Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios Tópico: Argumentos 1. Julgue as premissas e a conclusão de cada um dos argumentos e verifique se são válidos ou inválidos. (a) Todo caranguejo é crustáceo. Peixe não é caranguejo. Logo, peixe não é crustáceo. (b) Existem professores que são carecas. Todas as pessoas carecas são competentes. Logo, existem professores que são competentes. (c) Todos os peixes são mamíferos. Todos os mamíferos são humanos. Existem vegetais que são peixes. Portanto, existem vegetais que são humanos. (d) Nenhum agricultor é rico. Todos os ricos são saudáveis. Logo, nenhum agricultor é saudável. (e) Todos os sergipanos são brasileiros. João é sergipano. Portanto, João é brasileiro. (f) Todo a é b. Todo c é b. Logo, todo c é a. (g) Nenhum a é b. Todo c é a. Logo, nenhum c é b. (h) Algum a é b. Todo c é a. Logo, todo c é b.

2 2 (i) Todo a é b. Nenhum c é b. Logo, nenhum c é a. (j) Todo a é b. Todo c é a. Logo, todo c é b. (k) Todo a é b. Algum c é b. Logo, algum c não é a. (l) Todos os franceses são europeus. Newton não era francês. Logo, Newton não era europeu. (m) Nenhum brasileiro é africano. Nenhum africano é sul-americano. Logo, nenhum brasileiro é sul-americano. (n) Não existem industriais pobres. Todos os mendigos são pobres. Logo, não existem mendigos industriais. Tópico: Conectivos e Proposições 1. Determinar o valor lógico das seguintes proposições: (a) (2 + 3) 2 = (b) As raízes da equação x 3 1 = 0 são todas reais. (c) A expressão n 2 n + 41 só produz números primos. (d) (2n 1) = n 2. (e) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (f) A soma de dois números pares é um número par. 2. Sejam as proposições: p : O rato entrou no buraco. q : O gato seguiu o rato. Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às seguintes proposições:

3 3 (a) p (d) p q (g) (p q) (j) p q (b) q (e) p q (h) (p q) (k) ( p) (c) p q (f) p q (i) p q (l) ( q) 3. Considere as sentenças: p : Tales é filho de Wilson. q : Tales é neto de João. Escreva, na foma simbólica, cada uma das seguintes sentenças: (a) Tales não é filho de Wilson. (b) Tales não é neto de João. (c) Não é verdade que Tales não é filho de Wilson. (d) Não é verdade que Tales é neto de João. (e) Tales é filho de Wilson e neto de João. (f) Tales é filho de Wilson ou neto de João. 4. Sejam as proposições: p : Gosto de viajar. q : Visitei o Chile. Escreva as sentenças verbais que estão representadas pelas proposições abaixo: (a) p q (c) (p q) p (e) (p q) (g) p q (b) q p (d) q p (f) q p Tópico: Valor lógico, tabela-verdade, tautologia e contradição 1. Determinar P (V V, V F, F V, F F ) em cada uma das seguintes proposições: (a) P (p, q) = (p q) (p q) (b) P (p, q) = p (q p) (c) P (p, q) = (p q) ( p q) (d) P (p, q) = [(p q) ( p q)] 2. Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições: (a) (p q) (b) (p q) p q

4 4 (c) (p q) q p (d) (p q r) ( p q r) (e) p (p r) q r (f) (p q) p q 3. Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V, F e F, determine o valor lógico das seguintes proposições: (a) (p p q) (p r) (b) (p q r) (p (q r)) (c) (p ( q p)) ((p q) q p) 4. Descreva as sentenças abaixo em termos de proposições simples e operadores lógicos. (a) Se elefantes podem subir em árvores, então 3 é um número irracional. (b) É proibido fumar cigarro ou charuto. (c) Não é verdade que π > 0 se, e somente se, π > 1. (d) Se as laranjas são amarelas, então os morangos são vermelhos. (e) É falso que se Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil. (f) Se é falso que Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil. (g) Me formarei em Informática e terei consciência da importância do meu diploma perante esta sociedade de excluídos. 5. Considerando que a proposição Todos os pelicanos comem peixe seja verdadeira, quais das proposições abaixo são verdadeiras? (a) Se uma ave é um pelicano, então ela come peixe. (b) Se uma ave não é um pelicano, então ela não come peixe. (c) Se uma ave come peixe, então ela é um pelicano. (d) Se uma ave não come peixe, então ela não é um pelicano. 6. Apresente uma negação para cada uma da proposições abaixo: (a) 37 é um número primo. (b) Bruno irá, mas ele não vai jogar. (c) Nós venceremos o primeiro ou o segundo jogo.

5 5 (d) Se não há sanduíches, vou comer um cachorro-quente. (e) Matemática é muito legal e computação é fundamental. 7. Simplifique as proposições abaixo, indicando em cima de cada símbolo de equivalência as propriedades lógicas utilizadas: (a) (p q) (p q) (b) ( p q) p (c) (((p q) q) (q p)) (d) (( p q) ((q p) p)) (e) (p q) ((p q) (p q) ( p q)) (f) ((p q) r) (( q r) q) 8. Seja a proposição: p [(p q) ( p q)] (a) Simplifique-a. (b) Negue-a. (c) Determine seu valor lógico. 9. Determine quais das proposições a seguir são tautologias ou contradições: (a) (p q) p q (b) (q p) (p q) (c) p (p q) (d) [(p q) q] p (e) (p q) (p q r) (f) (p q) (p q) Tópico: implicações e equivalências 1. Determine se a proposição P implica logicamente na proposição Q, nos seguintes casos: (a) P : p q e Q : (p q) (q p) (b) P : p e Q : q p (c) P : p q e Q : p q (d) P : p q e Q : p q

6 6 2. Julgar cada uma das seguintes proposições: (a) p p p (b) [ (p q)] p q (c) (p q) (p q) p q (d) q p p q (e) (p q) ( p q) p q (f) (p q) p p q (g) (p q) (p r) p (q r) (h) (p q) r (p r) q (i) (p r) (q p) r (p q) (j) (p q) r (p r) q 3. Considere as proposições Dê o valor verdadeiro (V ) ou falso (F ) : p : 5 = 8 q : 4 < 3 r : 9 > 7 e s : 8 < 10 (a) r s (b) p q (c) r q (d) (r q) (e) (p s) (f) (r s) Tópico: sentenças abertas e quantificadores 1. Das expressões a seguir, quais são sentenças abertas? (a) = 51 (b) x 5 = 9 (c) 6 2x 4 (d) 6 > 3 e = 8 (e) 5 < 2 ou = 4 (f) 9x Expresse as proposições abaixo em forma simbólica utilizando o quantificador existencial: (a) A equação x 3 = 27 tem uma solução no conjunto dos números naturais. (b) não é o maior número natural. (c) Existe um número irracional. (d) Existe um número primo par. 3. Julgue os itens a seguir:

7 7 (a) x 2 x 12 0 x 3 ou x 4 (b) x 2 x 12 0 x 3 e x 4 4. Se a sentença x 2 7x + 12 = 0 x = 3 ou x = 4 é verdadeira, então qual o valor lógico da sentença x 2 7x x 3 e x 4? 5. Determinar o conjunto-verdade em Z de cada uma das seguintes sentenças abertas: (a) 2x 2 18 = 0 (b) 3x 2 + 7x = 0 (c) 2x + x 1 = 2 (d) x 2 x 20 = 0 (e) 2x 1 = 9 (f) x 2 3 x 28 = 0 6. Sejam A = {2, 3, 4, 5}, IN o conjunto dos números naturais e IR o conjunto dos números reais. Determine o valor lógico das proposições a seguir, justificando a sua resposta. (a) (!x A)(x + 3 = 8) (b) ( x A)(x + 3 = 8) (c) ( x A)(x + 3 < 5) (d) ( x IR)( x = x) (e) ( x IR)( x = x) (f) ( x IR)( x = 0) (g) ( x IR)(x > x + 1) (h) ( x IR)( y IR)(x + y = 0) (i) ( x IR)( y IR)(x + y = 0) (j) ( y IR)(!x IR)(y = x 2 ) (k) ( x IR)(!y IR)(y = x 2 ) (l) ( x IR)(x < 0) ( y IR)(y = x 2 ) (m) ( a, b, c, d IN)(a b c d a + c b + d) 7. Determinar o conjunto-verdade em IR de cada uma das seguintes sentenças abertas: (a) 5x + 6 = 3x 2 (b) 7x = 0 (c) x 2 3x = x 3 (d) x 2 + x 6 = 0 (e) x 1 x + 6 = 13 (f) 2 x x 1 > 3 x x 8. Dados os conjuntos A = {3, 4, 6} e B = {4, 6, 9, 11}, determinar o conjunto-verdade da sentença x y ( x divide y) em A B. 9. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta mdc(x, y) = 3 em A A, sendo A = {2, 3, 6, 9}. 10. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta 3 divide x + y em A A, sendo A = {3, 4, 5, 6}.

8 8 11. Dados os conjuntos A = { 1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 3}, determinar o conjunto verdade da sentença aberta x + y < 2 em A B. 12. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta x 2 + y 2 = 4 em Z Z. 13. Determinar o conjunto-verdade em A = {1, 2, 3,... 12} de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas: (a) x < 8 x é ímpar (b) 3 divide x x < 9 (c) x é par x (d) (x + 6) A (x 2 6) / A 14. Determinar o conjunto-verdade em A = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas: (a) x é ímpar x 2 4 = 0 (b) (x + 6) / A x < 0 (c) x 2 + 2x 8 < 0 x 2 4 = 0 (d) x divide 12 x é primo 15. Sejam as sentenças abertas em IR: p(x) : 3x 4 0 e q(x) : x + 2 0, determine: (a) o conjunto-verdade de p(x) q(x) (b) o conjunto-verdade de p(x) q(x) 16. Sejam as sentenças abertas em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: p(x) : x 3 A e q(x) : x é ímpar. Determine o conjunto-verdade de: (a) p(x) q(x) (b) p(x) q(x) (c) p(x) q(x) (d) q(x) p(x) (e) p(x) q(x) 17. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dar um contra-exemplo para cada uma das proposições: (a) ( A) (x + 7 < 15) (b) ( A) (x 60) 18. Julgue as sentenças a seguir: (a) x 4 = 0 x 2 16 = 0 (b) x + 7 = 0 x 2 49 = 0

9 9 (c) 3x 7 = 2x + 1 x 2 16x + 64 = 0 (d) 2 4x 4 2 2x 32 = 0 6 x x x x = Negue a proposição ( x A) ( p(x)) ( x A) (q(x)). 20. Dada a proposição ( x)(p(x)) ( x)( q(x)). (a) Negue-a. (b) Encontre sentenças abertas p(x) e q(x) de modo que o valor lógico da proposição acima seja falso. Tópico: Condicional, Teoremas e Provas 1. Determinar: (a) a contrapositiva da proposição recíproca de p q. (b) a recíproca da proposição contrapositiva de q p. (c) a contrapositiva da proposição contrária de p q. (d) a recíproca da proposição contrária de p q. (e) a contrapositiva da proposição recíproca de x = 8 x < 9. (f) a contrária da proposição contrapositiva de x = 7 x > 6. (g) a recíproca da proposição recíproca da proposição contrapositiva de q p. (h) a contrária da proposição contrapositiva da proposição recíproca de x = 5 x Apresente, se possível, um exemplo de proposição condicional verdadeira tal que (a) a recíproca seja verdadeira. (b) a recíproca seja falsa. (c) a contrapositiva seja verdadeira. (d) a contrapositiva seja falsa. 3. Escreva a recíproca e a contrapositiva de cada uma das proposições abaixo: (a) Se a lua está cheia, os vampiros saem de casa à noite. (b) Se uma girafa tem dor de garganta, ela não faz gargarejo. (c) Vou morar na lua, se lá construírem uma estação espacial. (d) Se uma proposição é definição, então sua recíproca é verdadeira. (e) Se uma função é derivável, então ela é contínua.

10 10 4. Mostre que: (a) Se x.y = 0, então x = 0 ou y = 0. (b) Se n IN e n 2 é divisível por 2, entã n é par. 5. Mostre que o quadrado de um número ímpar é da forma 8k Mostre que a 3 a é múltiplo de Seja dado um número inteiro m maior do que 1. Dizemos que dois números inteiros a e b são congruentes módulo m se a e b possuírem mesmo resto quando divididos por m. Neste caso, simbolizaremos esta situação como segue: a b(mod m). E isso é equivalente a dizer que: a b(mod m) se e somente se m divide b a. (a) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: 35 27(mod 4); 72 32(mod 5) e 83 72(mod 5). (b) Mostre que se a b(mod m) e b c(mod m), então a c(mod m).