Segmento: Pré-vestibular. Coleção: Alfa, Beta e Gama. Disciplina: Matemática. Unidade 1: Série 17. Conjuntos

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1 Segmento: Pré-vestibular Coleção: Alfa, Beta e Gama Disciplina: Matemática Volume: 1 Unidade 1: Série 17 Resoluções Conjuntos 1. A = {1, } O Conjunto A possui dois elementos: 1 e. O total de subconjuntos conjunto A é dado por ² = 4. Assim, temos: - Subconjunto de A com 0 elementos: - Subconjuntos de A com 1 elemento: {1} e {} - Subconjunto de A com elementos: {1, } Logo: 1A e A A, 1 A, A e A A. a) A = {1,, 3} O Conjunto A possui três elementos: 1, e 3. O total de subconjuntos conjunto A é dado por ³ = 8. Assim, temos: - Subconjunto de A com 0 elementos: - Subconjuntos de A com 1 elemento: {1}, {} e {3} - Subconjuntos de A com elementos: {1, }, {1, 3} e {, 3} - Subconjunto de A com 3 elementos: {1,, 3} Logo: 1 A, A e 3 A A, 1 A, A, 3 A, 1, A, 1,3 A,,3 A e A A 1

2 b) A = {1,, {3}} O Conjunto A possui três elementos: 1, e {3}. O total de subconjuntos conjunto A é dado por ³ = 8. Assim, temos: - Subconjunto de A com 0 elementos: - Subconjuntos de A com 1 elemento: {1}, {} e {{3}} - Subconjuntos de A com elementos: {1, }, {1, {3}} e {, {3}} - Subconjunto de A com 3 elementos: {1,, {3}} Logo: 1 A, A e 3 A A, 1 A, A, 3 A, 1, A, 1, 3 A,, 3 A e A A c) A = {1, {, 3}} O Conjunto A possui dois elementos: 1 e {, 3}. O total de subconjuntos conjunto A é dado por ² = 4. Assim, temos: - Subconjunto de A com 0 elementos: - Subconjuntos de A com 1 elemento: {1} e {{,3}} - Subconjuntos de A com elementos: {1, {3}} - Subconjunto de A com 3 elementos: {1,, {3}} Logo: 1A e,3 A A, 1 A,,3 A e A A 3. D Se A B e A, temos duas possibilidades: Assim, se xb, então x A. 4. Sabemos que A = {1, } e que B = {1,, 3, 4}. Como A X B, então todo elemento de A é um elemento de X e todo elemento de X é elemento de B. Assim, temos as seguintes possibilidades: - X = {1, } - X = {1,, 3} - X = {1,, 4} - X = {1,, 3, 4}

3 5. E A notação A 1,,3,4 significa que A é um subconjunto do conjunto {1,, 4 3, 4} e, portanto, há 16 subconjuntos possíveis. 6. A 3,4,5,6 B 5,6,7 A B 5,6 A B 3,4 B A 7 A B 3,4,5,6,7 7. A tabela fica da seguinte maneira: A B A C B B A {0, 1, } {0, 1, } {0, 1, } {0} {0, 1, } {1, } {1, } {0, 1} {0, 1, } {} {} {0, 1, } {0, 1, } {0, 1,, 3} {0, 1, } 8. A A (B C) x x A e x (B C) Assim, podemos representar A (B C) do seguinte modo: A B C A (B C). E P a, b, a, b, a P, b P e a, b P. Como Observe que a b a, b, logo a b P. 3

4 10. A = {, 3, 5, 6, 7, 8}, B = {1,, 3, 4}, C = {1, 4, 6, 8} A B 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (A B) C, 3, 5, B Temos que: n(a B) n(a) n(b) n(a B) 30 0 n(b) 1 n(b) n(b) 1. a) Como B possui menos elementos que A, para que x seja máximo, basta que B A, ou seja, x máximo = 1. Para que x seja mínimo, basta que A e B sejam disjuntos, ou seja, A B. Assim, x mínimo = 0. b) Para que y seja máximo, basta que A e B sejam disjuntos, ou seja, A B. Assim, x máximo = = 3. Como B possui menos elementos que A, para que y seja mínimo, basta que B A, ou seja, y mínimo = 0 elementos. 13. B Sabemos que n(a B) n(a) n(b A). Assim: 1 8 n(b A) n(b A) 4 4 n(p(b A) P( )) n(p(b A)) 16 Observação: P(X) é o conjunto de todos os subconjuntos de X, logo, n(p(x)) = k, onde k é o número de elementos de P(X). 14. D Lembre que: (I): n(a B C) n(a) n(b) n(c) n(a B) n(a C) n(b C) n(a B C) Do enunciado, sabemos que: n(a B) 8 n(a B) n(a) n(b) n(a B) Assim, temos: (II): 8 n(a) n(b) n(a B) Analogamente: (III) : n(a) n(c) n(a C) (IV) : 10 n(b) n(c) n(b C) 4

5 Somando as equações (II), (III) e (IV), concluímos que: 7 n(a) n(b) n(c) n(a B) n(a C) n(b C) (V) : n(a B) n(a C) n(b C) 7 n(a) n(b) n(c) Das equações (I) e (VI) e do enunciado, segue que: 11 n(a) n(b) n(c) 7 n(a) n(b) n(c) n(a) n(b) n(c) C Vamos definir os seguintes conjuntos: - A: conjuntos das mulheres que acreditam que os homens odeiam ir ao shopping. - B: conjunto das mulheres que acreditam que os homens preferem mulheres que façam todas as tarefas de casa. Assim, segue que: - A B: todas as mulheres pesquisadas. - A B: mulheres que acreditam que os homens odeiam ir ao shopping e acreditam que os homens preferem mulheres que façam todas as tarefas de casa. Portanto, n(a B) n(a B) C Com as informações do enunciado temos o seguinte diagrama: x = 800 x = 430 5

6 17. C Vamos analisar um a um os intervalos em que o escritor pode ter nascido. I. Antes de 1800: A única alternativa que considera esse período é a C. II. Entre 1801 e 100: As alternativas que englobam este período são: A, C e D. III. Entre 101 e 000: As alternativas que englobam este período são: B e D. Além disso, devemos desconsiderar a alternativa E, pois caso ela fosse verdadeira o inventor nem teria nascido (obrigatoriamente ele nasceu antes de 1860 ou depois de 1830). Deste modo, temos que alternativa C é a correta. Observação: é possível pensarmos no intervalo que vai além do ano 000. Neste caso, teríamos a alternativa D como correta. Entretanto, é de se pensar que ainda não temos nenhum escritor famoso que nasceu depois desta data. 18. D Do enunciado, temos o diagrama abaixo: 40 x + x + 36 x = x = 67 x = cm Podemos afirmar que cm de B está em A e, como B mede 36 cm, a parcela de B que está em A, em porcentagem, é dada por: 100% 5% 36 6

7 1. Do enunciado, temos o diagrama abaixo: x pessoas têm sangue tipo O x = 50 x = Do enunciado, Meninos Meninos Meninas Meninas ruivos não ruivos ruivas não ruivas 10 x 1 x = números de meninas ruivas x + 1 = 8 x = 4 Da tabela, o total de crianças ruivas era + 4 = Com as informações do enunciado, podemos considerar o seguinte diagrama: Temos que: x x y 10 y 50 Assim, x y = = 450 7

8 . Do enunciado, temos: Meninos loiros Meninos não loiros Meninas loiras Meninas não loiras x 16 x 8 x 1 x + 16 x + 8 x + 1 = x = 33 x = 3 Assim, o total de meninas é dado por: 8 x + 1 = = D Do enunciado, temos o seguinte diagrama: 16 x + x + 0 x + y = x + y = 30 y = x 6 Como y 0, podemos afirmar que x 6 0 e que, portanto, x 6. Isso significa que o número de alunos que gostam de matemática e história é, no mínimo, Do enunciado, temos o diagrama abaixo: y x 130 x 5 Assim, cinco alunos não gostam de nenhum desses esportes. 8

9 5. D Com as informações do enunciado é possível construir o seguinte diagrama: x 300 x a) 111 0, b) 1 0, c) 1 0, a) 888 0, b) 0, x (I) 8, x (II) Subtraindo a equação (I) da (II), temos: x 8 8 x Assim, 8 0,888...

10 c) 8, x (I) 88, x (II) Subtraindo a equação (I) da (II), temos: x x Assim, 80 8, d), x (I) 34, x (II) Subtraindo a equação (I) da (II), nessa ordem, temos: x 3, 0x 3 3 x 0 8. A 7x = , em que x é o valor que cada um dos amigos recebeu. Assim, temos: x E Vamos verificar a validade das alternativas, utilizando contraexemplos. - Alternativa a: Tomemos x = 0 e y xy 0 0, ou seja, racional (falso). - Alternativa b: Tomemos x = 1 e y xy 1, ou seja, irracional (falso). - Alternativa c: Tomemos y y, ou seja, racional (falsa). - Alternativa d: Tomemos x = 0 e y x y 0, ou seja, irracional (falsa). 10

11 30. a) a b (irracional). b) b c (racional). c) ab 3 ( 3) 3 3 (irracional). d) e) b c ( 3) ( 3) (racional). a 3 3 (racional). f) b ( 3) (irracional) 31. E Vamos analisar uma a uma, as alternativas. - Alternativa a: x 0,... 4 x Como 0,444..., a afirmativa é falsa Alternativa b: x 0,... 1 Como 1 < 1 é falso, a afirmativa é falsa. - Alternativa c x y 0 x 0 e y 0 ou x 0 e y 0, portanto a afirmativa é falsa. - Alternativa d: Se x 0, x x x 0 x 0 Logo, não podemos dizer que x² > x, o que invalida a afirmativa. Observação: é possível mostrar que a desigualdade x² > x é equivalente a x < 0 ou x > 1. - Alternativa e: Um número par é da forma n, com n pertencente ao conjunto dos números inteiros. Assim, um número ímpar pode ser escrito como n + 1 ou n 1. Portanto, a soma de dois números ímpares pode ser escrita da seguinte maneira: (n 1) (n 1) 4n (par) (n 1) (n 1) 4n (n 1) (par) (n 1) (n 1) 4n (n 1) (par) Isso torna a afirmativa verdadeira. 11

12 3. a) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [1, 18] são: 1,, 3, 4,..., 18, ou seja, = 18 números. Observe que os números 1 e 18 fazem parte do intervalo. b) Os números inteiros que pertencem ao intervalo ]1, 18[ são:, 3, 4,..., 17, ou seja, = 16 números. Observe que os números 1 e 18 não fazem parte do intervalo. c) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [1, 18[ são: 1,, 3,..., 17, ou seja, = 17 números. Observe que o número 1 faz parte do intervalo, mas o número 18 não. d) Os números inteiros que pertencem ao intervalo [, ] são:, 8, 7,..., 7, 8,, ou seja, ( ) + 1 = 1 números. Observe que os números e fazem parte do intervalo. e) Repare que 10 14,14 e que ,3. Assim, podemos considerar o seguinte intervalo [10,14, 17,3]. Os números inteiros que pertencem a este intervalo são: 15, 16 e 17, ou seja, = 3 números. 33. a) [3, [ b) ]4, 7] c) [3, 4] d) ]7, [ 1

13 e) [3, 4] ]7, [ 34. a) Existem infinitos racionais entre r e s. b) Existem infinitos irracionais entre r e s. c) Tome, sem perda de generalidade, r e s ambos positivos. Com efeito, podemos representa-los na reta real abaixo: (I): p r = a (II): s p = a Das equações (I) e (II), temos que: p r = s p p = r + s r s p p = r + s Como r e s são racionais, p é racional. Assim, o racional r s está entre os racionais r e s. d) Analogamente ao item e, podemos fazer a seguinte construção: r (s r) q Como (s r) está entre r e s. é irracional e r é racional, r (s r) 13 é irracional e

14 35. O número 3,145 é racional e 3,14 < 3,145 < 3,15. Logo, o número 3,145 é um exemplo de número racional, compreendido entre 3,14 e 3, A Podemos fazer as seguintes transformações para comparar os valores apresentados: a,01,01 4,0401 b 4, c 5, Como 4,0401 < 4, < 5,44..., temos que 4,0401 4, 5,44..., ou ainda, a < b < c. 37. A De 0 < x < y < 1, temos: x 0 x x x y x 1 0 x xy x Ou,ainda : x xy x 38. C Repare que a pode ser escrito da seguinte maneira: a (3 ) Analogamente b, pode ser escrito da seguinte maneira: b 11 6 (3 ) 3 Ou seja, a = b. 3. É possível mostrar a veracidade das proposições a, e e g. A proposição b é falsa e, para mostrar isso, basta encontrar para cada uma das afirmativas um contraexemplo, como mostrado abaixo: ( ) 0, que é racional., que também é racional. A proposição c é verdadeira. Exemplos: ( ) ( ) 4 A proposição d é verdadeira. Exemplos:, que é irracional. 3 6, que também é irracional. 14

15 40. A proposição f é falsa e, para mostrar isso, basta encontrar um contraexemplo: a) 0 0, que é racional. b) Do item a, (I) Se (racional). Daí, temos: for irracional, então, podemos ter nos leva a, ou seja, um número racional. (II) Se e, o que for irracional, então, podemos ter e, o que nos leva a representando um número racional. De (I) e (II), é um número racional. (c. q. d.) 15

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