Teoria da Computação Aula 01 Revisão de Conjuntos

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1 Teoria da Computação Aula 01 Revisão de Conjuntos Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional

2 Conjuntos Conjunto e uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para construir estruturas mais complexas. Definição: Um conjunto e uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada.

3 Relações entre elementos e conjuntos Se um determinado elemento a e elemento de um conjunto A, tal fato e denotado por a A o qual e interpretado como segue: a pertence ao conjunto A Caso contrario, se afirma que a não pertence ao conjunto A. Tal fato e denotado por a A

4 Relações entre conjuntos Continência e subconjunto: Se todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um conjunto B, então afirma-se que A esta contido em B e denota-se por A B ou, alternativamente, que B contem A, e denota-se por B A Nesse caso (A B ou B A), afirma-se que A e subconjunto de B.

5 Relações entre conjuntos Adicionalmente, se A B, mas existe b B tal que b A, então se afirma que A esta contido propriamente em B, ou que A e subconjunto próprio de B, e denota-se por A B. Ou, alternativamente, que B contem propriamente A e denota-se por B A

6 Relações entre conjuntos Igualdade de conjuntos Os conjuntos A e B são ditos conjuntos iguais, o que e denotado por A=B se e somente se possuem exatamente os mesmos elementos. Formalmente, afirma-se que A = B se e somente se A B e B A Um conjunto especialmente importante e o conjunto vazio, ou seja, o conjunto sem elementos { }, o qual e usualmente representado pelo seguinte símbolo

7 Definição de um conjunto Definição de um conjunto por extensão: A definição de um conjunto pela listagem de todos os seus elementos e denominada denotação por extensão e dada pela lista de todos os seus elementos, em qualquer ordem (separados por virgulas) e entre chaves como, por exemplo: Vogais = { a, e, i, o, u } A = { 1,2,3}

8 Definição de um conjunto Definição de um conjunto por compreensão: A definição de um conjunto por propriedades e denominada denotação por compreensão como, por exemplo (suponha que N denota o conjunto dos números naturais). Pares = { n N n e numero par }, a qual e interpretada como o conjunto de todos os elementos n pertencentes ao conjunto N tal que n e numero par.

9 Definição de um conjunto Assim, a forma geral de definição de um conjunto por propriedades e como segue: { x x A e p(x) } e tal que um determinado elemento a e elemento deste conjunto se a propriedade p e verdadeira para a, ou seja, se p(a) e verdadeira. Quando e claro que x A, pode-se denotar esse conjunto simplesmente na forma { x p(x) }

10 Conjuntos finitos e infinitos Um conjunto pode possuir um numero finito ou infinito de elementos. Um conjunto finito se pode ser denotado por extensão, ou seja, listando exaustivamente todos os seus elementos. Vogais = { a, e, i, o, u } A = { 1,2,3} B = { x N x > 0 e x < 4}

11 Conjuntos finitos e infinitos No caso contrário, denomina-se conjunto infinito. N - conjunto dos números naturais Z - conjunto dos números inteiros Q - conjunto dos números racionais I - conjunto dos números irracionais R - conjunto dos números reais C - conjunto dos números complexos Pares = { y y = 2x e x N }

12 Operações sobre conjuntos Sejam A e B conjuntos. Unia o: A B = { x x A ou x B } Intersecc a o: A B = { x x A e x B } Complemento: operac a o de complemento e definida em relac a o a um conjunto fixo U denominado conjunto universo, como segue: ~A = { x x U e x A }

13 Operações sobre conjuntos Diferença: A B = { x x A e x B } Conjunto das partes: 2 A = P(A) = { S S A } subconjuntos do conjunto A ) ( todos os

14 Operações sobre conjuntos Produto cartesiano: A B = { (a, b) a A e b B } Conjuntos disjuntos: Dados dois conjuntos A e B, sendo ambos não vazios, se A B =, então A e B são ditos conjuntos disjuntos, conjuntos independentes ou conjuntos mutuamente exclusivos.

15 Operações sobre conjuntos É usual denotar um produto cartesiano de um conjunto com ele mesmo como um expoente. Por exemplo: A A = A 2 Um elemento de um produto cartesiano denotado na forma(a, b) e denominado par ordenado e não deve ser confundido com o conjunto { a, b }. Observações: - a ordem e importante, pois são distinguidas as duas componentes; - as componentes podem ser repetidas.

16 Propriedades sobre conjuntos As seguintes propriedades das operac o es sobre conjuntos podem ser facilmente verificadas (suponha o universo U e os conjuntos A, B e C): Idempote ncia: A A = A e A A = A Comutativa: A B = B A e A B = B A Associativa: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

17 Propriedades sobre conjuntos Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Duplo complemento: ~(~A) = A DeMorgan: ~(A B) = ~A ~B ~(A B) = ~A ~B Universo e Vazio: A ~A = U A ~A =

18 Bibliografia básica da disciplina SIPSER, Michael. INTRODUÇÃO À TEORIA DA COMPUTAÇÃO. 1ª ed. São Paulo: Pioneira - Thomson Learning, LEWIS, Harry R; PAPADIMITRIOU, Christos H. Elementos de Teoria da Computação. 2ª ed. Porto Alegre: Bookman, DIVERIO, TIARAJU ASMUZ; MENEZES, Paulo Fernando Blauth. Teoria da Computação : maquinas universais e computabilidade. 2ª ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2000.

19 Bibliografia complementar da disciplina MENEZES, Paulo Fernando Blauth. Linguagens Formais e Autômatos. 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, HOPCROFT, John E; ULLMAN, Jeffrey D; MOTWANI, Rajeev, SOUZA. Introdução a Teoria dos Autômatos, Linguagens e Computação. 1ª ed. São Paulo: Campus - Elsevier, HAEUSLER, EDWARD HERMANN; MENEZES, PAULO BLAUTH. TEORIA DAS CATEGORIAS : PARA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. 2ª ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2001

20 Material, comunicação e critérios de avaliação Material para as aulas, listas de exercícios e outros materiais para estudo no site : para contato e entrega de trabalhos : tc_2016@pedraorc.com.br Composição da nota da P1: Nota de Prova + Nota dos exercícios opcionais Critérios da avaliação P2: Nota de Prova + Nota dos exercícios opcionais