Apoio de Aula. Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu Cálculo Diferencial e Integral 1 - EEN

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1 Apoio de Aula Prof. Aleandre Alves Universidade São Judas Tadeu Cálculo Diferencial e Integral 1 - EEN 10 de fevereiro de 2009

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3 Capítulo 1 Revisão: Conjuntos Vamos revisar agora conceitos básicos da teoria dos conjuntos que serão usados no estudo das funções reais a valores reais. 1.1 Teoria dos Conjuntos Um conjunto é uma lista ou coleção de objetos de qualquer natureza. Por eemplo: 1. os dias da semana que como chocolate segunda, terça, quarta, quinta, seta, sábado e domingo; 2. as melhores bandas de heavy metal de todos os tempos Metallica, Pantera, Nile, Emperor e Cathedral. 3. os números naturais ímpares menores do que 10 {1, 3, 5, 7, 9} 4. as matrizes de Pauli do grupo S U(2) {( ) ( 0 i, i 0 ) ( 1 0, 0 1 Iremos denotar os conjuntos por letras maiúsculas e sua representação eplícita é feita usando-se chaves. O conjunto dos números naturais ímpares menores do que 10, por eemplo, é escrito como A = {1, 3, 5, 7, 9}. Cada um dos números 1,3,5,7,9 são chamados de elementos ou membros do conjunto A. Dois conjuntos são iguais se possuem eatamente os mesmos elementos, não importa a ordem. Assim, se B = {3, 1, 5, 9, 7}, então A = B. ) } 3

4 4 CAPÍTULO 1. REVISÃO: CONJUNTOS Se um dado elemento faz parte de um dado conjunto A, escrevemos isso de forma matemática usando o símbolo de pertence:. Dessa forma, se um elemento p está em A, então p A. Importante! O símbolo, de pertence, relaciona elementos com conjuntos, mas não relaciona conjuntos entre si. Se todo elemento de A também pertence a um outro conjunto B, ou seja, se A implica necessariamente que B também, então o conjunto A é dito ser um subconjunto do conjunto B ou que A está contido em B, e que de forma matemática se escreve A B A está contido em B ou B A B contém A Importante! Os símbolos e, relacionam apenas conjuntos entre si. Por eemplo, dados os conjuntos B = {a, b, c, d, e, f, g} e A = {a, e} é errado dizer que A pertence a B, pois {a, e} não é um elemento de B, mas sim que o conjunto A está contido no conjunto B pois todo elemento de A está em B. Da mesma forma, é errado dizer que a letra b está contida no conjunto B ou não está contida em A, e sim que ela pertence a B ou não pertence a A. Tudo o que aparece entre chaves em um conjunto é um elemento desse conjunto! Esse fato é muito usado para criar pegadinhas no vestibular. Considere o seguinte conjunto nada usual A = {1, 2, 3, {4}, 5}. Como {4} está dentro das chaves do conjunto A, então é elemento de A. Nesse caso é correto afirmar que {4} A e é errado dizer que {4} A uma vez que o elemento 4 não pertence ao conjunto A, logo não pode fazer parte de um subconjunto de A. Note também que é correto afirmar que {{4}} A. Se isso lhe parece confuso, tenha em mente que tudo o que aparece entre chaves em um conjunto é um elemento desse conjunto! Não importa o quão estranho esse elemento seja. Então, se ao invés de {4} o conjunto A fosse A = {1, 2, 3, S, 5}, então S A e {S} A. Se você agora simplesmente trocar S {4} vai perceber que entendeu o conceito e que não há nada de especial nisso.

5 1.1. TEORIA DOS CONJUNTOS 5 A igualdade entre conjuntos pode agora ser mais precisamente definida: se dois conjuntos A e B são iguais então A B e B A. Além disso, eiste um conjunto denominado conjunto vazio: φ = {} que representa um cojunto sem nenhum elemento e que é subconjunto de qualquer conjunto. Pela definição de subconjunto também podemos perceber que um conjunto qualquer sempre é subconjunto de si mesmo: A A. Conjuntos Numéricos = conjunto dos naturais: 0, 1, 2, 3, = conjunto dos inteiros:, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, = conjunto dos racionais, podem ser escritos como frações: q = n m = conjunto dos irracionais, não podem ser escritos como frações = conjunto dos números reais = conjunto dos números compleos e = (n, m ) O conjunto dos números naturais e inteiros são conjuntos numeráveis infinitos, enquanto o conjunto dos racionais, irracionais, reais e compleos são inumeráveis. Subconjuntos dos números reais podem ser representados de uma forma mais conveniente. Por eemplo, imagine dois números reais a e b tais que a < b, então [a, b] = { R/a b} = intervalo fechado o intervalo contém os etremos, os números a e b. ]a, b[= { R/a < < b} = intervalo aberto o intervalo não contém os etremos, os números a e b. [a, b[= { R/a < b} = intervalo fechado em a e aberto em b o intervalo contém o etremo à esquerda, o número a, mas não contém o etremo à direita, b. ]a, b] = { R/a < b} = intervalo aberto em a e fechado em b o intervalo contém o etremo à direita, o número b, mas não contém o etremo à esquerda, a.

6 6 CAPÍTULO 1. REVISÃO: CONJUNTOS 1.2 Operações entre Conjuntos: União, Intersecção, Diferença e Complementar Vamos rever agora como combinar conjuntos através das operações de união, intersecção e diferença entre dois conjuntos. Assumiremos que todo conjunto é subconjunto de um conjunto fio chamado universo, denotado por U. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a união de A e B, representado por A B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A OU B A B = {/ A ou B} Quando unimos dois conjuntos contamos elementos repetidos apenas uma vez. Por eemplo, sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 7, 8}, o conjunto união destes conjuntos é A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, veja a Figura (1.1). Note que os elementos 1,2,3 e 4 pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo, mas contamos eles apenas uma vez quando obtivemos a união de A e B. Além disso, é fácil perceber que A A = A e que A φ = A. U A A B 7 8 B Figura 1.1: A união de dois conjuntos A e B: A B. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a intersecção de A e B, representado por A B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A E B. A B = {/ A e B}

7 1.2. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS: UNIÃO, INTERSECÇÃO, DIFERENÇA E COMPLEMENTAR No caso dos conjuntos A e B definidos acima, a intersecção é A B = {1, 2, 3, 4}, veja a Figura (1.2). Figura 1.2: (1) A intersecção de dois conjuntos A e B: A B = {1, 2, 3, 4}, representado pela área comum aos discos vermelho e verde. (2) A diferença de dois conjuntos A e B: A B = {5, 6}, representado pela parte em vermelho apenas. (3) A diferença de dois conjuntos B e A: B A = {7, 8}, representado pela parte em verde apenas. Se A B = φ, então os conjuntos não têm nenhum elemento em comum e são chamados de conjuntos disjuntos. Note que A A = A e que A φ = φ. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a diferença de A e B, representado por A B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não a B A B = {/ A, B} Eemplo: sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 7, 8}, então A B = {5, 6} e B A = {7, 8}. A intersecção de A e B é o conjunto A B = {1, 2, 3, 4}. Note agora que (A B) (A B) = A. Da mesma forma podemos mostrar que (B A) (A B) = B. Além disso, observe que (A B) B = φ e que (B A) A = φ. O complemento de um conjunto A em relação ao conjunto universo U, representado por A c, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem a A A c = {/ U, A}

8 8 CAPÍTULO 1. REVISÃO: CONJUNTOS Veja que A c = U A, ou seja, o complemento de A é a diferença entre o conjunto universo e o conjunro A. No caso dos conjuntos A e B definidos acima, vemos que, por eemplo, A c = {7, 8}, conforme mostramos na Figura (1.3) abaio. O complementar do conjunto A são os elementos de U fora da região verde (o conjunto A) e dentro da região do círculo pontilhado em amarelo. U A A c B Figura 1.3: O complementar do conjunto A: A c = {7, 8}. Eercício (1): Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}, B = {0, 2, 4, 6, 7, 8, 9} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, encontre: (a) A B (e) A c (i) (A B) c (b) A B (f) B c (j) (A B) c (c) A B (g) (A B) B (l) (A B) (A B) (d) B A (h) (A B) A (m) (A B) (B A) Os conjuntos sob as operações acima satisfazem várias leis e identidades que mostramos na tabela abaio.

9 1.3. INTERVALOS DA RETA REAL 9 Lei Idempotente A A = A A A = A Lei Associativa (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Lei Comutativa A B = B A A B = B A Lei Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Leis de Identidade A φ = A A U = A A U = U A φ = φ Leis dos Complementos A A c = U A A c = φ (A c ) c = A U c = φ, φ c = U Leis de Morgan (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Eercício (2): Sejam os conjuntos U = { / 10}, A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 5, 6, 7, 8, 9} e C = {2, 4, 7, 8, 9}. Encontrar os seguintes conjuntos: (a) A B C (e) (A C) c B (i) A (B C) (b) A B C (f) A c B c C (j) (A (B C)) c (A B) c (c) A B C (g) (A B) c (B C) c (l) (A B) (B A) (d) A B C (h) (A B C) A c (m) A c B c C c Eercício (3): Para os mesmos conjuntos do eercício anterior diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações. Justifique-as usando diagramas de Venn. (a) A c B c = B A (c) A (B C) = (A B) (A C) (b) A B = A B c (d) A (B C) = (A B) (A C) 1.3 Intervalos da Reta Real Em muitas situações, precisamos lidar com conjuntos não-enumeráveis como os intervalos da reta real. Considere, por eemplo, os conjuntos A = { / 2 < 1} e B = { / > 1}. Os dois conjuntos, e sua união A B = { / 2 < 1 e > 1} são mostradas na Figura (1.4). A linha azul representa o conjunto A na reta real, sendo o interval fechado à esquerda, em 2, por isso a bola cheia ali; e aberto à direita, em 1, por isso a bola vazia naquele valor. Do mesmo modo, a linha vermelha representa o conjunto B, aberto à esquerda, em 1 e se estendendo ao infinito.

10 10 CAPÍTULO 1. REVISÃO: CONJUNTOS A B 2 1 A B Figura 1.4: União de intervalos da reta real. O conjunto união, por sua vez, também é um intervalo da reta real, fechado à esquerda, em 2, e estendendo-se ao infinito, porém há um buraco nesse intervalo, eatamente em 1, pois esse valor não faz parte de nenhum dos conjuntos A e B. Suponha agora que o conjunto A seja { / 2 < 0}. A intersecção desse conjunto com o conjunto B definido acima é o conjunto A B = { / 1 < < 0}. A Figura (1.5) mostra claramente esses conjuntos. O conjunto A é linha azul, B, a vermelha, e a intersecção a linha verde. Note que a linha verde corresponde àquela região da reta real comum às linhas azul e vermelha, em outras palavras, todo número dentro da linha linha está em A e B ao mesmo tempo. Note que = 1 pertence ao conjunto A, mas não ao conjunto B, por isso, 1 não pertence à intersecção há uma bola vazia nesse valor na região verde. O mesmo ocorre ocorre com o valor = 0, que pertence ao conjunto B, mas não ao conjunto A. A intersecção, portanto, é um intervalo aberto à esquerda e à direita. A B 2 1 A B 0 Figura 1.5: Intersecção de intervalos da reta real. Eercício (4): Seja U = o conjunto universo e os conjuntos A = { / 2 < < 2}, B = { / 2 < < 2} e C = { / 1 1}. Encontre todos os conjuntos dos itens (a) até (m) do eercício (2) e os desenhe sobre a reta real.