Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu lucas@mat.estv.ipv.pt 2007/2008 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Noções Básicas de Lógica Matemática e Teoria de 2.1 Proposições e Valores Lógicos 2.2 Operações Lógicas 2.3 Propriedades das Operações Lógicas 2.4 e Operações com 2.5 Produto Cartesiano

2 2.1 Proposições e Valores Lógicos Proposição é uma expressão a respeito da qual faz sentido dizer se é verdadeira ou falsa. Cada proposição tem um e um só valor lógico, de entre dois disponíveis, verdadeiro (V) oufalso (F) Exemplos Viseu é uma cidade Proposição verdadeira Viseu é bonita Não é proposição (expressão de um sentimento de alguém) Amanhã vou ao cinema É uma proposição, que neste momento não se pode dizer o seu valor lógico, mas pode-se dizê-lo amanhã (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / Proposições e Valores Lógicos A lógica que vamos estudar pressupõe os seguintes princípios: Princípios Lógicos: Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Princípio do terceiro excluído Uma proposição é verdadeira ou falsa (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

3 2.2 Operações Lógicas A partir de proposições elementares e utilizando as operações lógicas, obtêm-se novas proposições (compostas). Operações Lógicas Negação p não é verdade que p não p Conjunção p q p e q Disjunção p q p ou q Implicação p q se p então q p só seq p é cond. suficiente para que q q é cond. necessária para que p Equivalência p q p equivalente a q p seesó se (sse) q Disjunção Exclusiva p q ou p ou q (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / Operações Lógicas p q antecedente consequente Exemplos Se estiver bom tempo e não estiver cansado vou à aula teórica de Álgebra Linear. 9 ou 15 são ímpares mas não são primos. É suficente ter 9.5 para passar a Álgebra Linear. Estudar é condição necessária para a época de exames. Um programa de computador funciona se e só se não tiver erros. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

4 2.2 Operações Lógicas Tabelas de Verdade das Operações Lógicas: Uma tabela de verdade faz corresponder aos possíveis valores lógicos das proposições o correspondente valor lógico da expressão p V F p F V p q p q V V V V F F F V F F F F p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V V F F V p q p q V V V V F F F V F F F V p q p q V V F V F V F V V F F F (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / Propriedades das Operações Lógicas Propriedades da Negação, da Conjunção e da Disjunção: p p V Lei do terceiro excluido p p F Lei da contradição p F p p V p Leis da identidade p V V p F F Leis da absorção p p p p p p Leis da idempotência ( p) p Lei da dupla negação p q q p p q q p Leis da comutatividade (p q) r p (q r) Leis da associatividade (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) Leis da distributividade p (q r) (p q) (p r) (p q) p q Leis de De Morgan (p q) p q (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

5 2.3 Propriedades das Operações Lógicas Propriedades da Implicação e da Equivalência: p q p q (p q) p q p q q p p q (p q) (q p) (p q) (p q) (q p) Relação da implicação com a disjunção Negação da implicação Lei da conversão Equivalência como conjunção de implicações Negação da equivalência (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / Propriedades das Operações Lógicas É possível demonstrar todas estas propriedades recorrendo a tabelas de verdade. Exemplo (Prova da relação da implicação com a disjunção) p q p q p q p q p p q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Exercício Provar a equivalência como conjunção de implicações p q (p q) (q p) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

6 2.4 e Operações com Axiomas Axioma da Extensão: dois conjuntos são iguais se, e só se, têm os mesmos elementos. Axioma da Especificação: a cada conjunto A e a cada condição S(x) corresponde um conjunto B cujos elementos são exactamente os elementos de A para os quais S(x) acontece. Escreve-se: B = {x : x A e S(x)} ou B = {x A : S(x)}. Exemplo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {x A : 2 x < 9}. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / e Operações com A B x (x A x B) A = B (A B e B A) Conjunto Vazio, {} Conjunto Universal E Operações entre Intersecção x A B x A x B Reunião x A B x A x B Complementação. c x A c (x A) Diferença x A B x A B c x A (x B) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

7 2.4 e Operações com Exemplo (1) E = {números inteiros positivos não superiores a 10} A = {x N : x émúltiplo de 3exnão excede 9} B = {números inteiros positivos inferiores a 6} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 6, 9} B = {1, 2, 3, 4, 5} A c = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A B = {3} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} A B = {6, 9} (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / e Operações com Exemplo (2) A = {a, b} e B = {a} A B = {a} A B = A A B = {b} B A = {} Relação entre e Operações Lógicas Identidade Inclusão Intersecção Reunião Complementação Equivalência Implicação Conjunção Disjunção Negação (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

8 2.4 e Operações com Propriedades dos A A c = E Lei da complementação A A c = Lei da exclusão A = A; A E = A Leis da identidade A E = E; A = Leis da absorção A A = A; A A = A Leis da idempotência (A c ) c = A Lei da dupla complementação A B = B A; A B = B A Leis da comutatividade (A B) C = A (B C) Leis da associatividade (A B) C = A (B C) A (B C) =(A B) (A C) Leis da distributividade A (B C) =(A B) (A C) (A B) c = A c B c Leis de De Morgan (A B) c = A c B c (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / e Operações com Exercício Mostrar que: (A B) (A C) =A (B C); A (A c B) =A B. Disjuntos Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se A B =. Dados conjuntos A i, i I, dizem-se disjuntos dois a dois se para quaisquer i, j I, com i j se tem A i A j =. Exemplo {2, 3, 4}, {5, 6, 7}, {8, 9, 10} são disjuntos dois a dois. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

9 2.4 e Operações com Cardinal de um Conjunto O cardinal de um conjunto é igual ao número de elementos do conjunto. Notação: #A, card(a) ou A Exemplo card(a) =6 A = {1, 3, 5, 6, 5, 8, 1, 2} card(a B) = card(a)+ card(b) card(a B); Se A 1, A 2,...,A n forem disjuntos dois a dois card(a 1 A 2... A n )=card(a 1 )+ card(a 2 )+...+ card(a n ). (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / Produto Cartesiano Produto Cartesiano O produto cartesiano de A por B, designa-se por A B e é dado por: A B = {(a, b) :a A b B} O produto cartesiano de n conjuntos é definido da forma: A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,...,a n ):a 1 A 1 a 2 A 2... a n A n } A n = A A... A Se A 1, A 2,...,A n são conjuntos finitos então: card(a 1 A 2... A n )= card(a 1 ) card(a 2 )... card(a n ) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19

10 2.5 Produto Cartesiano Exemplo A = {a, b} e B = {1, 2, 3} A B = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} Conjunto Potência Seja A um conjunto. O conjunto potência de A ou o conjunto das partes de A designa-se por P(A) ou 2 A,eé o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Se A é finito então card(2 A )=2 card(a) Exemplo A = {a, b, c} 2 A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}} (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 2007/ / 19