Professor conteudista: Ricardo Holderegger

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1 Lógica

2 Professor conteudista: Ricardo Holderegger

3 Sumário Lógica Unidade I 1 SISTEMAS DICOTÔMICOS Proposições Proposições lógicas Símbolos da lógica matemática A negação Interruptores... 2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÃO CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE Exemplo de p q Exemplo de p q Exemplo de p q Exemplo de p q Tautologia Contradição Contingências...12 Unidade II 4 RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA Implicação lógica Equivalência lógica...13 ARGUMENTO VÁLIDO Definição Argumento válido e inválido Argumento verdadeiro e falso TÉCNICAS DEDUTIVAS...16 Unidade III 7 FLUXOGRAMAS Diagramação Programação estruturada Estrutura de controle QUANTIFICAÇÕES Sentença aberta Sentença aberta com uma variável Conjunto-verdade de uma sentença aberta Sentenças abertas com duas variáveis...23

4 8.1.4 Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis Sentenças abertas com n variáveis Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis Quantificador universal ( ) Quantificador existencial ( ) Negação de sentenças quantificadas...28 Unidade IV 9 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA DE BOOLE Operador binário O sistema binário de numeração Propriedade cumulativa na adição Propriedade cumulativa na multiplicação Propriedade associativa na adição Propriedade associativa na multiplicação Álgebra booleana Conversão de decimal em binário...33 REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES BOOLEANAS FORMAS NORMAIS Forma normal conjuntiva Forma normal disjuntiva...3

5 LÓGICA Unidade I TABELA DE SÍMBOLOS Símbolo ou não e ou se..., então somente se se, e somente se tal que implica equivalente existe Definição existe um, e somente um qualquer que seja pertence não pertence intersecção (só entra o que é comum nos dois) união dos conjuntos contém. Ex.: B A (B contém A) ou { } { } não está contido está contido. Ex.: A B (A está contido em B) conjunto vazio conjunto unitário { x x... x tal que x... diferente 1

6 Unidade I INTRODUÇÃO O que é lógica? A lógica ensina a colocar ordem no pensamento. Breve histórico da lógica A lógica começou a se desenvolver principalmente com Aristóteles ( a.c.), filósofo grego nascido na cidade de Estagira, na Calcídica, Macedônia, distante 320 quilômetros de Atenas. Além dele, também outros antigos filósofos gregos passaram a usá-la em suas discussões, sentenças enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando, assim, numa grande simplificação e clareza, com efeito de grande valia em toda a matemática. As obras de Aristóteles abordam vários ramos do saber: política, zoologia, botânica, física, metafísica, filosofia e outros. A lógica é tratada por Aristóteles no livro Orgânon Na era moderna, o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ), em 1666, publicou seu principal trabalho relacionado à lógica. Já no século XVIII, Euler ( ) introduziu a representação gráfica das relações entre as sentenças ou as proposições, mais tarde ampliada por Venn ( ), Veitch, em 192, e Karnaugh, em 193. O diagrama Veitch-Karnaugh permite a simplificação de expressões matemáticas complexas. 2 Adiante, George Boole ( ), matemático inglês que se tornou o pai da álgebra booleana, utilizou símbolos e operações para representar proposições e suas inter-relações. A álgebra de Boole, apesar de ter existido há mais de cem anos, não teve uma utilização prática até 1937, quando foi aplicada pelas primeiras vezes à análise de circuitos e relés. 2

7 LÓGICA 1 SISTEMAS DICOTÔMICOS 1.1 Proposições As proposições são sentenças declarativas, que satisfazem três princípios fundamentais. 1 Princípio da identidade: se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Uma proposição verdadeira possui o valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui o valor lógico F (falso). Esses valores também podem ser representados por 0 para as proposições falsas e por 1 para as proposições verdadeiras. Sendo assim, a representação (0 ou F) e (1 ou V) são corretas. As proposições simples são indicadas pelas letras minúsculas latinas p, q, r, s, t, u, v, x etc.; por exemplo: 20 p: Júpiter é um planeta ; q: a somatória dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º Proposições lógicas Expressões do tipo + 7, o dia está nublado ou x + 8 = 23 não são proposições lógicas, já que não se pode associar a elas um valor lógico definido (V ou F). Desta forma, essas sentenças declarativas abertas dependem de um qualificador para se tornarem proposições; por exemplo, x + 8 = 23 será uma proposição lógica quando for definido o valor de x. Nesse 3

8 Unidade I caso, se x = 1, a sentença será verdadeira, ou, se x 1, a sentença será falsa. Abaixo seguem algumas proposições e seus respectivos valores lógicos: p: o estado do Paraná faz divisa com o Equador (F) ou (0); q: São Paulo é uma metrópole (V) ou (1); r: todas as árvores são frutíferas (F) ou (0); s: + = (V) ou (1); t: 3! = 6 (V) ou (1); u: 1/0 = 1 (F) ou (0) Símbolos da lógica matemática Símbolo Definição ou não e ou se..., então somente se se, e somente se tal que implica equivalente existe existe um, e somente um qualquer que seja A negação A negação da proposição p será p, que se lê não p. p: dois pontos determinam uma reta ; 4

9 LÓGICA p: dois pontos não determinam uma reta. Duas negações equivalem a uma afirmação. Desta forma, ( p) = p. Acompanhe a tabela abaixo: (p) Verdadeiro (V) Falso (F) ( p) Falso (F) Verdadeiro (V) 1.2 Interruptores O interruptor é um dispositivo ligado a um circuito elétrico, que pode assumir dois estados: 1 (ligado) e 0 (desligado). Quando o circuito está fechado, o interruptor está ligado e permite que a corrente passe de um ponto para outro. Quando aberto, os pontos estão desconectados e nenhuma corrente passa através dos mesmos. A C D R Figura 1 Circuito de chaveamento simplificado. Nos circuitos em paralelo, é utilizada a soma, e para circuitos em série, é utilizada a multiplicação. Com base na figura 1, um exemplo pode ser: (A + B). (C + D + E). Com os interruptores, monta-se as portas lógicas, que são utilizadas na computação para tomar decisões e fazer cálculos matemáticos. F

10 Unidade I 2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÃO As proposições lógicas simples, por exemplo, p e q, podem ser combinadas através dos operadores lógicos,, e, e passarem a formar proposições compostas, do tipo p q, p q, p q e p q. Assim, as proposições compostas recebem as seguintes definições: conjunção: p q ( p e q ); disjunção: p q ( p ou q ); condicional: p q ( se p, então q ); bicondicional: p q ( p se, e somente se q ). 3 CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, com o uso da tabela-verdade é possível determinar os valores lógicos das proposições compostas decorrentes. 1 Desta forma, sejam p e q duas proposições simples, de valores lógicos 0 quando falsas (F) e 1 quando verdadeiras (V), pode-se construir a tabela-verdade conforme segue: p q p q p q p q p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Se os valores lógicos V e F forem substituídos por 1 e 0, respectivamente, então obteremos: 6

11 LÓGICA p q p q p q p q p q Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela-verdade possuirá 2 n linhas. Das tabelas acima, é possível inferir que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras; a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas; a condição é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa; a bicondicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. Veja o exemplo. Dadas as proposições simples: p: o Brasil não é um país (F) ou (0); 1 q: + 7 = 13 (V) ou (1). Sendo assim, baseado na tabela-verdade, tem-se: p q tem valor lógico F ou 0; p q tem valor lógico V ou 1; p q tem valor lógico V ou 1; 20 p q tem valor lógico F ou 0. 7

12 Unidade I Deste modo, a proposição composta p q, que significa se o Brasil não é um país, então + 7 = 12, é verdadeira, apesar de ser um absurdo. 3.1 Exemplo de p q Situação hipotética: um homem chega tarde em casa e a sua esposa, muito brava, pergunta o que houve?. O homem responde: trabalhei até tarde, o carro não quis pegar e tive que chamar o socorro mecânico do seguro. Sendo: p: trabalhei até tarde; q: carro não quis pegar e tive que chamar o socorro mecânico do seguro. p q p q Explicação V V Situação 1: V O homem realmente trabalhou até tarde (p é verdadeiro), e o carro apresentou problema de fato, havendo a necessidade de se chamar o socorro mecânico (q é verdadeiro). V F Situação 2: F O homem realmente trabalhou até tarde (p é verdadeiro), mas o carro não apresentou problema (q é falso). F V Situação 3: F O homem não trabalhou até tarde (p é falso), mas o carro apresentou problema de fato, havendo a necessidade de se chamar o socorro mecânico (q é verdadeiro). F F Situação 4: F O homem não trabalhou até tarde (p é falso), e o carro não apresentou problema (q é falso). A disjunção p ou q será falsa somente quando p e q forem falsos. 8

13 LÓGICA 3.2 Exemplo de p q Situação hipotética: uma mulher que está fazendo compras em um supermercado chega aos caixas para pagar pelas suas mercadorias e percebe que o único caixa livre é o que tem a seguinte informação: caixa reservado para gestantes e deficientes físicos. Sendo: p: reservado para gestante; q: reservado para deficientes físicos. Quando essa mulher poderá passar suas compras por esse caixa? p q p q Explicação V V Situação 1: V A mulher é gestante (p é verdadeiro) e é deficiente (q é verdadeiro). V F Situação 2: V A mulher é gestante (p é verdadeiro) e não é deficiente (q é falso). F V Situação 3: V A mulher não é gestante (p é falso) e é deficiente (q é verdadeiro). F F Situação 4: F A mulher não é gestante (p é verdadeiro) e não é deficiente (q é verdadeiro). A condição somente será falsa quando p e q forem falsos. 3.3 Exemplo de p q Situação hipotética: uma mãe diz ao seu filho: se fizer sol amanhã, iremos ao parque do Ibirapuera. p: fazer sol; 1 q: ir ao parque do Ibirapuera. 9

14 Unidade I p q p q Explicação V V Situação 1: V V F Situação 2: F F V Situação 3: V F F Situação 4: V No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro), e a mãe levou o filho ao parque do Ibirapuera (q é verdadeiro). No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro), mas a mãe não levou o filho ao parque do Ibirapuera (q é falso). No dia seguinte não fez sol (p é falso), e a mãe levou o filho ao parque do Ibirapuera (q é verdadeiro). No dia seguinte não fez sol (p é verdadeiro) e a mãe não levou o filho ao parque do Ibirapuera (q é verdadeiro). A condição somente será falsa quando p for verdadeiro e q for falso. 3.4 Exemplo de p q Situação hipotética: Marquinho não foi um aluno aplicado neste semestre, suas notas foram baixas e o número de faltas muito elevado em todas as disciplinas, em especial matemática, na qual ele será aprovado se não faltar às duas últimas aulas e somente se conseguir tirar uma nota superior a 8, na última prova. p: se não faltar nas duas últimas aulas; q: e somente se conseguir tirar uma nota superior a 8, na última prova. p q p q Explicação V V Situação 1: V V F Situação 2: F F V Situação 3: F F F Situação 4: V Não faltou às duas últimas aulas (p é verdadeiro) e conseguiu nota superior a 8, (q é verdadeiro). Não faltou às duas últimas aulas (p é verdadeiro) e não conseguiu nota superior a 8, (q é falso). Faltou às duas últimas aulas (p é falso) e conseguiu nota superior a 8, (q é verdadeiro). Faltou às duas últimas aulas (p é falso) e não conseguiu nota superior a 8, (q é falso).

15 LÓGICA 3. Tautologia Ocorre quando, para qualquer valor lógico das proposições simples, a proposição composta s é sempre verdadeira. Por exemplo, observe s: (p q) (p q), como segue: p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V Dize-se então que s é uma tautologia. Veja também este exemplo: p V F p p V V A A é uma tautologia. Assim como: p p é uma tautologia. 3.6 Contradição p p p p V F V F V V É uma proposição composta que sempre tem valor F. Logo, p é uma contradição se, e somente se p é uma tautologia, e p é uma tautologia se, e somente se p é uma contradição. Sabemos que a proposição composta t: p p é uma contradição, então vejamos a seguir: 11

16 Unidade I p p p p V F F F V F Também são contradições os exemplos a seguir: p p é uma contradição. p p p p V F F F V F p p p p V F F F V F p p é uma contradição. 3.7 Contingências São proposições compostas em que os valores lógicos independem dos valores das proposições simples. 12

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