Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 1

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Caderno de Exercícios 1 Noções básicas de Lógica e Teoria dos Conjuntos Nota: Os problemas não resolvidos nas aulas constituem trabalho complementar que os alunos devem fazer e esclarecer junto da equipa docente. António Antunes Louis Serranito Patrícia Xufre Rui Sousa Monteiro Manuela Ducla Soares

2 1 Noções básicas de Lógica 1.1 Síntese De nição 1 Uma proposição é uma a rmação que ou é verdadeira ou é falsa. A de nição anterior não exclui proposições que a priori não sabemos se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo, a proposição x + 1 é igual a 2 é verdadeira ou falsa consoante x seja igual a 1 ou diferente de 1. De nição 2 Diz-se que a proposição A implica a proposição B (simbolicamente, A ) B) se B for verdadeira sempre que A o seja. Note-se que não se está a dizer que A e B sejam a mesma coisa. Por exemplo, seja A a proposição Não consigo andar, e B a proposição Estou a car para trás. É claro que A ) B, já que se não conseguir andar irei seguramente car para trás. No entanto, não é verdade que B ) A, pois não conseguir andar é apenas uma das razões possíveis para se car para trás. Posso estar a car deliberadamente para trás. De nição 3 Se A e B forem proposições tais que A ) B e também B ) A, então diz-se que A é equivalente a B (simbolicamente, A, B). O exemplo anterior serve para ilustrar uma propriedade interessante das implicações lógicas. Seja A a negação de A (ou seja, a proposição Consigo andar ) e B a negação de B (ou seja, a proposição Não estou a car para trás ). Parece evidente que, neste caso, B ) A, ou seja, não estar a car para trás implica que consiga andar. 1 Parece ser verdade que A ) B se veri ca sempre que B ) A, e vice-versa. Na realidade, isto é sempre assim: Resultado 1 A ) B se e só se B ) A. A expressão se e só se é a verbalização da noção de equivalência já dada. A rma-se portanto que (A ) B), ( B ) A): por um lado, é verdade que se A ) B então B ) A (ou seja, A ) B só se B ) A); por outro lado, é também verdade que se B ) A então A ) B (ou seja, A ) B se B ) A). De nição 4 Diz-se que B é condição necessária para A se A ) B. De nição 5 Diz-se que A é condição su ciente para B se A ) B. A distinção entre condições necessárias e condições su cientes é fundamental para a compreensão de muitos teoremas. Consideremos ainda o exemplo anterior. Será verdade que A seja condição su ciente para B, isto é, que não conseguir andar permite garantir que esteja a car para trás? Sim! Será que B é condição necessária para A, ou seja, estar a car para trás acontece sempre que não consiga andar? Novamente sim! Finalmente, re ra-se ainda os operadores lógicos ou e e. Em lógica, a proposição A ou B (simbolicamente, A _ B) é verdadeira se A ou B forem verdadeiras, ou ambas. A proposição A e B (simbolicamente, A ^ B) é verdadeira se quer A quer B forem verdadeiras. 2 Resultado 2 (A _ B) é verdadeira se e só se A^ B for verdadeira; Resultado 3 (A ^ B) é verdadeira se e só se A_ B for verdadeira. Demonstração em Matemática Os teoremas são os resultados mais importantes em matemática. Qualquer teorema pode ser escrito na forma P ) Q, em que P é um conjunto de proposições chamadas premissas (aquilo que sabemos, a hipótese) e Q é um conjunto de proposições chamadas conclusões (o que queremos saber, a tese). Neste sentido, uma a rmação P, Q pode ser interpretada como dois teoremas: P ) Q e Q ) P. Há três tipos de demonstração em matemática: 3 1 A negação tem prioridade sobre qualquer outro operador lógico. Por exemplo, as expressões ~A ) B e (~A) ) B designam a mesma proposição; as expressões ~A ) B e ~ (A ) B) designam proposições diferentes. 2 À operação A _ B chama-se disjunção; à operação A ^ B chama-se conjunção. 3 Não estamos a considerar a demonstração por indução matemática, que é muito utilizada em determinadas circunstâncias. 1

3 1. Demonstração directa, em que se parte do conjunto de premissas P e através de sucessivas inferências verdadeiras se chega às conclusões Q. 2. Demonstração indirecta, em que se demonstra uma proposição equivalente àquela que se quer demonstrar. Um exemplo muito comum consiste em demonstrar Q ) P em vez de demonstrar P ) Q. Como se sabe, as a rmações P ) Q e Q ) P são equivalentes. 3. Demonstração por contradição (ou por absurdo), em que se supõe que a a rmação P ) Q é falsa (isto é, supõe-se P ^ Q) e se mostra que esta suposição origina uma contradição. Este tipo de demonstração baseia-se no princípio lógico fundamental de que partindo de uma proposição verdadeira é impossível chegar, através de sucessivas inferências válidas, a uma proposição que é falsa. Exemplo: x 2 + 5x 4 > 0 ) x > 0 Demonstração directa: Supõe-se que x 2 + 5x 4 > 0. Somando x a cada membro da inequação obtém-se 5x > x Como x para todo o x, temos que 5x > 4, logo x > 4 5. Em particular, x > 0. Demonstração indirecta: Supõe-se que x 0. Então 5x 0;logo x 2 + 5x 4 0. Demonstração por contradição: Supõe-se que a a rmação é falsa. Então existe necessariamente um x tal que x 2 +5x 4 > 0 e x 0. Mas se x 0, então x 2 +5x 4 x 2 4 4, o que é uma contradição. 1.2 Exercícios 1. Sejam A e B duas proposições. Designando por F o valor lógico Falso e por V o valor lógico Verdadeiro, escreva as tabelas de verdade para: (a) A conjunção A ^ B. (b) A negação A. (c) A disjunção A _ B. (d) A implicação A ) B. (e) A equivalência A, B. (f) A conjunção ( A) _ B. 2. Designando por S a a rmação O João é esperto e por L a a rmação O João é trabalhador, escreva as frases que são representadas pelas expressões seguintes: (a) (s S ^ L) _ S (b) s S ^ (L _ S) (c) s (S ^ L) _ S 3. Escreva as formas lógicas das a rmações seguintes: (a) O José vai sair de casa e não voltará. (b) Ou o António foi ao supermercado ou não temos pão. (c) Ou o Pedro está no trabalho e a Rita não está, ou a Rita está no trabalho e o Pedro não está. 4. Escreva a negação para cada uma das 4 proposições seguintes: (a) x 0 e y 0. (b) Todo o x satisfaz x a. (c) Nem x nem y é menor do que 5. (d) Para cada " > 0, existe um > 0 tal que a proposição A é satisfeita. 5. Nas seguintes proposições pratique o conceito de condição necessária, condição su ciente e, caso faça sentido, condição necessária e su ciente. 2

4 (a) x é múltiplo de 3. x é múltiplo de 9. (b) Este quadrilátero tem 4 ângulos rectos. Este quadrilátero é um quadrado. (c) Este triângulo é equiângulo. Este triângulo é equilátero. (d) Aquela pessoa é mãe. Aquela pessoa é do sexo feminino. (e) Pratique verbalmente a relação (A ) B), ( B ) A) com os exemplos das alíneas anteriores. 6. Considere a proposição 2x (a) A condição x 0 é necessária, su ciente ou necessária e su ciente para que a proposição seja satisfeita? (b) Responda à mesma questão para x 50. (c) Responda à mesma questão para x Considere as proposições O automóvel do João tem motor diesel (a que vamos chamar A) e O automóvel do João é branco (a que vamos chamar B). (a) Suponha que o João tem um automóvel amarelo que não é a diesel. Represente simbolicamente cada uma das seguintes proposições e atribua-lhes valor lógico: i. Se o automóvel do João é branco, então é a diesel. ii. O João não tem um automóvel branco, ou então o seu automóvel é a diesel, ou ambas as coisas. iii. O João tem um automóvel branco se e só se este é a diesel. iv. Nem o João tem um automóvel branco, nem o que tem é a diesel. (b) Repita a alínea anterior supondo que o João tem de facto um automóvel branco e que este é a diesel. (c) Repita supondo que o João tem um automóvel verde e que este é a diesel. (d) Repita supondo agora que o João tem um automóvel branco mas que este não é a diesel. 8. (a) Determine x tal que x + 2 = p 4 x. (b) Identi que o erro de raciocínio a seguir apresentado: x = 1 ) x 2 = 1 ) x 2 1 = 0 ) (x 1)(x + 1) = 0 ) x = 1 _ x = 1; a nal a equação inicial, x = 1, tem duas raízes. 9. Considere as implicações que se seguem, decida se são verdadeiras ou não, e corrija, se possível, o sentido das que estiverem erradas: (a) (x = 2 ^ y = 5) ) x + y = 7 (b) (x 1)(x 2)(x 3) = 0 ) x = 1 (c) x 2 + y 2 = 0 ) (x = 0 _ y = 0) (d) (x = 0 ^ y = 0) ) x 2 + y 2 = 0 (e) xy = xz ) y = z (f) x > y 2 ) x > 0 (g) x + y = 7 ) (x = 2 ^ y = 5) (h) (x + y = 7 ^ x > 0) ) y = 5 (i) (x + y = 7 ^ x = 2) ) y = 5 (j) x = 5 ) (x 1) (x 2) (x 5) = 0 (k) x 2 + y 2 = 0 ) (x = 0 ^ y = 0) (l) x 2 > y 2 ^ x > 0 ) x > y 10. Resolva as equações: (a) (x+1)2 (x 1)2 x(x 1) + x(x+1) 2 3x+1 x 2 1 = 0 (b) x + 2 = p 4x + 13 (c) p p x 4 = 9 x + 5 (d) p x 4 = p x (e) jx + 2j = p 4 x (f) x 2 2 jxj 3 = O Supremo Tribunal de Justiça recusa-se a aceitar recurso de uma decisão de um tribunal de 2 a instância que aprovava a recusa do juiz em deixar que um réu se recusasse a falar. O réu tem a nal o direito a não falar? 12. Analise os seguintes epitá os (a) de um ponto de vista lógico e (b) de um ponto de vista poético: Aqueles que o conheceram gostavam dele. 3

5 Aqueles que dele não gostavam não o conheciam. 13. Qual das seguintes frases é mais elogiosa para um professor? Aqueles que estudaram passaram a Cálculo I. Todos os que não passaram a Cálculo I não tinham estudado. 2 Teoria dos Conjuntos 2.1 Síntese De nição 6 Um conjunto é uma colecção de elementos. Um conjunto pode ser de nido: 1. por enumeração, isto é, enumerando todos os seus elementos, como por exemplo em S = f1; 2; 3; 5g ; 2. por compreensão, isto é, especi cando uma propriedade comum a todos os elementos do conjunto, como por exemplo em S = fx : x é um número primo menor do que 6g : O símbolo : lê-se tal que. Por vezes é também usado o símbolo j. O elemento 1 pertence a S, o que se representa por 1 2 S. Se quisermos designar todos os elementos de S, usamos 8x 2 S, o que se lê como qualquer que seja x pertencente a S. É o chamado quanti cador universal. O quanti cador existencial, por seu lado, signi ca a existência de pelo menos um elemento em S, usando-se 9x 2 S, expressão que se lê existe pelo menos um x pertencente a S. Ao conjunto que não contém qualquer elemento chamamos conjunto vazio, e é denotado por?. Ao conjunto que contém todos os elementos possíveis chamamos conjunto universal ou universo, sendo representado por. De nição 7 Diz-se que o conjunto A está contido em B (simbolicamente, A B) se x 2 A ) x 2 B, 8x. 4 De nição 8 A intersecção dos conjuntos A e B (simbolicamente, A\B) é o conjunto fx : x 2 A e x 2 Bg. De nição 9 A reunião dos conjuntos A e B (simbolicamente, A [ B) é o conjunto fx : x 2 A ou x 2 Bg. O conjunto complementar de B relativamente a A é o conjunto fx : x 2 A e x =2 Bg. Representa-se por A n B ou A B. Se for o universo, diz-se simplesmente que n B é o complementar de B. Este conjunto é muitas vezes denotado por B. Os conjuntos A e B são iguais se tiverem os mesmos elementos, ou seja, se estiverem contidos um no outro. Ou seja, A = B se e só se A B ^ B A. Decorre daqui que não interessa a ordem por que os elementos neles aparecem. O cardinal (ou potência) de um conjunto nito, representado por #, é o número de elementos do conjunto. Assim, se, por exemplo, A = fa; b; cg, temos que #A = 3. De nição 10 O produto cartesiano dos conjuntos A e B (simbolicamente, A B) é o conjunto f(x; y) : x 2 A e y 2 Bg. De nição 11 Partição do conjunto universal é um conjunto S de subconjuntos disjuntos de ; cuja união ns é, isto é, S = X i : X i = e X i \ X j = ;; i; j = 1; :::; n; i 6= j i=1 Algumas propriedades básicas A [ B = B [ A A \ B = B \ A A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) (A [ B) [ C = A [ (B [ C) = A [ B [ C (A \ B) \ C = A \ (B \ C) = A \ B \ C 4 Note que A pode ou não coincidir com B. 4

6 A [ ; = A A [ A = A A [ = [ ; = A [ A c = A \ ; = ; A \ A = A A \ = A \ ; = ; A \ A c = ; (A c ) c = A ; c = c = ; (A [ B) c = A c \ B c (A \ B) c = A c [ B c Leis de Morgan: ([ 1 i=1 A i) c = \ 1 i=1 Ac i e (\ 1 i=1 A i) c = [ 1 i=1 Ac i Para A e B nitos, # (A [ B) = #A + #B # (A \ B) 2.2 Exercícios 1. Seja o conjunto dos inteiros positivos (números naturais), N, e sejam os conjuntos X = x 2 N : x 20 e x 2 2 N Y = x 2 N : 10 x 24 e x 2 2 N. (a) Descreva por enumeração os conjuntos X e Y. (b) Descreva, por enumeração e por compreensão, os conjuntos X \ Y e X [ Y. (c) Quais são os conjuntos X \ N, X [ N, Y \ N, Y [ N? (d) Quais são os complementares de X e Y? 2. (a) Será o melhor pintor entre os poetas a mesma pessoa que o melhor poeta entre os pintores? (b) Será o mais idoso pintor entre os poetas a mesma pessoa que o mais idoso poeta entre os pintores? 3. Considere o universo dos alunos (rapazes e raparigas) da Faculdade de Economia,. Seja M o conjunto das alunas, O o conjunto dos alunos que usam óculos, A o conjunto dos alunos que fazem parte da Associação de Estudantes, C o conjunto dos alunos que têm carro e F o conjunto dos alunos que jogam futebol. Descreva os seguintes conjuntos: (a) nm (b) M \ C \ A (c) M \ O (d) ((O \ C) n A) n F 4. Considere o universo dos alunos da Faculdade de Economia,. Sejam B, S e P os conjuntos dos alunos adeptos do Ben ca, do Sporting e do Porto, respectivamente. Seja N o conjunto dos alunos que não são adeptos de nenhum dos três grandes. Descreva e, se possível, determine: (a) B \ S (b) B \ S \ P (c) B [ S [ P [ N (d) B [ ( n (S [ P )) 5. Determine, utilizando, quando conveniente, um diagrama de Venn, quais das seguintes proposições são verdadeiras: (a) A n B = B n A (b) A B, A \ B = A (c) A B, A [ B = B (d) A [ B = A [ C ) B = C (e) A \ B = A \ C ) B = C (f) B C ) (A \ B) (A \ C) (g) (A C) ^ (B C) ) (A [ B) C (h) (A C) ^ (B D) ) (A [ B) (C [ D) (i) A (A [ B) (j) (A \ B) A (k) A n (B n C) = (A n B) n C 6. Um inquérito revelou que 50 pessoas gostavam de café, 40 gostavam de chá, 35 gostavam de ambos, e 10 não gostavam nem de um nem de outro. Quantas pessoas foram entrevistadas? 5

7 7. Mostre que X; X, para X, é uma partição de : 8. Os conjuntos X e Y do exercício 1 formam uma partição de N? Justi que a resposta. 9. O conjunto das partes de um conjunto X é o conjunto de todos os subconjuntos de X e representa-se por }(X), isto é, }(X) = fa : A Xg. Sendo X = fa; b; cg, descreva }(X): Quantos elementos tem }(X)? 6