Conjuntos. Ou ainda por diagrama (diagrama de Venn-Euler):

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1 Capítulo 1 Conjuntos Conjunto é uma coleção de objetos, não importando a ordem ou quantas vezes algum objeto apareça, exemplos: Conjunto dos meses do ano; Conjunto das letras do nosso alfabeto; Conjunto dos números naturais maiores que 2. Os conjuntos são representados escrevendo todos os seus elementos separados por vírgula, exemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {1, 3, 5, 7, 9} Ou ainda por diagrama (diagrama de Venn-Euler): Pertinência Se um elemento x é um elemento de um conjunto A, escrevemos x A x pertence a A). Por outro lado, se o elemento x não é elemento de A, escrevemos x A x não pertence a A). Conjunto Vazio O Conjunto que não possui nenhum elemento chama-se conjunto vazio e é representado pelo símbolo ou por { }. Conjunto finito é todo aquele que possui um número finito de elementos Exemplos: A = {Vogais do alfabeto} B = {Números ímpares menores que 10} C = {1, 2, 3, 4, 5,..., 100} Conjunto infinito é todo aquele que possui um número infinito de elementos Exemplos: D = {Números pares} E = {1, 2, 3, 4, 5,...} Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de B. A relação A é subconjunto de B é denotada por: A B ( A está contido em B) ou B A (B contém A) exemplos: Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, então A B, pois todo elemento de A é também elemento de B. 1

2 Igualdade entre Conjuntos Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B e escrevemos A = B se e somente se todos os elementos de A também são elementos de B. Exemplo: se A = {5, 9, 2} e B = {2, 9, 5}, então A = B, pois todo elemento de A está em B e todo elemento de B está em A. União entre Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e denota-se por A B ( A união B) o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B. Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4, x, y} e B = {1, 2, 6, c, d}, então A B = {1, 2, 3, 4, 6, c, d, x, y}. Resumindo: A B = {x x A ou x B}. Interssecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B e se indica A B (A intersecção B) o conjunto cujos elementos são comuns a A e B, isto é, que pertencem a A e também a B. Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, então A B = {3, 4} Resumindo:A B = {x x A e x B}. Diferença entre conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre os conjuntos A e B nessa ordem e se indica A B o conjunto cujos elementos pertençam a A mas não a B. Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, então A B = {1, 2} Resumindo: A B = {x x A e x B}. Cardinalidade Cardinalidade de um conjunto é o número de elementos desse conjunto, por exemplo se A = {5, 6, 7, 8}, então na = 4, pois A possuí 4 elemento. OBS: Não a concenso na notação de cardinalidade, existem muitas formas de denota-la, A e A e na são as mais comuns, utilizaremos em nossas aulas na. 2

3 Resumo dos símbolos utilizados no estudo dos conjuntos Exercícios faça a lápis para poder usar a borracha se necessário. 1. Dados os conjuntos A = {4, 5, 6, 7, 8}, B = {x, y, z}, C = {1, 3, 4, 5, 6} e D = {3, 4, 5}, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações: (a) 1 A... (b) 1 B... (c) 4 A... (d) D C... (d) C D... (e) x A B Pinte a figura de acordo com a operação indicada: (a) A B (b) A B (c) A B (d) B C (e) A C (f) A B (g) B C (h) A B (i) A B C (j) A (B C) 3. Dados os conjuntos A = {x, y, z, w} ; B = {x, y} ; C = {a} e D = {a, x, y, z, w} determine: (a) A B =... (b) D A =... (c) A B =... (d) A C =... (e) B C =... (f) D A = Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo. (a) 0 {0, 1, 2, 3, 4}... (b) 0... (c) x... (d) 0 { 1, 0, 1, 2, 3}... (e) {2, 3} {1, 2, 3, 4}... (f) {2, 3} {1, 2, 3, 4}... (g) {3} {1, 2, 3, 4}... 3

4 5. Dados os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {0, 1} e Z = {1, 2, 3} determine: (a) X Y =... (b) Y Z =... (c) Y Z =... (d) X Y Z =... (e) (X Y) Z =... (f) X (Y Z) = Dados os conjuntos A = {Ω, Ψ,, Θ, Σ,, } e B = {,,,,,,, }, denotamos por na o número de elementos do conjunto A, assim na = 7, pois o conjunto A possui 7 elementos. Determine o que se pede a seguir: (a) nb =... (b) n(b A) =... (c) n(a B) =... (d) n(a B) =... (e) n(a B) = Dados os conjuntos A = {5, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2} e B = {2, 2, 2, 7, 5} e C = 8, 9 determine: (a) na =... (b) na =... (c) n(b A) =... (d) n(a B) =... (e) n(a B) =... (f) nc =... (g) na C =... (h) n(a C) =... (i) n(b C) = Dado o diagrama seguinte, determine os seguintes conjuntos, escrevendo seus elementos: (a) A =... (b) B =... (c) C =... (d) A B =... (e) A B =... (f) B A =... (g) C A =... (h) C B =... (i) C (A B) =... (j) C (A B) = Os conjuntos A, B e A B tem, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. Qual é número de elementos de A B?... 4

5 10. Na figura abaixo, estão representados os conjuntos A, B e C não vazios. A região pintada representa o conjunto: (OBS: Questão de múltipla escolha) 11. Na figura abaixo, estão representados os conjuntos A, B e C não vazios. A região pintada representa o conjunto: (OBS: Questão de múltipla escolha) 12. Na figura abaixo, estão representados os conjuntos A, B e C não vazios. A região pintada representa o conjunto: (OBS: Questão de múltipla escolha) 13. Na figura abaixo, estão representados os conjuntos A, B e C não vazios. A região pintada representa o conjunto: (OBS: Questão de múltipla escolha) 5

6 Aplicações do conceito de Conjuntos 1. Numa classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido indicados dois livros. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B por 28. Pergunta-se: (a) Quantos alunos consultaram os dois livros?... (b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A? (CESPE) Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma leem o jornal X e 60% leem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos. (a) 80% (b) 14% (c) 40% (d) 60% (e) 48% 3. Dos 650 alunos matriculados em uma escola de idiomas, sabe-se que 420 cursam inglês e 134 cursam espanhol e 150 não cursam inglês nem espanhol. Determinar o números de alunos que: (a) cursam inglês ou espanhol... (b) cursam inglês e espanhol... (c) cursam espanhol e não cursam inglês... (d) cursam apenas inglês ou apenas espanhol Uma escola ofereceu aos seus alunos aulas de reforço em matemática (M), física (F) e química (Q). O número de alunos matriculados consta da tabela abaixo: M F Q M e F F e Q M e Q M, F e Q Pergunta-se: (a) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de matemática?... (b) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de química?... (c) Quantos alunos se inscreveram para as aulas de física ou de química?... (d) Quantos alunos se inscreveram apenas para as aulas de física e matemática?... 6

7 5. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. (a) Quantos alunos estudam inglês ou francês?... (b) Quantos alunos não estudam qualquer das duas linguas Um professor de português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. (a) Quantos alunos leram Iracema?... (b) Quantos alunos leram só Helena?... (c) Qual o número de alunos nessa classe?... 7

8 Capítulo 2 Conjuntos Numéricos Os principais conjuntos numéricos recebem as seguintes notações: Conjunto dos números naturais N N = {0, 1, 2, 3, 4,...} Nota: N é usado para indicar a supressão do zero, assim: N = {1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos números inteiros Z Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} (inteiros positivos) Z = {... 4, 3, 2, 1, 0} (inteiros negativos) Conjunto { dos números racionais } Q a Q = b a Z e b Z. Números racionais são todos os números que podem ser representados na forma a, com a e b inteiros b e b diferente de zero. Exemplos de números racionais: 0, , conjunto dos números irracionais R Q Os números irracionais são aqueles que NÃO podem ser representados na forma a, com a e b inteiros b e b diferente de zero. ou seja são todos números reais que não são racionais. Exemplos de números irracionais: 2 = 1, = 1, π = 3, Conjunto dos números reais R A união dos números racionais com os números irracionais forma o conjunto dos números reais. Através dos diagramas de Venn visualizamos melhor a relação entre os conjuntos numéricos. Da representação acima podemos concluir que N Z, Z Q e Q R. Você pode estar se perguntando, onde entra os irracionais nesta representação? bom esta pergunta não será respondida nesta apostila. 8

9 Reta Real Os números reais são representados graficamente considerando a correspondência biunívoca existente entre os pontos de uma reta e os números reais. Intervalos numéricos Considerando dois números reais a e b, sendo a < b, vamos definir alguns subconjuntos de R, chamados intervalos numéricos de extremos a e b. Um intervalo pode incluir ou não os extremos, daí termos a seguinte classificação: Intervalo fechado: Quando inclui os extremos a e b, ou seja, este intervalo é o conjunto de todos os pontos da reta compreendidos entre a e b. Formalmente é o subconjunto de R: {x R a x b} Notação [a, b]. Intervalo aberto: Quando não inclui os extremos a e b, este intervalo é o conjunto de todos os pontos da reta compreendidos entre a e b excluíndo-se esses. Formalmente é o subconjunto de R: {x R a < x < b} Notação ]a, b[. Intervalo aberto a esquerda Quando não inclui o extremo a, este intervalo é o conjunto de todos os pontos da reta compreendidos entre a e b excluíndo-se a. Formalmente é o subconjunto de R: {x R a < x b} Notação ]a, b]. Intervalo aberto a direita Quando não inclui o extremo b, este intervalo é o conjunto de todos os pontos da reta compreendidos entre a e b excluíndo-se b. Formalmente é o subconjunto de R: {x R a x < b} Notação [a, b[. Intervalos indicados pelo símbolo (Infinito) [a, [ = {x R x a} ], b] = {x R x b} ]a, [ = {x R x > a} ], b[ = {x R x < b} Exercícios faça a lápis para poder usar a borracha se necessário. 1. Usando os símbolos,, ou, estabeleça a relação entre os itens a seguir: (a) 3...N (b) 3...Z (c) -3...N (d)-3...z (e) 0...Z (f) 3...Z (g) -3...Z + (h) -3...Z (i) 0,25...Z (j) 0,25...Q (k) N (l) 3...Q (m) -3...R (n)-0,125...r (XX) 0...R 4 (o) N...Z (p) Z...N (q) N...Q (r) Q...R (s) Z...R 9

10 2. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir: (a) 5 N (b) 4 Z (c) 16 N (d) 24 8 Z (e) 0 Z (f) 3 N (g) 12 Z (h) 64 N (i) Z (j) 5 R (k) 3 4 N (l) 3 4 Q (m) 4 5 R (n) 4 2 R (o) Q R (p) 4 [3, 5] (q) 5 [3, 5] (r) 3 ]3, 5] (s)0 [ 2, 5] (t) 1 [ 2, 5] 3. Usando os símbolos,, ou, estabeleça a relação entre os itens a seguir: (a) {x R 1 x 3} (b) 0... {x R 1 x 3} (c) 5... {x R 1 x 5} (d) [-3,5]... {x R 1 x 3} (e) [0,4]... {x R 1 x 5} (f) {x R 1 x 2} (g) {3,4,8}... {x R 0 x 15} (h) {3,7}... [0,10] (i) 3,14... {x R 0 x 5} 4. Escreva os intervalos em forma de conjunto e os represente na reta numérica como nos exemplos a seguir: [ 1, 2]= {x R 1 x 2} [ 1, 2[ = {x R 1 x < 2} ], 2] = {x R x 2} (a) [2, 3] =... (b) ]2, 3] =... (c) [2, 3[ =... (d) ]2, 3[ =... (e) [2, + [ =... (f) ], 2[ =... (g) [ 3, 0[ =... 10