Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Transcrição

1 Caro Professor, Em 009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 00. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 00, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola.

2 GABARITO Caderno do Aluno de Matemática 8ª série/9º ano Volume SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM CONJUNTOS E NÚMEROS Páginas 3-4. a) Isso se deve ao fato de que as informações não são excludentes, isto é, elas possuem elementos em comum. Por exemplo, os 0 alunos que acertaram as duas questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão (35). Assim, a soma obtida contém dupla contagem de alunos, o que gera a diferença observada. b) 35 0 = 5 alunos Acertaram apenas a ª questão (5) Acertaram a ª questão (35) Acertaram a ª e a ª questão (0) c) 5 0 = 5 alunos Acertaram apenas a ª questão (5) Acertaram a ª questão (5) Acertaram a ª e a ª questão (0)

3 d) % de alunos que acertaram apenas a primeira questão: 5 0, 375 ou 37,5%. 40 % de alunos que acertaram apenas a segunda questão: 5 0, 5 ou,5%. 40 Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão é 50%. Página 5. a) André Paulistanos Renata Luiz Júlio b) Patrícia Ensino Fundamental Renato Reinaldo Lucas Rafael Antônio 3

4 c) Corinthians João São Paulo Alice Alberto Helena Diego Tomás Marcus Laís André Página 7 3. a) III b) III c) II d) III e) I f) II Página 8 4. a) d) 4

5 b) e) c) f) g) Páginas a) Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são curitibanos. b) Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa. c) O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado, pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares são pirâmides. 5

6 Problemas, conjuntos e diagramas Página 6. a) b) c) 7. a) b) O problema informa que 00 famílias assistem aos programas A e B. Desse total, sabemos que 0 famílias assistem aos três programas. Portanto, o número de famílias que só assiste aos programas A e B é a diferença entre 00 e 0, ou seja, 80. O mesmo vale para as outras interseções. c) No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções 6

7 A B, A C e A B C. A (B + C) = 370 ( ) = 60. O mesmo deve ser feito para os programas B e C. d) Com base nos diagramas preenchidos, deve-se verificar se a soma das partes corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de entrevistados ( 00). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o conjunto complementar em relação ao total de entrevistados. 8. a) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C: = 340. b) 40 pessoas. 7

8 c) O programa com maior fidelidade é o C, com 90 espectadores, contra 60 do A e 60 do B. Páginas U = 60 ª ª ª 5 a) Apenas 5 alunos erraram as três questões. b) = alunos acertaram a ª ou a ª questão. c) = alunos erraram a 3ª questão. 8

9 Desafio! Página 4 Uma estratégia possível seria representar a interseção dos três conjuntos por x e completar o diagrama com as informações dadas. a) Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 00%, basta resolver a seguinte equação: 5 + x + + x x + 8 x + 5 x + 5 x + x + 5 = 00 Obtém-se x = 0%. Portanto, 0% dos entrevistados consomem as três marcas. 9

10 b) Substituindo os valores de x no diagrama, obtemos: Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são 5% + % + 0% = 57%. Páginas Diagrama c... a) Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número natural também é inteiro. 0

11 b) Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros. N Z = Z c) Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos reais. d) Falsa. A interseção entre inteiros e racionais é o próprio conjunto dos inteiros. Z Q = Z e) Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos mutuamente exclusivos. Q Ir =

12 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM NÚMEROS REAIS E AS FRAÇÕES CONTÍNUAS Páginas 7-9. a) 4 5 b) 0,8. a) 5 5,5 x =, () 0 0x = 4, () 00x = 49, (3) Fazendo (3) () : x= b) x= 0,999...() 0x = 9,999 () 9 Fazendo () (): x c) 0,3 x = 0, () x = 3,999...() 00x = 3, (3) 000x = 39,999...(4) 0 000x = 3999,999...(5) Fazendo (5) (4) : x=

13 3. A atividade sugere um processo geral para transformar decimais finitos em dízimas periódicas. Sempre que o período de um número é formado por infinitos noves, podemos encontrar uma representação decimal finita para esse número. Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma dízima periódica com período formado por infinitos noves. Exemplos de decimais finitos transformados em dízimas: 35, = 35,44 76, = 77 0,007= 0, a) 0,375 0, b), Página 0 5. x, x 3, x 39, Fazendo (3) Por outro mmc (5,33) () () (3) 37 () : x 99 4 lado,,4 0 65, então : 396 e

14 Página 6. a) Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 6 7, vai encontrar como resultado,8574. Como não identificamos facilmente nessa divisão um período que se repita, é possível que o aluno responda que o resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem As dízimas periódicas são previsíveis..., do Caderno de 7ª série do volume. Naquele momento, foi discutido que, ao realizarmos a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de e 6 diferente de 5. Como o denominador da fração apresenta fator primo 7, sabemos 7 que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a identificação do período, recomendamos que o professor solicite aos alunos que façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período (6 7 =, =, 8574 ). 6 b) Faremos agora o desenvolvimento de com fração contínua: 7 () 6 6 está entre e 3, portanto, 7 7 x, com x >. () De 6 7 decorre que x =, ou seja, 7 x (3) está entre 3 e 4, portanto, 3, com y >. y 7 7 (4) De 3 decorre que y =, ou seja, 3. y (5) Como y =, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:

15 Página 3 7. () está entre e 3, portanto, 3 3 x, com x > () De decorre que x =, ou seja, 3 x (5) está entre 3 e 4, portanto, y, com y >. 3 3 (6) De 3 decorre que y = 4, ou seja, 3. 4 y 4 4 (8) Como y =, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é: Página está entre 4 e 5, portanto, 4 = 4, com x >. x () De 4 = 4 decorre que: x 4 x 4 x 4 4 x x 8 5

16 Temos, portanto, () = é um número entre e, portanto, y, y >. (3) De y decorre que y = 4 4 e, portanto, temos: Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo temos: (4) Como y = 4 4 é um número entre 8 e 9, temos , com w > w (5) De decorre que w. Como w repetiu o valor de x, a w 8 partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contínua que representa será: 6

17 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL Páginas O estabelecimento da unidade de medida é uma resposta pessoal (a figura na atividade é apenas ilustrativa de uma possível resposta).. Atividade resolvida o professor deve apenas orientar como se constrói e quais são as propriedades da reta mediatriz. 3. () Traçamos (conforme já foi descrito). () Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e. (3) O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o número 4. 7

18 4. Primeiro marcaríamos o 0 e o. Em seguida, encontraríamos, 4 e 8 pela construção de mediatrizes. De posse de 8, transportaríamos o segmento de extremos em 0 e 8 sete vezes à esquerda da marcação do zero da reta. 5. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente. Página Páginas As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente. 8. a) b) 4 c) 8 d) n, com n potência inteira de (n ) 8

19 Página

20 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA Páginas a) 50 = 5. 0 =,5. 00 = 0, = , b) 0,004 = 4. 0, 00 = 0,4. 0,0 = 0,04. 0, = 0, c) 4,73 = 47,3. 0, = 0, = ,0 = 0, d) 0,5 = 5. 0 =,5. 0 =,5. 0 = 0, e) = = = 5,3. 0 =

21 Páginas Páginas a) Sete bilhões e trezentos milhões ou 7, b) Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou,98. 0 c) Vinte e cinco centésimos ou, d) Quatro décimos de milésimos ou e) Cento e vinte e cinco décimos de milionésimos ou, a) (, habitantes) b) (7, km ) e (4, km ) 5 c) (3. 0 km/s) 4 d) ( 0 m)

22 Página a), = b), = c) 4, = 0, = d) ( ) 4 = =, a) 0 3. (, ) = 0 3. (57) =, b), , =. 0 7 c) = =, d) 75, ,. 0 6 = 7,. 0 6 = 7,. 0 7 Página 46 7.

23 8. Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras. D Sol Sat D Sol Terra D Terra Sat D Sol Sat (,4.0 D D D D 9 ) Terra Sat Terra Sat Terra Sat Terra Sat D Sol Terra (,4.0, ) 94, , D Terra Sat D,96.0 Terra Sat, ,9.0 8, A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente km. Páginas a) É da ordem de 0 0. b) É da ordem de 0 5 kg. c) É da ordem de 0 7 g. d) É da ordem de 0 4 m. e) É da ordem de 0 0 anos. 3

24 AJUSTES Caderno do Professor de Matemática 8ª série/9º ano Volume Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 4

25 Matemática 8 a série, o bimestre esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultaneamente. Escrevemos A B. Exemplo: os diagramas mostram que alguns números ímpares são primos, como, por exemplo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo. Ímpares Primos 5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B. C B A = A B Exemplo: o complementar dos múltiplos de 0 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 5, 5, 35, 45,... M(5) 3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os elementos de A e de B. Escrevemos A B. Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e dos múltiplos de três. A interseção são os múltiplos de seis. M() M(3) 4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem a B. Escrevemos A B. Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da diferença entre os conjuntos. Pares Primos = {0, 4, 6, 8, 0,...}. M(0) 6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia. A B =. Exemplo: os números pares e os números ímpares são mutuamente exclusivos, pois não possuem elemento em comum. Pares Ímpares Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, recorremos a mais diagramas. Por exemplo: Pares Primos Animais Minerais Mamíferos 3

26 Atividade 7 Com base na tabela anterior, imagine o seguinte problema: Em determinado instante, Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na Terra. Neste momento, qual é a distância entre Saturno e a Terra? Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras. D = D + D Sol-Sat Sol-Terra Terra-Sat (, ) = (, ) + D Terra Sat D Terra-Sat D Terra-Sat D Terra-Sat D Terra Sat =, , = , = 94, = 94, , = =, A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente km. Ordem de grandeza Em muitas situações, quando trabalhamos com medidas muito grandes ou muito pequenas, não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 0 que mais se aproxima de um determinado valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida. Exemplos: a) o raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente km. Esse número pode ser escrito como 7, km. Como 7 está mais próximo de 0 do que de, podemos aproximá-lo para 0, resultando no produto Portanto, sua ordem de grandeza é de 0 9. b) a ordem de grandeza do número 0,00003 é 0 5. Isso porque, escrevendo o número em notação científica, 3,. 0 5, notamos que o 3 está mais próximo do do que do 0. Portanto, aproximamos o número para baixo, resultando em Conhecendo as ordens de grandezas de diversas medidas, podemos facilmente distinguir qual é a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 0. Retomando a tabela da atividade 6, que informa as distâncias médias dos planetas ao Sol, podemos constatar que a distância Terra-Sol é da ordem de 0 8 km, enquanto a de Júpiter é da ordem de 0 9 km, ou seja, é cerca de 0 vezes mais distante. Atividade 8 Dê a ordem de grandeza das seguintes medidas: a) população mundial: aproximadamente 6,6 bilhões em b) massa da Terra: 5, kg 0 5 kg 48