Aula 4: Elementos da Teoria de Conjuntos

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1 1 / 20 Elementos da Teoria de Conjuntos Bases Matemáticas - 3 o /2018 Dahisy Lima Aula 4: Elementos da Teoria de Conjuntos

2 2 / 20 Conjuntos Elementos da Teoria de Conjuntos Do ponto de vista ingênuo, um conjunto é uma coleção de objetos, concretos ou abstratos, denominados os seus elementos. Exemplos: O conjunto dos times de futebol de um estado. O conjunto dos números naturais. O conjunto dos números inteiros. O conjunto das letras dessa frase. O conjunto dos alunos da UFABC.

3 Elementos de um conjunto Dados um conjunto A e um objeto qualquer x, pergunta-se: x é um elemento de A? Em caso afirmativo, escreve-se x A (leia x pertence a A ); Em caso negativo, escreve-se x / A (leia x não pertence a A ); Exemplos: 2 Z 1/2 / Z A = O conjunto das letras dessa frase. c A, j A z / A, x / A 3 / 20

4 Representação de Conjuntos Há, essencialmente, duas maneiras de representar um conjunto: listando seus elementos; (Descrição enumerativa) mediante uma propriedade comum e exclusiva de seus elementos. (Descrição predicativa) Exemplos: 1. {1, 2, 3, 4, 5} 2. { André, Bernardo, Caetano } 3. { palavras da língua portuguesa } 4. {n N n + 1 é múltiplo de 10} 5. {x R x 2 = 2} 6. {0, 1}, {1, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 1} representam o mesmo conjunto 4 / 20

5 Caracterização de um conjunto pelos seus elementos Conjuntos iguais: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Notação: A = B Ex.: {0, 1} = {1, 0} = {0, 1, 0, 0, 0, 1} Conjunto vazio: O conjunto que não possui elemento algum é denominado vazio. Notação: Ex.: {x N x 2 = 2} = Conjunto unitário: Um conjunto com apenas um elemento x é chamado de unitário. Notação: {x} Ex.: {x R x 1 = 0} = {1} 5 / 20

6 Subconjuntos Elementos da Teoria de Conjuntos Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A é um subconjunto de B se cada elemento de A também é um elemento de B. Notação: A B A é subconjunto próprio de B se A B e A B. Notação: A B Se A não está contido em B escrevemos A B Exemplos: 1. N Z, N Z 2. {x Z x é par} Q 3. T conjunto dos triângulos, P conjunto dos polígonos. Temos que T P, porém P T. Ou seja, T P. 6 / 20

7 Propriedades da Inclusão A relação A B é chamada de relação de inclusão. Dados conjuntos A, B e C, tem-se que: A; (vacuidade) A A; (reflexividade) Ex.: Z Z se A B e B A então A = B; (anti-simetria) Ex.: {0, 1} {0, 1, 0, 1} e {0, 1, 0, 1} {0, 1}, então {0, 1} = {0, 1, 0, 1}. A B e B C então A C; (transitividade) Ex.: N Z e Z Q, então N Q. 7 / 20

8 8 / 20 Elementos da Teoria de Conjuntos Atenção: x {x}, {x} {{x}} { } Exemplo: Considere os conjuntos: A = {1, 2} B = {{1}, {2}} C = {{1}, {1, 2}} D = {{1}, {2}, {1, 2}} Determine o valor verdade das seguintes proposições: A = B (F) A B (F) A C (F) A C (V) A D (F) B C (F) B D (V) B D (F) A D (V)

9 Conjunto das partes Seja A um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A (ou conjunto potência) e denotado por P(A). Exemplos: 1. A = {1, 2} P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} 2. B = {x, y, z} P(B) = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} 9 / 20

10 Operações: União Sejam A e B conjuntos. A união de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A B (leia A união B ) Observação: A B = {x (x A) (x B)} 10 / 20

11 Operações: Intersecção Sejam A e B conjuntos. A interseção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Notação: A B (leia A interseção B ) Observações: A B = {x (x A) (x B)} Se A B =, dizemos que A e B são disjuntos. 11 / 20

12 Propriedades das Operações Proposição Sejam A, B e C conjuntos. Segue que: 1. A A = A A A = A 2. A = A A = 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) Demonstração na lousa. 12 / 20

13 Diferença de Conjuntos A diferença B A é o conjunto dos elementos de B que não pertencem a A. Observação: B A = {x (x B) (x / A)} Ex.: A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3} A B = {2} B A = {5} A C = {1} C A = 13 / 20

14 Complementar de um conjunto Fixe um conjunto universo U. O complementar de um conjunto A em relação a U é a diferença U A. Notação: A c Exemplo: Fixe U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e considere A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} e C = {2, 3}. A c = {4, 5, 6} B c = {2, 4, 6} C c = {1, 4, 5, 6} 14 / 20

15 Propriedades do complementar Proposição Sejam A, B conjuntos do universo U. Segue que: 1. A A c = U e A A c = 2. (A c ) c = A 3. A B se e somente se B c A c 4. (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c Exercício: Considere U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}. Verifique a validade das afirmações abaixo: (A c ) c = A (A B) c = A c B c 15 / 20

16 Produto Cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. O produto cartesiano de A e B é o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y), onde x é um elemento de A e y é um elemento de B. Notação: A B (leia A cartesiano B ) Ex.: Considere A = {x, y, z} e B = {1, 2, 3}. 16 / 20

17 Produto Cartesiano Exemplo: Considere A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5}. Descreva: A B e B A. Observações: A B = {(x, y) (x A) (y B)}. Se A ou B forem vazios, então A B =. A A é normalmente denotado por A / 20

18 Propriedades do produto cartesiano Proposição Sejam A, B, C e D conjuntos do universo U. Segue que: 1. Se A C e B D, então A B C D 2. A (B C) = (A B) (A C) 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) 18 / 20

19 19 / 20 Elementos da Teoria de Conjuntos A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

20 Elementos da Teoria de Conjuntos Aula 4 - Bases Matemáticas Armando Caputi, Daniel Miranda Slides de BM, Ana Carolina Boero Wikipedia, The Free Encyclopedia. 20 / 20