No. Try not. Do... or do not. There is no try. - Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980)

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1 Cálculo Infinitesimal I V Marco Cabral Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ Monitor: Lucas Porto de Almeida Lista A - Introdução à matemática No. Try not. Do... or do not. There is no try. - Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980) Considerações iniciais: Na matemática, um Axioma é uma hipótese inicial da qual outros enunciados são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os resultados obtidos em sequência, podem (e devem) ser utilizados para que outros teoremas sejam provados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência de raciocínios lógicos, a qual chamamos de demonstração. Os tipos mais usados são: Demonstração direta A demonstração direta é aquela em que partindo da hipótese inicial, através de uma série de argumentos verdadeiros e deduções lógicas, concluímos a veracidade da tese. Demonstração por contraposição A contrapositiva de A implica em B é não-b implica em não-a e, pela lógica, são equivalentes. Provar uma é o mesmo que provar a outra. Por exemplo, Se como laranjas, então gosto de frutas. é equivalente a Se não gosto de frutas, então não como laranjas. Pense nisto! Demonstração por contradição O método da demonstração por contradição consiste em

2 supor que o que se quer concluir é falso. Desta suposição, através de uma sequência de deduções lógicas, chegarmos a uma conclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essa contradição implica a validade do que se queria concluir. Por exemplo. Queremos provar que A é verdadeiro. Suponha que A é falso e deduza desta hipótese que 2 = 3. Isto implica que A é verdadeiro. A razão lógica disto é o princípio do terceiro excluido: ou A é verdadeiro, ou A é falso. Se A falso implicar em algo absurdo, então A é verdadeiro. Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema, que pertence a uma área que fundamenta a Matemática, a Lógica. Estranho não? Independentemente do método usado, lembre-se de sempre escrever todos os seus passos. Procure ser claro e não omita informações ainda que pareçam irrelevantes. 1. Demonstração direta Vamos ilustrar demonstração direta provando propriedades de conjuntos. Deve-se ter em mente que nem sempre os resultados que julgaremos serem fáceis (ou intuitivos), possuem uma demonstração fácil. Começamos definindo igualdade de conjuntos através do conceito de estar contido. Definição 1 Dados conjuntos A e B dizemos que A B se para todo a A, a B. Definição 2 Dados conjuntos A e B dizemos que A = B se A B e B A. Logicamente (verifique!), A = B se, e somente se, todos os elementos do conjunto A são elementos de B, e todos os elementos de B são elementos de A.

3 Exemplo 1 Sejam A e B dois conjuntos tais que B A. Então A B = A. Prova: Se x A B, então x A ou x B. Como B A, então temos que x B x A. Logo, para todo x A B x A, ou seja, A B A. Mas para todo x A, é fato que x A B, logo A A B. Assim, concluí-se que se B A, então A B = A. Note que ficou faltando definir união de conjuntos. Além disso, na definição de A B, faltou definir a A. Mas, na teoria dos conjuntos, a noção de pertence é similar a ponto e reta na fundamentação da geometria, é um termo primitivo, sem definição. Uma referência clássica é Teoria Ingênua dos Conjuntos (Naive Set Theory) P. Halmos. Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos por demonstração direta. Exercício 1 (a) Mostre que, dados os conjuntos A, B e C, tem-se: A (B C) = (A B) (A C). Exercício 1 (b) Mostre que A (B C) = (A B) (A C). Exercício 1 (c) Mostre que se A B, então, B (A C) = (B C) A, para qualquer conjunto C. 2. Demonstração por Contraposição e Contradição Vamos ilustrar estes tipos de demonstração provando que 2 é um número irracional. Para isso vamos provar primeiramente um resultado que será útil durante a demonstração principal. Em geral, quando provamos um resultado para usá-lo em outra demonstração, damos a ele o nome de Lema. Assim, resultado principal é Teorema, acessório, Lema. Existe também o termo Proposição, que é similar a Teorema. Assim o

4 que é Teorema ou Proposição em algum texto, pode ser Lema em outro, dependendo do objetivo a que se quer chegar. (a) Exemplo de Demonstração por contraposição Lema 1 Se a 2 é par, então a é par. Prova: Vamos utilizar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos provar que se a não é par, então a 2 não é par. Pela princípio da paridade, se um número inteiro não é par, então é ímpar. Logo, iremos provar que se a é ímpar, então a 2 é ímpar. Se a é ímpar, então pode ser escrito da forma a = 2p + 1 para algum p N. Logo, a 2 = (2p + 1) 2 = (2p + 1)(2p + 1) = 4p 2 + 4p + 1 = 2(2p 2 + 2p) + 1 = 2q + 1 com q = 2p 2 + 2p, que é um número ímpar, como queríamos demonstrar. (b) Exemplo de Demonstração por contradição Utilizando o Lema 1 provamos que 2 é irracional pelo o método da contradição. Prova: Suponha, por contradição, que 2 não é irracional, isto é, suponha que 2 é racional. Então, 2 = a/b, com a, b Q. Por definição 2 > 0 (veja exercício abaixo), logo podemos supor que a, b > 0. Além disso, podemos supor que mdc(a, b) = 1 (exercício). Logo, b 2 = a Elevando ambos os lados ao quadrado, 2b 2 = a 2

5 Portanto, a 2 é múltiplo de 2 (=par). Pelo Lema 1, temos que a é par e com isso podemos escrever a = 2k com k N. Substituindo na equação acima, teremos 2b 2 = (2k) 2 = 4k 2 Logo, b 2 = 2k 2. Assim, pelo Lema 1 novamente, b é múltiplo de 2. Mas se a e b são múltiplos de 2, então mdc(a, b) 1, o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo 2 é irracional. Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos utilizando a técnica da demonstração por contradição. Exercício 2 (a) Mostre que p, onde p é um número primo, também é irracional. Exercício 2 (b) Generalize o argumento acima para n p onde p é um número primo e n N. Exercício 2 (c) Agora mostre que n p m onde p é um número primo e m, n N, com mdc(m, n) = 1, também é irracional. Exercício 2 (d) Você sabe que existem infinitos números primos. Mas já parou para pensar sobre como demonstrar isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto P dos primos é finito: P = {p 1,..., p n }. Então, tome K = p 1 p 2... p n + 1 e chegue a uma contradição. Dica: Mostre que K não é divisível por nenhum p i. Observação: A generalização disso para qualquer progressão kn + p com mdc(k, p) = 1 é o chamado Teorema de Dirichlet, porém a demonstração é surpreendentemente difícil.

6 3. Indução Finita Imagine uma fileira com infinitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de tal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor também cai. O que acontece quando derrubamos o primeiro dominó? Esperamos que, com isso, mesmo que sejam infinitos, todos os dominós caiam. Assim é o princípio da indução finita, que é um método de demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para todos números naturais. Teorema 1 (Ou axioma?) Para cada n N, seja P (n) uma propriedade sobre n. Suponha que (a) P (1) é verdade. (b) Para todo k N, se P (k) é verdade, então P (k + 1) é verdade. Então, P (n) é verdade para todo n N. Exemplo 2 Vamos provar usando indução que: Seja p um primo e n um inteiro positivo. Então n p n é um múltiplo de p. Esse resultado é conhecido como Pequeno Teorema de Fermat. Prova: O caso n = 1 é óbvio. Então, assumamos que a afirmação vale para todo k n e vamos mosrar que isso implica a validade para o caso n + 1. Veja que (n + 1) p (n + 1) = n p + = n p n + n ( ) p [ n j ] + 1 n 1 i i=1 n i=1 ( ) p n j i

7 Como ( p i) n j é múltiplo de p quando 1 j p 1 e como pela nossa hipótese de indução n p n também é múltiplo de p, concluímos então que (n + 1) p (n + 1) é múltiplo de p, logo, o teorema é válido n N. Exercício 3 (a) Mostre, utilizando indução, que n = n(n+1) 2. Exercício 3 (b) Mostre, utilizando indução, que n 2 = n(n+1)(2n+1) 6. Exercício 3 (c) Mostre, utilizando indução, que n 3 = [ n(n+1) 2 ] 2. Exercício 3 (d) Quanto vale 1 k + 2 k + 3 k n k? É possível dar uma fórmula fechada para essa expressão para todo k N? 4. Mais Além Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéias intuitivas, matematicamente falando, de um certo período da história. Um exemplo é a descoberta de que existem números irracionais na Grécia antiga. Parece bobo nos dias de hoje, mas na época foi algo que deixou os matemáticos bastante assustados. Nas questões abaixo, pesquise na internet ou em livros os assuntos e tente escrever sobre eles com suas próprias palavras, com base na sua intuição sobre o que entendeu. Exercício 4 (a) Se um hotel possui infinitos quartos, mas todos estão cheios, é possível esse hotel receber mais hóspedes? Pesquise sobre o Hotel de Hilbert. O livro de Análise de C. Neri e M. Cabral (veja na internet) tem um texto legal sobre isso.

8 Exercício 4 (b) Todas as pessoas do mundo torcem para o mesmo time. Vamos demonstrar isso por indução. Podemos observar que num conjunto que contém uma única pessoa, todas torcem pro mesmo time. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior ou igual a n, então se houver n + 1 pessoas num conjunto, retiramos uma delas para obter um conjunto resultante com n pessoas, e pela hipótese de indução, todas as pessoas nesse conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retirada ao conjunto inicial, e retiramos outra diferente. Pela hipótese de indução, todas as n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as n + 1 pessoas torcem pro mesmo time. Então para qualquer n N, as n pessoas torcem para o mesmo time. E agora? Isso está errado? E se estiver, onde está o erro? As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato, onde tudo sempre funciona e faz perfeito sentido. Bom, você acaba de ver que elas estão completamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas que deixam o mundo matemático bastante intrigado.