01. D e m o n s t r a r q u e s e. 02. Mostre que se a 1 a2

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1 Série Professor(a) Aluno(a) Rumo ao ITA Marcelo Mendes Sede Turma Turno Data N / / Ensino Pré-Universitário TC Matemática Revisão de Álgebra OSG.: 85/0 Exercícios de Fixação 0. Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x + ax + bx + c. 0. Se f(x)f(y) f(xy) = x + y, "x,y R, determine f(x). 0. Encontre x real satisfazendo x = x. 0. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 00 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8. A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras. B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação? 05. Encontre todas a soluções reais positivas da equação x x x x + = + 6, onde k denota o maior inteiro menor que ou igual ao número real k. (Sugestão: analise o resto da divisão de x por 6). 06. A função f, definida sobre o conjunto dos pares ordenados de inteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(, 5). 07. Simplifique a expressão a a a... a. 08. A soma dos algarismos de um número é. Invertendo-se a ordem dos algarismos, tem-se um novo número igual a 7 do original. Determine o número sabendo que ele tem dois algarismos. 09. Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades: I. Em sua representação, tem 6 como último dígito. II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior que o número original n. 0. I. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6 tal que o inteiro formado apagando-se este 6 é do inteiro original. 5 II. Mostre que não existe inteiro tal que a retirada do primeiro dígito produz um novo inteiro que é do inteiro original. 5. Para quais valores a desigualdade x + > x + é falsa? x x Ejercicios Propuestos 0. D e m o n s t r a r q u e s e A a Aa + Bb + Cc = ( A + B + C)( a + b + c). = B C b = c, e n t ã o o c o r r e 0. Mostre que se a a a = = e p, p, p não são todos nulos, b b b n n n n a pa pa pa então n n n b = + +, para todo inteiro positivo n. pb + pb + pb 0. (IME/007) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que a + b b + c c + a = =, determine o valor numérico de a + b. c a b c 0. Se x é um número satisfazendo a equação x + 9 x 9 =, então x está entre: A) 55 e 65 B) 65 e 75 C) 75 e 85 D) 85 e 95 E) 95 e Considere todas as retas que encontram o gráfico da função f(x) = x + 7x + x 5 em quatro pontos distintos, digamos (x, y ), (x, y ), (x, y ), (x, y ). O valor de x + x + x + x é: A) B) 7 8 C) 7 D) independente da reta. 06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equação ix x + i = 0, sendo i =? A) A soma das raízes é. B) O discriminante é 9. C) As raízes são imaginárias. D) As raízes podem ser encontradas usando a fórmula quadrática. E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando números imaginários. 07. Se a parábola y = ax + bx +c passa pelos pontos (, ), (0, 5) e (, ), então o valor de a + b + c é: A) B) C) 0 D) E) 08. (IME/007) Sejam x e x as raízes da equação x + (m 5)x + m = 0. Sabendo que x e x são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m.

2 09. Se x = C) D) E) então x 999x 997 é igual a: 0. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K (x )(x ) tem raízes reais? A) Nenhum B) < K < C) < K < D) K > ou K < E) Todos. (Romênia/006) Encontre todos os números reais a e b satisfazendo (a + )(b + ) = (a + )(b + )(ab + ). (Sugestão: Equação do º grau em a).. Suponha que a função f: satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x) para todos x, y e. Podemos afirmar que: A) f() = 0 B) f() = C) f é uma função constante D) f() = f() sen x. Seja f: * a função definida por f( x) =. Mostre que + x existem números reais b 0, b, b,..., b k,... tais que b π k + f( b = k ). n n +. (IME/007) Seja f: uma função tal que f( k) = 008, n + k= 0 onde e o são, respectivamente, o conjunto dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de f( 006). 5. Seja f: uma função satisfazendo f(n ) = f(n + m) f(n m) + m, "m, n. Então f(0) = C) 0 ou D) 6. Se f(x) = ax c satisfaz f() e f() 5, então A) 7 f() 6 B) f() C) f() 5 D) f( ) E) 8 f( ) 7. I) Se n é um inteiro positivo tal que n + é quadrado perfeito, mostre que n + é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos. II) Se n + é um quadrado perfeito, mostre que n + é a soma de três quadrados. 8. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números a + a b + b triangulares n = +. Mostre que n + pode ser escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b. 9. Ache todos os inteiros positivos x, y tais que: y x(x + )(x + )(x + ) = 0. Para quantos inteiros positivos n entre e 00 é possível fatorar x + x n como produto de dois fatores lineares com coeficientes inteiros? C) D) 9 E) 0. Defina a operação o por xoy = x y + xy, "x, y. Para quantos números reais y tem-se oy =? C) D) E) mais que. (Latvian/997) Quantos dígitos de n = são iguais a? 00 A) 997 B) 998 C) 999 D) 000 E) 00. Seja n > um inteiro. Prove que o número é racional não. A) Se tg α é um número racional (a kp, k ), prove que cosa e sena são números racionais. B) Reciprocamente, se cosa e sena são números racionais, prove que tg α é um número racional. 5. Considere as afirmativas: I. Entre dois números racionais sempre existe um outro número racional. II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional. III. O produto de dois números irracionais é sempre irracional. IV. Existe sempre um número racional entre dois números inteiros. V. Existe sempre um número inteiro entre dois números racionais. Conclua que: A),, são verdadeiras. B),, são verdadeiras. C) Somente e são verdadeiras. D) Somente e são verdadeiras. E) Somente e 5 são falsas. 6. O número de soluções reais da equação: x x + x + x = é: x C) D) E) maior que 7. Sendo x + x + y = 0 e x + y y =, encontre x + y. A) B) C) 8 D) 5 E) n n OSG.: 85/0

3 8. (ITA/007) Sobre a equação na variável real x, x = 0, podemos afirmar que: A) ela não admite solução real. B) a soma de todas as suas soluções é 6. C) ela admite apenas soluções positivas. D) a soma de todas as soluções é. E) ela admite apenas duas soluções reais. 9. Qual é o produto das raízes da equação: x + 8x + 0 = x + 8x + 5? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 0. Um número primo e positivo é formado por algarismos não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o número ficará aumentado em 60 unidades. Dessa forma, a soma desses algarismos pode ser: A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 0. (EUA) No sistema de numeração de base 0, o número 56 representa Em Terras Brasilis, entretanto, os números são escritos na base r. Wellington compra um automóvel lá por 0 unidades monetárias (abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 000u.m. e recebe de troco 0u.m. A base r é: A) B) 5 C) 7 D) 8 E). (EUA) O número 695 é escrito no sistema de numeração de base fatorial, isto é, 695 = a + a! + a! +...+a n n!, onde a, a,..., a n são inteiros tais que 0 a k k, e n! representa n (n ) (n ).... Encontre a. C) D). (EUA) O número b, escrito na base inteira b, é o quadrado de um inteiro para: A) b = 0, apenas B) b = 5 e b = 0, apenas C) b 0 D) b > E) Nenhum valor de b. Se as igualdades a + b + c = a + b + c = a + b + c = são satisfeitas, então abc = A) 0 B) 6 C) D) 5. O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, em um dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, com um acréscimo de 00 participantes, o número de alunos passou a ser um quadrado perfeito mais. Um ano depois, com mais um acréscimo de 00 participantes, o número de alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. A quantidade inicial de alunos é um múltiplo de: A) B) 7 C) 9 D) E) 7 6. São dados a, b, c. Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca + ab > 0 e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > Sejam a, b, c, d reais tais que a + b = c + d =, ac + bd = 0. Calcular ab + cd. ( )( + + ) = 8. Se x e y são reais tais que x + x + y y, prove que x + y = (ITA/007) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x 6x + c numa diferença de dois cubos (x + a) (x + b). Neste caso, a + b c é igual a: A) 0 B) C) D) 0. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maior número entre x e y e seja m(x, y) o menor número entre x e y. Se a < b < c < d < e, então M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) = A) a B) b C) c D) d E) e. (EUA) 6 é igual a: A) + 5 B) C) D) E) (EUA) O número de soluções distintas da equação: x x + = é: C) D). (EUA) O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos que satisfazem simultaneamente as equações: ab + bc = ac + bc =, é C) D). (EUA) Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos do número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6. Um valor de n que mostra que S é falsa é: A) 0 B) C) 0 D) 5. (EUA) Qual dos seguintes números está mais próximo de 65 6? A) 0, B) 0, C) 0, D) 0,5 E) 0,6 OSG.: 85/0

4 6. Prove que a fração n + natural n. n + é irredutível para todo número 55. (ITA/008) Dado o conjunto A = { x R / x + x < x }, expresse-o como união de intervalo da reta real. 7. Qual é o produto das raízes da equação x + 8x + 0 = x + 8x + 5? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 8. Seja n um inteiro não negativo. O polinômio T n (x) é definido, para x, por T 0 (x) = e T n (x) = cos n (arccos x), n. Considere as afirmações sobre T n (x): I. Seu grau é n; II. Seu coeficiente líder é n ; III. T (x) = 8x 8x +; IV. A soma de seus coeficientes é. Quantas são verdadeiras? C) D) 9. O número de pares ordenados (x, y) com x, y Z, satisfazendo x xy y = 7 é: C) D) E) maior que 50. Quantos pares de números reais (a, b) existem tais que a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade ( f( x)) cos x f( x) < sen x, x [ 0, π]? C) D) E) mais que 5. Dada a equação x {x} + x = {x} + 0, sendo x a parte inteira de x e {x} a parte fracionária de x (0 {x} < ): A) mostra que ( x ({x} + ) = 9; B) encontre todas as soluções dessa equação. 5. Analise as sentenças a seguir: I. Existem exatamente 0 números naturais de dígitos que são cubos perfeitos; II. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9; III. O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa resto na divisão por ; IV. A soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos é um número par não múltiplo de. Quantas são verdadeiras? C) D) 5. Seja A = um número em que o dígito 7 aparece 00 vezes. Determine o quociente e o resto da dívisão de A por O conjunto solução da inequação A) (, ) (, ) B) (, ) (, ) C) (, ) (0, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, 0) x x + x x < 0 é: 56. a x b representa a operação sobre dois números a e b que seleciona o maior dos dois números, com a x a = a. Além disso, a + b representa a operação sobre dois números a e b que seleciona o menor dos dois números, com a + a = a. Qual das seguintes regras é(são) correta(s). I. a x b = b x a II. a x (b x c) = (a x b) x c III. a + (b x c) = (a + b) x (a + c) A) I apenas. B) II apenas. C) I e II apenas. D) I e III apenas. E) I, II e III. 57. Seja f(x) = x + x + e S, o conjunto de inteiros {0,,,..., 5}. O número de elementos s de S tais que f(s) deixa resto 0 (zero) na divisão por 6 é: A) 5 B) C) D) 8 E) Se p é um inteiro positivo, então p + 5 pode ser um inteiro p 5 positivo, se e somente se, p é: A) pelo menos. B) pelo menos e não mais que 5. C) não mais que 5. D) igual a 5. E) igual a ou Calcule a soma dos valores inteiros positivos de n de modo que n + 6 seja um inteiro. n + A) 0 B) C) D) 5 E) (Cone Sul) Existem números inteiros ímpares a, a,..., a tais que iai = 00 a 00? i= 6. (Baltijos Kelias) Denote por d(n) quantidade de todos os divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo e n). n Prove que existem infinitos n tais que é um inteiro positivo. d( n) 6. A expressão n + é o quadrado de um inteiro para exatamente quantos números naturais n? A) 0 B) C) D) E) mais de 6. Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos aa, bc e cd são números primos e aa + bc + cd = aa. Se b < c, então bc é igual a: A) 9 B) 7 C) 7 D) 9 E) 59 OSG.: 85/0

5 6. O crescimento da quantidade de coelhos do professor Fabrício Maia obedece, mês a mês, a sequência de Fibonacci, isto é, ao final do primeiro mês ele tinha c = coelhos, ao final do segundo, c = coelhos e, a partir do terceiro mês, para desespero do professor Fabrício, o número de coelhos ao final do n-ésimo mês satisfazia c n = c n + c n, n. Se após um ano e meio ele tinha coelhos e nos dois meses seguintes nasceu um total de 0.96 coelhos, quantos comedores de cenoura o professor Fabrício possuía ao final do 0º mês? A) 7.7 B) 0.96 C) D) 5.7 E) n.d.a. 65. (OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão? A) quarenta e oito. B) quarenta e nove. C) cinquenta. D) cinquenta e um. E) cinquenta e quatro. 66. Quantos inteiros positivos N de três dígitos existem tais que N e a soma de seus dígitos são divisíveis por? A) 0 B) C) D) E) mais de 67. O valor da soma S = é: A) B) C) D) 6 E) n.d.a. 68. Dada a sequência de equações x + =, x + =, x + = 9,..., x n + n = n, calcule o valor de x + x + x x n. A) n B) n( n ) C) n + D) n( n + ) E) n.d.a 69. (EUA) Seja N = , com somas e subtrações alternando-se em pares. O resto de N na divisão por 000 é: A) 0 B) 00 C) 00 D) Se x + x 6 ( y ) + = 0 e x r, então: A) x < B) x C) y r D) x 6 x y + = 0 E) n.d.a Encontre todos os a reais tais que a + b + aa b (a + ) (a b + ab ), sempre que a e b são reais. Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalente a (a b) (a + ab aab + b ) (OBM) O maior inteiro que não supera + + igual a: A) B) 6 C) 7 D) 8 E) Sejam a, b, c, d inteiros distintos tais que a equação (x a) (x b) (x c) (x d) = 0 tem uma raiz inteira r. Então, A) r = a + b + c + d B) r = a + b + c + d C) a + b + c + d = 0 D) r = 0 E) n.d.a. 7. Quantas soluções x, y, z inteiras a equação x + y + z = x(y + z) possui? D) C) E) mais de 75. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo e x + y = z, então y é igual a: A) x B) x + C) x D) x E) x Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k inteiro positivo existem tais que k pk é também um inteiro positivo? A) 0 B) C) D) E) mais de 77. Para quais valores de a as duas raízes de x ax + = 0 pertencem ao intervalo [0; ]? 78. Sendo l um parâmetro real, l, resolva a inequação quadrática x lx + < Determine todas as soluções reais da inequação x x x + < 0. x + y + z = Resolva em R o sistema de equações x y =. yz = 8. São dados os números reais a, a. Se a desigualdade x (a + a ) x + a a > 0 tem como conjunto solução R {a}, α a 0, então é igual a: a + a A) B) C) D) E) é OSG.: 85/0

6 8. (EUA) Defina n a! para n e a positivos como n a! = n(n a)(n a) (n a)... (n ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka. Então o quociente 7 8! é igual a: 8! A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 8. O número de soluções reais distintas da equação x + 7 x = é igual a: C) D) 8. Se x é um número satisfazendo x + 9 x 9 =, então x está entre: A) 55 e 65 B) 65 e 75 C) 75 e 85 D) 85 e 95 E) 95 e Considere as afirmações: I. A função f associa a cada real x o menor elemento do x conjunto x +, 5. O valor máximo de f(x) é 6 ; II. Existe apenas um valor real de x que satisfaz a inequação x + ; x III. A soma das raízes reais de x + x + x = 0 é ; IV. Há exatamente 0 valores inteiros de x para os quais x + 99 também é um número inteiro. x + 9 Quantas são verdadeiras: C) D) 86. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax bx + c, abc 0,. Se uma de suas raízes está no intervalo de ( ; ) e a outra no intervalo (; ), analise as seguintes sentenças e marque o item correto. I. P(0) < 0 II. abc < 0 III. P( ) P 0 > A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFV x 87. Considere a expressão matemática f( x) = tal que f(a) = x + 6 b, {a, b} Z. Indique o número de valores diferentes que a pode assumir. A) 8 B) 0 C) 8 D) O valor mínimo da função real e de variável real dada por f(x) = x + + x + x é: C) D) E) Qual é a soma das soluções da equação: x + x x = 0? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) Considere os conjuntos A = {x r /x < }, B = {x z / x < }, C = {x z / x > x}, então A (B C) é o conjunto: A) B) (; ) C) ( ; 0) {} D) ( ; 0) { } E) ( ; ) 9. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x n) (x n ) (x n 6) (x n 9) (x n ) (x n 5) < 0 é 9, indique o valor inteiro de n. A) 5 B) C) D) E) 9. Determine a quantidade de pares ordenados de números reais que verificam a equação 5x xy + y x y + = 0. C) D) E) mais de 9. (China-Adaptado) Seja n um número inteiro positivo e d(n), a quantidade de divisores positivos de n. Encontre todos os inteiros c não negativos tais que existe n satisfazendo d(n) + j(n) = n + c, sendo j a função de Euler. 9. (IME/00) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que r t <. Considere as seguintes relações: s v I. ( r + s) t v < ( + ) s v r t II. r + s t v III. r s ( ) < ( + ) ( r + t) < ( s + v) ( r + t) r + t < ( ) IV. s v O número total de relações que estão corretas é: C) D) Gabarito Exercícios de Fixação Revisão de Álgebra * * * * * * * * * * * * 0: a = b = c = 0; a =, b =, c = 0; a =, b = c = 0: f(x) = x + 0: + 5 0: a) 7, b) 05: x, x 6k + 06: 56 07: a 0 a 08: 8 09: 586 0: I. k 5 k, k : (, 0] {} 6 OSG.: 85/0

7 Gabarito Exercícios Propostos * C D A C * E E * A * A B * D E B C C C D B B D D D A B B B A C C B B B E C A * C * A * C E B D * * B C A D B A B B A * D A B A B * * * B D E C D E A E A D B B * D 60: Não 6: n pk, p primo 7: a 77: a 79: 5 5,, 80: {(,, ), (,, )} 9: c = 0 ou Anotações * 0: Demonstração 0: Demonstração 0: ou 08: {0, 7, 9, 5, 7, } : a = b = : Demonstração : 007 7: Demonstração 8: Demonstração 9: y = x(x + ) + : Demonstração : Demonstração 6: Demonstração 8: Demonstração 6: 5: B) 6, 8; 7, 5; 58 7 ; 9, 5; 0 5: q = 777 A , sendo A = (com 66 s) e r = : ( ; ) ; (, ) + 7 FM /0/0 Rev.: MA OSG.: 85/0

8 TC Matemática 8 OSG.: 85/0