fator de multiplicação. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00

9 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00