Matemática é a ciência das regularidades.

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Sebastião di Azevedo Sacramento
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2 Matemática é a ciência das regularidades.

3 Teoria dos Conjuntos

4 Conjuntos Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Conjunto I. O conjunto dos alunos do UPT Serra Preta. II. O conjunto de todos os números inteiros. III. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x 2 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C,..., Z.

5 Elemento I. Daniela é um elemento do conjunto dos alunos do UPT Serra Preta. II. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros. III. + 4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 16 = 0. Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c,..., z.

6 Pertinência I. Daniela pertence ao conjunto dos alunos do UPT Serra Preta. II. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros. III. + 4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 16 = 0. IV. - 3 não pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 2 16 = 0. Utilizamos o símbolo pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto.

7 Notações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado: Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas; Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos; Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. Diagrama de Venn-Euler.

8 Exemplo Representar o conjunto V das vogais. V = {a, e, i, o, u} V = {vogal do alfabeto} ou {x; x é vogal} Como no diagrama ao lado V a e i No caso a V, mas m V. o u

9 Há conjuntos com: Observação Um único elemento, chamados conjuntos unitários; Nenhum elemento, chamados conjunto vazio; Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos. O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.

10 Exemplos A = {x; x é inteiro positivo, par e primo} A = {2} B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2} B = { } = Ø C = {a; a é número natural ímpar e primo} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...}

11 Subconjuntos Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que: A está contido em B (símbolo: A B); B contém A (símbolo: B A); A é subconjunto de B; A é parte de B. B A

12 Observação Subconjuntos Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A B e B A. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø A, para todo A) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

13 Exemplo Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}. Com 0 elemento Ø Com 1 elemento {1}, {2}, {3} Com 2 elementos {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} Com 3 elementos {1, 2, 3} Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.

14 Observação Subconjuntos Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo A = {1, 2, 3} Subconjuntos de A: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} n(p(a)) = 2 n(a)

15 Operações com Conjuntos

16 Operações com Conjuntos A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados. Definimos as operações a seguir: I. União; II. Interseção; III. Diferença.

17 União dos Conjuntos A e B (A B) É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A ou a B ou a ambos os conjuntos. A B = {x; x A ou x B} A B Podemos generalizar a operação união para três ou mais conjuntos.

18 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter: a) A B. b) A B C. a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} b) A B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A B C = (A B) C = A (B C).

19 Interseção dos Conjuntos A e B (A B) É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B. A B = {x; x A e x B} A B Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

20 Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter: a) A B. b) A C. c) A B D. a) A B = {0, 5} b) A C = Ø Logo, A e C são disjuntos c) A B D = {0}

21 Diferença dos Conjuntos A e B (A B e B A ) É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. A B = {x; x A e x B} A B

22 Diferença dos Conjuntos A e B (A B e B A ) É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. B A = {x; x B e x A} A B

23 Dados os conjuntos Exemplo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter: a) A B. b) B A. a) A B = {1, 2, 3, 4, 5} {2, 4, 6} = {1, 3, 5} b) B A = {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5} = {6} Em geral A B B A.

24 Exemplos Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A B, A B, A B e B A. A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {2} A B = {0, 4, 6, 8} A B B A = {3, 5, 7} 8 7

25 Complemento de um Conjunto No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B A), a diferença A B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A ( A B). A B A B B A A B = A B O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.

26 Exemplo Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X Y. Obter Y X. Y X = Y X = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 4} = {3, 5}

27 Exemplos Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, determinar o conjunto A B. A = U A = {f, g, h} A B = {f, g, h} {d, e, f, g} = {f, g}

28 Número de elementos da união de conjuntos

29 Número de elementos da união de conjuntos Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A B e A B. Observe: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a) = número de elementos do conjunto A n(b) = número de elementos do conjunto B n(a B) = número de elementos da interseção n(a B) = número de elementos da união

30 Exemplo Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {4, 5, 6} Podemos comprovar que: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 8 = A B

31 Exemplo Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: Quem é torcedor do Bahia? 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: Quem é nascido em Salvador? 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são torcedores do Bahia e Soteropolitanos. B S 36 x x 28 x (B S) B S (S B) 36 x + x + 28 x = x = 42 x = 22

32 Hora dos exercícios! Sucesso!

33 Exercício 01 Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 e) 55

34 Exercício 02 Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

35 Exercício 03 (UFSE ) Uma editora entrevistou 200 alunos de uma escola, verificando se haviam lido os livros A e B. Concluiu-se que 102 alunos leram o livro A, 32 leram ambos e 48 não leram esses livros. Quantos leram somente o livro B? a) 152 b) 134 c) 82 d) 50 e) 30

36 Exercício 04 (ENEM 2013) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses alunos em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nesta pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14

37 Exercício 05 (ENEM 2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C 1, C 2 e C 3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C 1 e C 2 terão 10 páginas em comum; C 1 e C 3 terão 6 páginas em comum; C 2 e C 3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C 1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110

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