Práticas de Investigação Quantitativa

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1 Práticas de Investigação Quantitativa TEORIA DE CONJUNTOS Apontamentos Teóricos FEUC - 1 o Sem. 2010/2011 Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

2 Apresentação Equipa docente [ver NONIO]: Prof. Vítor Castro - aulas teóricas e práticas Prof. Rodrigo Martins - aulas práticas (começam na próxima semana) Programa [ver NONIO]: Parte I: Teoria de Conjuntos e Funções; Parte II: Álgebra Matricial (Matrizes e Determinantes); Parte II: Estatística Descritiva e Regressão Linear. Bibliogra a [ver NONIO]: CASTRO, Vítor (2010). "Conjuntos, Funções e Álgebra Matricial". REIS, Elizabeth (2008). "Estatística Descritiva". Regimes de Avaliação [ver NONIO]: Geral ou Contínua. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

3 Noção de Conjunto Conjunto = colecção de objectos (pessoas, animais, planetas, coisas, entidades abstractas, etc.). Exemplos: Conjunto dos alunos de Sociologia; Conjunto dos livros numa biblioteca; Conjunto das cores do arco-íris, etc. Conjuntos importantes em Matemática: O conjunto dos números naturais: N = f1, 2, 3, 4, 5,...g; O conjunto dos números inteiros: Z = f..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...g; O conjunto dos números racionais: Q = m n : m, n 2 Z ^ n 6= 0 ; O conjunto dos números reais: R (inclui n os racionais e irracionais); O conjunto dos números complexos: C = fa + bi : a, b 2 Rg, i 2 =-1. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

4 Noção de Conjunto Letras maiúsculas representam um conjunto: A, B, X, Y, etc. Letras minúsculas representam os objectos ou elementos de um conjunto: a, b, x, y, etc. Se um elemento a faz parte de um conjunto A ) a 2 A. Se a não faz parte de um conjunto A ) a /2 A. A este tipo de expressões que exprimem juízos ou traduzem a rmações acerca dos objectos chama-se proposições: Princípio da não contradição: proposições são expressões a respeito das quais faz sentido dizer se são verdadeiras ou falsas; Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou falsa, excluíndo-se assim uma terceira possibilidade. Exemplo: 4 /2 f1, 2, 3g é uma proposição verdadeira, mas uma proposição falsa. 1 2 N é Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

5 Noção de Conjunto Como de nir um conjunto? Analiticamente ou em extensão: Enumera-se todos os elementos do conjunto dentro de chavetas: A = fvermelho, Azul, Brancog. Sinteticamente ou em compreensão: De ne-se uma propriedade p(x) que caracteriza todos os elementos do conjunto. Sendo X um conjunto, os elementos de X serão os valores de x que fazem com que p(x) seja verdadeira, i.e. X = fx : p(x)g. Lê-se: "X é o conjunto dos elementos de x que veri cam p(x)". O conjunto A de nido em compreensão ca: A = fx : x é uma das cores da bandeira dos E.U.A.g i.e.: "A é o conjunto dos elementos x tais que x é uma das cores da bandeira dos E.U.A." Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

6 Tipos de Conjuntos Conjunto singular - formado apenas por um só elemento: B = fx 2 N : x > 1 ^ x < 3g = f2g. Conjunto vazio - não possui quaisquer elementos: C = fx : x é um aluno da FEUC com menos de 5 anosg = f g =?. Conjunto nito - é possível contar todos os seus elementos: Pode-se atribuir um índice a cada elemento, logo, genericamente: D = fa 1, a 2, a 3,..., a n g ) D tem n elementos ) #D = n (distintos). Ex.: D = f2, 4, 6g ) #D = 3; D = fa, b, a, c, dg ) #D = 4. Conjunto in nito - não é possível enumerar os seus elementos: Ex.: conjuntos dos números pares, impares, o conjunto de estrelas, etc. X = fx 2 N : x é um número parg! em compreensão, pois com muitos elementos torna-se inviável a representação em extensão. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

7 Igualdade entre Conjuntos Conjuntos idênticos: Dois conjuntos A e B são considerados iguais ou idênticos se e só se tiverem os mesmos elementos ) A = B. Exemplo: A = f1, 3, 5, 7g e B = f1, 3, 1, 5, 3, 7g. Temos A = B, pois cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A. Conjuntos distintos: Quando entre dois conjuntos A e B não existe uma igualdade, estes dizem-se distintos e escreve-se A 6= B. Exemplo: A = f1, 2, 4, 6g e B = f2, 4, 6, 8g ) A 6= B. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

8 Subconjuntos Diz-se que A é subconjunto próprio de B se todo o elemento de A é também elemento de B ) A B. A B lê-se: "A está contido em B". Pode também dizer-se que "B contém A" ou que "B é sobreconjunto de A" ) B A. Exemplo: A = f2, 3, 5, 7, 11g e B = fx 2 N : x é número primog ) A B ou B A. A é sempre um subconjunto de si próprio, e o? é subconjunto de qualquer conjunto. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

9 Subconjuntos Se A B ou B A ou A = B, então A e B dizem-se comparáveis. Se A e B não têm elementos comuns, então são conjuntos disjuntos. Todos os conjuntos disjuntos são não comparáveis, mas nem todos os conjuntos não comparáveis são disjuntos. Exemplo: A = f3, 5, 7g, B = f2, 3, 5, 7, 11, 13g, C = f2, 3, 5g e D = f7, 11, 13, 17g. A e B são comparáveis (A B); C e D são disjuntos (não têm elementos comuns) mas apesar de A e C (e B e D) serem não comparáveis, não são disjuntos pois têm alguns elementos em comum. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

10 Conjunto Universal e Conjunto das Partes Se os conjuntos considerados são subconjuntos de um dado conjunto U, então U é designado de conjunto universal. Conjunto universal (U) é aquele que contém todos os outros conjuntos. Exemplo: Faces de um dado ) U = f1, 2, 3, 4, 5, 6g. Este conjunto contém os seguintes subconjuntos: A = f1, 3, 5g e B = f2, 4, 6g. Ao conjunto formado por todos os subconjuntos de um dado conjunto A (incluindo? e A) dá-se o nome de conjunto das partes de A, i.e. P(A) = fx : X Ag. Exemplo: Seja A = fx 2 Z : x 1 ^ x < 2g = f 1, 0, 1g, então: P(A) = f?, f 1g, f0g, f1g, f 1, 0g, f 1, 1g, f0, 1g, Ag. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

11 Diagramas de Venn Representam um conjunto através de uma área plana limitada por um círculo, dentro do qual se colocam os elementos que dele fazem parte. A Figura 1.1. Diagrama de Venn Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

12 Diagramas de Venn - exemplo A = f1, 3, 5, 7, 11g, B = f3, 5g, C = f2, 4, 6, 8g, D = f6, 8, 10g. A C D B Figura 1.2. Diagrama de Venn: conjuntos A, B, C e D B é um subconjunto de A ) B A ) A e B são comparáveis; A, C e D não são comparáveis; A e C ou A e D são conjuntos disjuntos. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

13 Operações sobre conjuntos - REUNIÃO Chama-se reunião de A com B a um novo conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos: A [ B = fx : x 2 A _ x 2 Bg e lê-se "A em reunião com B". A B Figura 1.3. Reunião de conjuntos Ex.: A = f1, 5g, B = f1, 3, 5g e C = f3, 4g ) B [ C = f1, 3, 4, 5g; Como A B, então A [ B = B = f1, 3, 5g. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

14 Operações sobre conjuntos - INTERSECÇÃO Chama-se intersecção de A com B a um novo conjunto formado apenas pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg e lê-se "A em intersecção com B". A B Figura 1.4. Intersecção de conjuntos Ex.: A = f1, 5g, B = f1, 3, 5g e C = f3, 4g ) B \ C = f3g; Como A B, então A \ B = A = f1, 5g; A e C são disjuntos ) A \ C =?. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

15 Operações sobre conjuntos - DIFERENÇA Chama-se diferença entre os conjuntos A com B ao conjunto dos elementos pertencentes a A mas não a B. AnB = fx : x 2 A ^ x /2 Bg! "A diferença de B" ou "A excepto B". A B Figura 1.5. Diferença de conjuntos Ex.: A = f1, 5g, B = f1, 3, 5g e C = f3, 4g ) BnC = f1, 5g; Como A B, então AnB =?; A e C são disjuntos (A \ C =?) ) AnC = A. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

16 Conjunto Complementar Se em vez de AnB, pretendermos BnA = fx : x 2 B ^ x /2 Ag, então obtém-se o conjunto complementar (ou complemento) de A em relação a B, i.e. C B (A). C B (A) = BnA - constituído pelos elementos que 2 a B mas não a A. Exemplo: A = f1, 3, 5g e B = f3, 4, 5, 6g. Temos que AnB = f1g, então: C B (A) = BnA = f4, 6g. Se B = U, então o complementar de A será designado por A C. Assim, A C = fx : x /2 Ag corresponde ao conjunto dos elementos do universo (U) que não pertencem a A. Exemplo: U = fx : x é aluno de Sociologiag; Se A é o conj. das alunas de Sociologia, A C será o conj. dos alunos. (A C ) C = A e AnB = A \ B C. (ver diagrama para a diferença). Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

17 Propriedades das operações sobre conjuntos 1. Propriedades comutativas A [ B = B [ A A \ B = B \ A 2. Propriedades associativas (A [ B) [ C = A [ (B [ C ) (A \ B) \ C = A \ (B \ C ) 3. Propriedades de identidade A [? = A - O conjunto vazio é o elemento neutro da reunião de conjuntos. A [ U = U - O conjunto universal é o elemento absorvente da reunião. A \? =? - O conjunto vazio é o elemento absorvente da intersecção. A \ U = A - O conjunto universal é o elemento neutro da intersecção. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

18 Propriedades das operações sobre conjuntos 4. Propriedades de idempotência A [ A = A A \ A = A 5. Propriedades distributivas A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ) ou (A \ B) [ C = (A [ C ) \ (B [ C ) A reunião é distributiva em relação à intersecção. A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) ou (A [ B) \ C = (A \ C ) [ (B \ C ) A intersecção é distributiva em relação à reunião. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

19 Propriedades das operações sobre conjuntos 6.Propriedades do complementar A [ A C = U A \ A C =? U C =?? C = U 7. Leis de De Morgan (A [ B) C = A C \ B C (A \ B) C = A C [ B C Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20

20 Partição de um conjunto Seja A um conjunto constituído pelos subconjuntos A i que satisfazem as seguintes condições: 1. A 1 [ A 2 [ A 3 [... [ A n = A, i = 1, 2, 3,..., n. 2. A i \ A j =?, i 6= j. A primeira condição indica que os conjuntos A i são exaustivos em A, i.e., a reunião de todos esses subconjuntos preenche a totalidade de A. A segunda condição indica que os conjuntos A i são mutuamente exclusivos,ou seja, não têm elementos em comum. Quando se veri cam estas duas condições signi ca que se está perante uma partição de um conjunto. Exemplo: Faixas etárias (A i ) dos habitantes (A) de um país. Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Teoria de Conjuntos FEUC - 1 o Sem. 2010/ / 20