Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 2 a Lista de Exercícios

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 2 a Lista de Exercícios Tópico: Conjuntos, Elementos, Subconjuntos e Conjuntos das Partes 1. Definir, pela enumeração dos seus elementos, cada um dos seguintes conjuntos: (a) Conjunto das letras da palavra granada. (b) Conjunto dos nomes dos meses que começam com a letra j. (c) Conjunto de todos os números naturais que são divisores de 20. (d) Conjunto de todos os números naturais menores que 27 e que são múltiplos de 5. (e) Conjunto de todos os números naturais primos maiores que 15 e menores que Sendo A = {1, 4, 9, 10, 11}, representar por enumeração, os conjuntos: (a) {x A / (x + 1) A} (b) {x A / x 2 5x = 0} (c) {x A / 3 < x < 11} 3. Considere s seguintes subconjuntos de Z e descreva-os através de uma propriedade e citando seus elementos: (a) O conjunto dos números inteiros positivos entre 3 e 7. (b) O conjunto dos números inteiros entre 3 e 7. (c) O conjunto dos números inteiros negativos maiores que 4. (d) O conjunto dos números inteiros positivos menores que Representar, por enumeração, os seguintes conjuntos: (a) {x IN / x 2 < 18} (b) {x Z / 2x 5 < 6} (c) {x Z / x 2 3x = 0} (d) {x Z / x 2 = x} (e) {x Z / x 6 2} (f) {x Z + / x! = 1}

2 2 5. Descreva, através de uma propriedade, os seguintes conjuntos: (a) {1, 2, 3,..., 9} (b) {3, 6, 9,..., 99} (c) {2, 4, 6, 8,...} 6. Verificar quais dos seguintes conjuntos são vazios ou unitários: (a) A = {x Z / 1 < x < 1} (b) B = {x Z / x < 0} (c) C = {x Z / x 2 = 4 e x é ímpar} (d) D = {x Z / x 2 = 9 e 2x = 6} (e) E = {x IR / x 2 2x + 5 < 0} 7. Representar na reta real os seguintes conjuntos: (a) {x IR / 2x + 3 = 3x 5} (b) {x IR / 5 < x 3} (c) {x IR / x 2 = 3} (d) {x IR / x > 3 e x < 5} (e) {x IR / x é primo e x < 10} 8. Verificar as igualdades: (a) {x IR / x 2 4x + 3 0} = {x IR / x / (1, 3)} (b) {x IR / (x + 2) 2 (x 2) 2 = 8} = {1} (c) {x IN / 8 < x 2 < 20} = {x IN /x 2 7x + 12 = 0} 9. Dados os conjuntos X = {a, b, c}, Y = {a, b}, Z = {a, b, d}, V = {d} e W = {c, d} verificar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: (a) Y X (b) V Y (c) V X (d) W V (e) Z V (f) Z X 10. Dados os conjuntos A = {r, s, t, u, v, w}, B = {u, v, w, x, y, z}, C = {s, u, y, z}, D = {u, v}, E = {s, u} e F = {s} determinar quais dos conjuntos dados pode substituir o conjunto X de modo que resultem verdadeiras as seguintes sentenças: (a) X A e X B (b) X B e X C (c) X A e X C (d) X B e X C

3 3 11. Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, achar todos os subconjuntos X A tais que {1} X e X A. 12. Dados os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, determinar todos os subconjuntos X B tais que A X B. 13. Determinar todos os subconjuntos do conjunto A = {0, {1, 2}}. 14. Sendo E = {a}, determinar P(P(E)). 15. Determinar P(P( )). 16. Seja A = {{ }, }. Verificar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas: (a) {{ }} A (b) A (c) { } A (d) {{ }} A (e) A (f) { } A 17. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo. Reescreva aquelas que forem falsas de modo a torná-las verdadeiras. (a) 0 {0, 1, 2, 3, 4} (b) {a} {a, b} (c) {0} (d) 0 (e) {a} (f) a {a, {a}} (g) {a} {a, {a}} (h) {, {a}} (i) {, {a}} (j) {a, b} {a, b, c, d} 18. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 2, 3} e C = {0, 1, 2, 3}, classifique em verdadeiro ou falso cada afirmação abaixo: (a) A B (b) A C (c) B C (d) {1} A (e) B C (f) {0, 2} B 19. Dados A = { 4, 1, 0, 1, 2, 6, 9} e B = {x é irracional / x = a, com a A}, quais são os elementos do conjunto B?

4 4 Tópico: Operações entre conjuntos 1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5, 6}, calcular: (a) A B (b) A C (c) B C (d) (A B) C (e) A (B C) 2. Calcular, dando o resultado com a notação de intervalo: (a) {x IR / x 2 4} {x IR / x [ 1, 2]} (b) {x IR / 2 < x 3} {x IR / 5 < x 1} (c) {x IR / x 3 > 1} {x IR / x 3 < 8} 3. Construir os diagramas de Euler-Venn dos três conjuntos não vazios A, B e C tais que: (a) A B, C B e A C =. (b) A B, C B e A C =. (c) A C, A C e B C =. (d) A (B C), B C, B C e A C. 4. Determinar os elementos dos conjuntos A, B e E tais que: A B = {b, c}, CE A = {a, e, f}. C B E = {d, e, f} e 5. Dados os conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4} e B = {2, 4, 5}, calcular: (a) A B (b) A B C (c) AC B (d) (A B) C 6. Calcular, dando o resultado com a notação de intervalo: (a) {x IR / x < 2} {x IR / x 0} (b) {x IR / 2 < x 3} {x IR / x < 1} (c) {x IR / 0 x 3} {x IR / 1 x 2}

5 5 7. Determinar os elementos dos conjuntos A, B e E, sabendo que A e B são partes de E tais que: (a) A B = {1, 3, 8, 9}, C A E = {4, 6, 9} e CB E = {3, 4, 6}. (b) A B = {1, 5, 6, 9, 13, 14}, C A E = {2, 5, 9, 13, 18, 20} e CB E = {2, 6, 18, 20}. 8. Determinar os elementos dos conjuntos X, Y e Z, sabendo que X Y = {2, 4}, X Y = {2, 3, 4, 5}, X Z = {2, 3} e X Z = {1, 2, 3, 4}. 9. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7, 9} e C = {1, 3, 9}, determinar os elementos do conjunto X tal que A X = A, B X = B e C X = A B. 10. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5, 6}, calcular: (a) A B (b) A C (c) B C (d) (A B) C (e) A (B C) (f) (A B) C (g) A (B C) 11. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} e C = {d, e, f, g}, calcular: (a) (A B) (B C) (b) (A C) (A B) (c) A (B C) (d) (A B) C (e) A (B C) (f) (A B) (B C) 12. Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, determine: (a) A B (b) A B 13. São dados os conjuntos A = { x IN / x é impar}, B = { x Z / 3 x < 4 } e C = { x Z / x < 6 }. Determine o conjunto (A B) (B C). 14. Determine o conjunto X satisfazendo {a, b, c, d} X = {a, b, c, d, e}, {c, d} X = {a, c,, d, e} e {b, c, d} X = {c}. 15. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}, determine:

6 6 (a) A B (b) B A (c) C B (d) (A C) B (e) A (B C) (f) (A B) (A C) 16. Se A, B e A B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A B é: (a) 10 (b) 70 (c) 85 (d) 110 (e) Determine A e B, sabendo que A B = {1, 5, 7, 8}, B A = {2, 10} e A B = {3, 6, 9}. 18. Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A B = {1, 3, 6, 7} e B A = {4, 8}, então A B é o conjunto: (a) (b) {1, 4} (c) {2, 5} (d) {6, 7, 8} (e) {1, 3, 4, 6, 7, 8} 19. De trinta e cinco candidatos a uma vaga de programador, vinte e cinco sabem FORTRAN, vinte e oito sabem Pascal e dois não sabem nenhuma delas. Quantos sabem as duas linguagens? 20. Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao cardápio do restaurante universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando-se que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe, determine o número de alunos entrevistados. 21. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. O número total de alunos é (a) 230 (b) 300 (c) 340 (d) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P 1, P 2 e P 3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos, 30 os produtos P 1 e P 2, 50 os produtos P 2 e P 3, 60 os produtos P 1 e P 3, 120 o produto P 1, 75 o produto P 2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: (a) Quantas consumiam somente o produto P 3?

7 7 (b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? (c) Quantas consumiam os produtos P 1 e P 2, e não P 3? 23. Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova? 24. Sejam A e B conjuntos tais que A = { x ; x = 3n, x IN e x 30} e B = { x ; x IN e x é ímpar }. Se o conjunto X é tal que X (A B) e (A B) X = {3, 15, 21}, então X é igual a: (a) (b) {3, 15, 21} (c) {9, 27} (d) {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30} (e) {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30} 25. Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. 20 alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles. (a) Quantos alunos leram Iracema? (b) Quantos alunos leram só Helena? (c) Qual é o número de alunos nessa classe? 26. Dados A = {1, 2, 3, 4, 5,..., 50} e B = {x IN / x = 3a, com a A}, determine o conjunto B, nomeando seus elementos. 27. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhuma das três número de consumidores Forneça: (a) o número de pessoas consultadas; (b) o número de pessoas que só consomem a marca A; (c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; (d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

8 8 28. Se A = {x IN / x é divisor de 24} e B = {x IN / x é divisor de 30}, determine A B. 29. Defina a diferença simétrica entre os conjuntos A e B por A B = ( A B ) ( B A ) (a) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, determine A B. (b) Se A = {a, b, d} e B = {c, d, e, f, g}, determine A B. 30. Dados os intervalos A = [ 1, 3), B = [1, 4], C = [2, 3), D = (1, 2] e E = (0, 2], verifique se 0 pertence a ((A B) (C D)) E. 31. Dados A = [0, 5), B = (1, 3) e D = [ 3, 5], determine C B A e CA D. Tópico: Propriedades das Operações 1. Simplificar as expressões: (a) (A B) (A B C ) (b) (A B) (A B C ) (c) (A (A C B)) C B (d) (A C B) C (A C B C ) C (e) A ((A B C ) (A C B)) (f) (A B) (A C B) (A B C ) (A C B C ) 2. Verificar as igualdades: (a) (A B) (A B) (A C B) = A B (b) (A B) (A B C ) (A C B C ) = A B C (c) (A B C ) (A C B) (A C B C ) = A C B C (d) (A C) (B C) = B C (e) (A C) (B C) = A C 3. Demonstre as implicações abaixo e verifique se vale a recíproca, justificando sua resposta: (a) A B e C D (A C) (B D) (b) A B e C = B A A = B C (c) A B = e A B = C A = C B (d) A B = A B C = A 4. Demonstre as equivalências abaixo:

9 9 (a) A = B A B = B A (b) A B A B = (c) A B = A = e B = (d) A C B C A B = A (e) A C B C A B = B (f) A B A B = A 5. Demonstre que valem as seguintes igualdades: (a) A (A C B) = A B (b) (A B) C = A (B C) (c) A (B C) = (A B) (C A) (d) A (B C) = (A B) (A C) (e) (A B) C = (A C) (B C) (f) (A B) C = (A C) (B C) (g) (A B) (A B) = (A B) (B A) = (h) A (A B) = A B (i) (A B) B = A B 6. Provar que : (a) A A =. (b) A C e B C (A B) C (c) A B = A B C = A (d) E F = P(E) P(F ) = { } (e) P(E F ) = P(E) P(F ) 7. Demonstre que : (a) A e B são disjuntos para todo conjunto não vazio C, A C e B C são disjuntos. (b) A e C (A C), A B e C D A C B D. 8. Sejam X 1, X 2, Y 1, Y 2 subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X 1 X 2 = U, Y 1 Y 2 =, X 1 Y 1 e X 2 Y 2. Prove que X 1 = Y 1 e X 2 = Y 2.