CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

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Renato Caetano Fortunato
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1 ENCONTRO 01 E 02

2 CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}. Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. Ex.: B={x /x é número ímpar menor que sete}. Pelo diagrama de Venn. Ex.: 1 3 PRINCIPAIS SÍMBOLOS pertence não pertence / tal que está contido não está contido existe ao menos um! existe um único não existe para todo ou qualquer implicação equivalência união intersecção CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais (IN) IN: {0,1,2,3,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*: IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN. #pág. 2

3 Conjunto dos números inteiros (Z) Z= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4...} Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo: Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Exemplos: Assim, podemos escrever: É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a por b. #pág. 3

4 Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. * Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica Simples? Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador. Ex. #pág. 4

5 Dízimas periódicas compostas a) 0,27777 Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. No caso do numerador, fazse a seguinte conta: (parte inteira com antiperíodo e período) (parte inteira com antiperíodo) Assim: 1, , (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 algarismos) 2, (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos) #pág. 5

6 Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: Um número irracional bastante conhecido é o número p =3, Conjunto dos números reais (IR) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como: O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos: Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5, do ponto. #pág. 6

7 Exercícios 1) Completa usando os símbolos ou : a) 7 N b) 2 Q c) ½ I d) 4 9 Q e) 0, Q f) 64 R g) 3,232 Q h) 3 27 Z 2) Determina, por extensão, os seguintes conjuntos: a) {x N / 1 x 4} b) {x Z / -3 < x 3} c) {x Z / 0 x < 5} d) {x N / x -3} e) {x Z / x > 4} Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: intervalo aberto (a, b) = { x R / a < x < b } intervalo fechado [a, b] = { x R / a x b } intervalo semi-aberto à direita (a, b] = { x R / a < x b } intervalo semi-aberto à esquerda [a, b) = { x R / a x < b } intervalos infinitos (a, + ) = {x R / x > a} [a, + ) = {x R / x a} (, a) = {x R / x < a} (, a] = {x R / x a} Observação: (, + ) = R #pág. 7

8 Exemplos Usando a notação de conjuntos, escreve os intervalos: a) [6,10] = { x R / 6 x 10 } b) (-1,5] = { x R / -1 < x b } c) (-,3) = { x R / x < 3 } Operações com intervalos Intersecção () A B = { x U / x A e x B } União () A B = { x U / x A ou x B } Diferença ( ) A B = { x U / x A e x B } Exemplos 1) Se A = {x R / 2 x < 5} e B = {x R / 3 x < 8}, determina A B, A B, e A B. 2) Se A = {x R / -2 x 0} e B = {x R / 2 x < 3}, determina A B, A B, e A B. Exercícios de Fixação Exercício: determina A B, A B e A B quando: a) A = {x R / 0 < x < 3} e B = {x R / 1 < x < 5} b) A = {x R / -4 < x 1} e B = {x R / 2 x 3} c) A = {x R / -2 x < 2} e B = {x R / x 0} 1) Em uma academia, 200 alunos praticam natação, 250 musculação, 60 fazem as duas modalidades e 90 não fazem nem natação nem musculação. a. Quantos alunos fazem somente natação? b. Quantos alunos não fazem musculação? c. Quantos alunos têm a academia? 2) Em uma escola que tem 410 alunos, 220 estudam inglês, 160 estudam francês e 50 estudam ambas as línguas. Responda: a. Quantos alunos não estudam francês? #pág. 8

9 b. Quantos alunos estudam somente inglês? c. Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? d. Quantos alunos não estudam inglês? 3) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem; 101 assistem as corridas de formula 1 e 27 assistem as corridas de formula 1 e de moto velocidade. Responda: a) Quantas das pessoas entrevistadas assistem às corridas de moto velocidade e de formula 1? b) Quantas das pessoas entrevistadas assistem somente às corridas de moto velocidade? 4) Numa comunidade de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas Número de Telespectadores E 400 N 1220 H 1080 Responda: a) Quantas pessoas da comunidade assistem somente ao programa E? b) Quantas pessoas da comunidade assistem dois desses programas? c) Quantas pessoas da comunidade não assistem nenhum desses programas? E e N 220 N e H 800 E e H 180 E, N e H 100 5) Uma pesquisa sobre a preferência de três marcas de televisores M, P e S com 350 entrevistados revelou que: 197 preferem M; 183 preferem P; 210 preferem S; 85 preferem M e P; 92 preferem M e S; 103 preferem P e S; 10 preferem as três marcas. Determine: a) Quantas pessoas não preferem nenhuma das três marcas?; b) Quantas preferem somente a marca S?; c) Quantas não preferem a marca P? d) Quantas preferem somente uma marca? #pág. 9

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