III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária.

Transcrição

1 1 Projeto Jovem Nota (Fuvest 2000) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições: I) a soma dos quadrados dos 1 e 4 algarismos é 58; II) a soma dos quadrados dos 2 e 3 algarismos é 52; III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. Qual é esse número? 2. (Puc-rio 2002) Seja T um triângulo isósceles de base b e altura a, onde a e b são inteiros. Dado que os lados de T medem Ë10, calcule a área de T. 3. (Ufal 99) Sabe-se que o número A=2Ñ.3Ò.5ö.31 é o mínimo múltiplo comum dos números 2480 e Determine a soma x+y+b+t. 4. (Ufc 2000) Se 1/[(1/3+1/4)] = p/q, onde p e q são números inteiros positivos relativamente primos, determine p+q. 5. (Ufpe 2003) Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração geratriz da dízima periódica 4, Indique a soma dos algarismos de A. 6. (Ufrj 97) Determine os números naturais maiores do que zero que, ao serem divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente. 7. (Ufrj 98) Determine um número inteiro cujo produto por 9 seja um número natural composto apenas pelo algarismo (Ufrj 2001) Prove que, se o quadrado de um número natural n é par, então o próprio número n tem que ser, obrigatoriamente, par (isto é, n Æ N, n par ë n par). 9. (Ufrj 2002) Sejam x = 1 e y = 0, (dízima periódica). Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? a) x < y b) x > y c) x = y Justifique rigorosamente sua resposta. 10. (Ufrj 2003) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42? Justifique.

2 2 Projeto Jovem Nota (Ufrj 2004) Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir: Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas: a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50 linha; b) determine a soma de todos os números escritos na 50 linha; c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar. 12. (Ufsc 2005) Qualquer que seja o número real x, ele obedece à relação n x < n + 1, sendo n um número inteiro. Diz-se que n é a parte inteira de x e é denotada por E(x) = n. A partir dessa definição de E, calcular Y na expressão: Y = [4 E(Ë299) + 2 E(log 127) - E(sen233 )] / [ E(7/8) + E(Ë2)] 13. (Unb 96) Dois números positivos, a e b, têm produto igual a 525. Sabendo que a divisão de a por x tem quociente 4 e resto 1 e que a divisão de b por x+1 tem também quociente 4 e resto 1, calcule o valor de a + b. 14. (Unicamp 97) Sabe-se que um número natural escrito na base 10 como.. a a aƒa aa³ é divisível por 11 se, e somente se, a³-a+a -aƒ+a -a +... for um número divisível por 11. a) Aplique o critério acima para mostrar que o número natural escrito na base 10 como não é divisível por 11. b) Qual o menor número natural que devemos subtrair do número para que a diferença seja um número divisível por 11?

3 Projeto Jovem Nota (Unifesp 2003) Um jovem e uma jovem iniciam sua caminhada diária, em uma pista circular, partindo simultaneamente de um ponto P dessa pista, percorrendo-a em sentidos opostos. a) Sabendo-se que ela completa uma volta em 18 minutos e ele em 12 minutos, quantas vezes o casal se encontra no ponto P, após a partida, numa caminhada de duas horas? b) Esboce o gráfico da função f(x) que representa o número de encontros do casal no ponto P, após a partida, numa caminhada de duas horas, com ele mantendo a velocidade correspondente a 12 minutos por volta e ela de x minutos por volta. Assuma que x é um número natural e varia no intervalo [18, 25]. 16. (Ufpe 2000) Para um número natural n defina p(n) = n -n Analise as afirmações. ( ) p(5) é primo. ( ) Considerando que p(0), p(l), p(2), p(3),..., p(40) são primos temos que p(n) é primo para todo natural n. ( ) p(41) não é primo ( ) Existem infinitos valores de n para os quais p(n) não é primo. ( ) Para todo primo p existe natural n tal que p(n)=p. 17. (Ufsc 99) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Sejam x e y o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 15 e 18, respectivamente. Então o produto xy= Se A={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, então, A é equivalente a {x /xæn e 1<x<7}. 04. Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é (d-r), sendo d o divisor e r o resto. 08. O conjunto solução da inequação (x-3)/(x-2) 1, para x 2, é {xær/1 x<2}. 16. Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos. Então n(a» B) = n(a) + n(b), onde n(x) representa o número de elementos de um conjunto X. 18. (Ufsc 2001) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. A operação de subtração definida no conjunto dos números inteiros possui a propriedade comutativa. 02. O número racional representado por 1/3 também pode ser representado na forma decimal finita. 04. O valor absoluto de um número real menor que zero é o oposto dele. 08. O número 437 é primo. 16. O argumento principal do número complexo z=-1+ë3i é 2 / A diferença entre os números reais Ë75 e 5Ë3 é um número racional.

4 Projeto Jovem Nota (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) A representação dos pontos do plano através de pares ordenados de números reais (x, y) deve estar sempre referenciada a um sistema de eixos ortogonais. (02) Um subconjunto A dos números reais será denominado intervalo quando a implicação "(a, b Æ A e a < x < b) ë ( x Æ A)" for verdadeira. (04) É possível obter uma bijeção entre o conjunto N dos números naturais e o conjunto Z dos números inteiros. (08) É possível obter uma bijeção entre o conjunto N dos números naturais e o conjunto Qø dos números racionais positivos. (16) Se a < b são dois números racionais existem sempre x racional e y irracional com a < x < b e a < y < b. 20. (Unb 98) Considerando a e b quaisquer números reais que satisfazem à condição 0 a < b, julgue os itens que se seguem. (1) 1/(1 + a ) 1/(1 + b ) (2) a/(1 + a) b/(1 + b) (3) b/(a + 3b ) > a/(b + 3a ) (4) a - b < a - b

5 GABARITO Projeto Jovem Nota x = 4, y = 1, b = 3, t = 1. logo: x + y + b + t = 9 4. p + q = , 20, Provar que "n par ë n par" é equivalente a provar que "n ímpar ë n ímpar". Seja n=2k+1, para k Æ N. Então, n =(2k+1) =4k +4k+1=2(2k +2k)+1, k Æ N, que é um número natural ímpar. Provamos, portanto, que, se n é ímpar, então n é ímpar. Pela equivalência concluímos que, se n for par, então n é par. 9. Observamos que: 10. Se n deixa resto 3 quando dividido por 7, então n = 7k + 3 para algum k Æ Z. Analogamente, n = 6l + 5 para algum l Æ Z. Portanto, {6n = 42k + 18, 7n = 42l Subtraindo a primeira da segunda, obtemos n = 42 (l - k) Portanto, n deixa resto 17 quando dividido por a) 99 b) c) Seja q(n) a quantidade de números na n-ésima linha. Observando que a quantidade de números na 1 linha é 1, na 2 é 3, na 3 é 5, e assim sucessivamente, temos q(n) = 2n -1. S = n + (n+1) + (n + 2) [n + q(n) -1] S = q(n). n + { [q(n) -1] } S = q(n). n + { q(n). [(q(n) - 1]/2 }

6 Projeto Jovem Nota 10 Sabendo que q(n) = 2n - 1, vem S = (2n -1). 12. Y = a) O número não é divisível por 11 pois, pelo critério do enunciado: = 5, que não é divisível por 11. b) a) 3 vezes b) Observe a figura a seguir: 16. V F V V F = = proposições corretas: 02, 04, 08 e 16 proposições incorretas: F V V F