Notas de Aula de Probabilidade A

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1 I- CONCEITOS INICIAIS INTRODUÇÃO. PROBABILIDADE POPULAÇÃO AMOSTRA ESTATÍSTICA 1.2- CONJUNTOS DEFINIÇÃO. Conjunto é uma coleção de objetos chamados de elementos do conjunto. Em geral denota-se com letras maiúsculas (A, B,...). 1. Conjunto dos números das faces de um dado: A = {1,2,3,4,5,6} 2. Conjunto dos Números Naturais N = {0,1,2,3,...} 3. Z + = {x R x > 0} Relação de Pertinência: A relação existente entre elemento e conjunto é a de pertinência. 1) 3 N 2) -1 Z 3) 2 N 4) 2 R TIPOS. Conjunto Universo (U): conjunto de todos os elementos que estejam sendo estudados. Conjunto Vazio ou Nulo ( ) : conjunto que não contém nenhum elemento. Subconjunto : conjunto que é parte de um outro conjunto, sendo que todo elemento do primeiro conjunto pertence ao segundo conjunto. Assim, se todo elemento do conjunto B for também elemento do conjunto A, dizemos que B é subconjunto de A. Leva a uma relação de inclusão. Relação de Inclusão: B A (B está contido em A) ou A B (A contém B). 1) Seja B = { 1,2,3,4,5,6 } e A = {2,4,6), então A está contido em B ou B contém A e representa-se por: A B ou B A. Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller Página 1

2 DIAGRAMA DE VENN. U A B OPERAÇÕES COM CONJUNTO. União: A B Representa o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B ou a ambos os conjuntos. A B={x / x A ou x B} Interseção: A B ou AB Representa o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e B ao mesmo tempo. A B={x / x A e x B} Conjuntos Disjuntos: Os conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando a sua interseção é um conjunto vazio ou seja A B =. Diferença: A - B Representa o conjunto dos elemento que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. Complemento: Se B A, então A - B é chamado de complemento de B em relação a A, representado por B A c e se A é conjunto Universo, então A - B é chamado de Complemento de A e representado por B ou B ou B c. Conjunto das Partes de um Conjunto(P): Seja A um conjunto. Chamamos partes de A (P(A)) ao conjunto formado por todos os subconjuntos que possam ser formados pelos elementos de A, onde incluise também o conjunto vazio. 1. Se A = {1,2,3}, temos que: P(A) = {, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, A} E o número de elementos do conjunto das partes de A é dado por 2 n. Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller Página 2

3 Partição de um conjunto X: Uma partição de um conjunto X é uma subdivisão de X em subconjuntos não vazios, que são disjuntos e cuja união é X, isto é, uma classe de subconjuntos não vazios de X, tal que cada elemento pertence a um único subconjunto. 1. Seja X={1,2,3,...,9} então: (I) [{1,3,5}, {2,6}, {4,8,9}] (II) [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {5,7,9}] (III) [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {7,9}] Então: - I não é partição de X, pois 7 pertence a X e não está em nenhuma das partes. - II não é partição de X, pois 5 pertence a X e pertence a dois subconjuntos e portanto eles não são disjuntos. - III é uma partição de X. Álgebra de Subconjuntos(A): Álgebra de subconjuntos, A, do conjunto não-vazio U é uma classe de subconjuntos de U satisfazendo os axiomas: A 1 ) U A A 2 ) Se A A A c A A 3 ) Se A A e B A A B A Dessa forma, valem ainda para a álgebra de conjuntos as seguintes propriedades: A 4 ) A A 5 ) n, A 1, A 2,..., A n A tem-se U n A i i= 1 A e I n A i A i= TEOREMAS. Teorema 1: Lei Comutativa. A B = B A e A B = B A Teorema 2: Lei Associativa. A (B C) = (A B) C = (A B C) e A (B C) = (A B) C = (A B C) Teorema 3: Lei Distributiva. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) e Teorema 4: (A c ) c = A Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller Página 3

4 Teorema 5: A U = A U = A = A = Teorema 6: A A = A A = A A = A A = Teorema 7 : Leis de De Morgan (A B) = A B e (A B) = A B Teorema 8: A - B = A B Teorema 9: A = (A B) (A B ) Teorema 10: (A B) = A (A c B) Teorema 11: Se A B, então A B = A e A B = B 1.3- Exercícios Seja um Conjunto Universo dado por U = {0,1,2,3,4,5} e seja os seguintes subconjuntos de U: X={1, 2, 4} Y={0, 3, 4, 5} Z={0, 5} Encontre : a) X Y b) X Y c) ( X Y ) Z d) Y' Z' e) X - Y f) ( Y Z )' g) ( X Y ) ( Y Z ) h) ( X' Y' )' ( Y' Z' )' Suponha que o U={x 0 x 2 }. Sejam os conjuntos A e B dado por: A={x 1 x 1} 2 e B={x 1 x 3 }. 4 4 Determine os conjuntos: a) A B b) A B c) A B d) A B e) A B Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, indique o conjunto das partes de A; e mostre que o número de elementos é sempre 2 n, onde n é o número de elementos de A. Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller Página 4

5 Sejam os conjuntos A={x R x é impar} e B={ x R x 2-8x+15=0}, mostre que B A Dado o conjunto U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e os subconjuntos: A = {1,2,3,4} B = {3,5,7,9} C={5,6,7} Verifique quais são os conjuntos disjuntos Seja A, B, e C eventos associados a um experimento aleatório. Exprima em notações de conjuntos as seguintes afirmações verbais: a) Ao menos um dos eventos ocorre. b) Exatamente um dos eventos ocorre. c) Exatamente dois eventos ocorrem. Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller Página 5