Uma curiosa propriedade com inteiros positivos

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1 Uma curiosa propriedade com inteiros positivos Fernando Neres de Oliveira 21 de junho de 2015 Resumo Neste trabalho iremos provar uma curiosa propriedade para listas de inteiros positivos da forma 1, 2,..., n e também provaremos um teorema devido a Liouville que generaliza tal propriedade para outras listas de inteiros positivos. Palavras Chave: Inteiros positivos, Soma de cubos, Generalização de Liouville Introdução Pretendemos demonstrar a validade de uma curiosa propriedade para listas de inteiros positivos da forma 1, 2,..., n, a saber, n n 2, n N. Para essa demonstração, faremos uso do princípio da indução. Uma natural pergunta que nos vem à cabeça, é a seguinte: Há listas de inteiros positivos diferentes do modelo 1, 2,..., n e que satisfazem também a mesma curiosa propriedade? Bem, o teorema do matemático francês Joseph Liouville que generaliza essa propriedade, mostrará que a resposta à essa pergunta é afirmativa. Para a prova desse teorema, além do princípio da indução, usaremos a validade da propriedade para listas do tipo 1, 2,..., n e, alguns resultados sobre MDC e fatoração prima. 1 A curiosa propriedade Vejamos inicialmente que a propriedade mencionada acima é verdadeira para n 2, n 3, n 4, n 5 e n E ela continuará verdadeira se considerarmos qualquer lista de inteiros positivos da forma 1, 2,..., n onde n N. Essa afirmação é provada na fernandoneres@ufersa.edu.br. Universidade Federal Rural do Caraúbas, RN Semi-Árido, UFERSA. 1

2 Proposição n n 2, n N. Prova: Usaremos o princípio da indução sobre n. Para n 1 a propriedade se escreve da seguinte forma , o que é uma verdade. Suponha agora que a propriedade é verdadeira para um inteiro positivo n k, isto é, k k 2. Para n k + 1, o primeiro membro da propriedade se escreve da seguinte forma k 3 + k + 1 3, 1 enquanto que o segundo membro é escrito na forma k + k Mostraremos que os inteiros dados pelas expressões 1 e 2 são iguais. Vejamos, k + k k k k k k 2 kk k k k 2 + kk k k 2 + k k k 2 + k Usando agora a nossa hipótese de indução, obtemos que k+k k 2 +k k 3 +k+1 3, o que garante a validade da propriedade para n k+1. Portanto, segue do princípio da indução que n n 2, n N. 2 O teorema de Liouville Na sequência apresentaremos um resultado estabelecido pelo matemático Liouville, que generaliza a Proposição 1 para outras listas de inteiros positivos. Com o objetivo de compreendermos o enunciado do teorema e de nos convencermos da sua veracidade em casos particulares, vejamos os seguintes exemplos: Exemplo 1 Seja N 6. Os divisores positivos de N são d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 6. Seja c j o número de divisores positivos de d j. Logo, c 1 1, c 2 2, c 3 2, c 4 4. Daí, temos que c c c c c 1 + c 2 + c 3 + c

3 Exemplo 2 Seja N 36. Os divisores positivos de N são d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 4, d 5 6, d 6 9, d 7 12, d 8 18, d Seja c j o número de divisores positivos de d j. Logo, c 1 1, c 2 2, c 3 2, c 4 3, c 5 4, c 6 3, c 7 6, c 8 6, c 9 9. Daí, temos que c c c c c c c c c c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 + c 7 + c 8 +c 9 2. Exemplo 3 Seja N 54. Os divisores positivos de N são d 1 1, d 2 2, d 3 3, d 4 6, d 5 9, d 6 18, d 7 27, d Seja c j o número de divisores positivos de d j. Logo, c 1 1, c 2 2, c 3 2, c 4 4, c 5 3, c 6 6, c 7 4, c 8 8. Daí, temos que c c c c c c c c c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 + c 7 + c 8 2. Definição 1 τn é o número de divisores positivos do inteiro positivo N. A propriedade comum aos números 6, 36 e 54, vista nos exemplos acima, é generalizada no Teorema 1 Liouville Seja N um inteiro positivo qualquer e d 1, d 2,..., d τn a lista de todos os divisores positivos de Nincluindo 1 e N. Seja c j o número de divisores positivos de d j. Então, a lista c 1, c 2,..., c τn satisfaz a seguinte propriedade c c c 3 τn c 1 + c c τn 2. Prova: Para N 1 o teorema é obviamente verdadeiro. Resta então prová-lo para inteiros N > 1. Mostraremos inicialmente que o resultado é verdadeiro para potências de primos. Seja então, N p n onde p é primo e n 1. Os divisores positivos de N são d 1 1, d 2 p, d 3 p 2,..., d τn p n. 3

4 Logo, c 1 1, c 2 2, c 3 3,..., c τn n + 1. Daí, segue que c c c 3 τn n Prop 1 [ n + 1] 2 c1 + c 2 + c c τn 2, o que mostra a validade do resultado para potências de primos. mostraremos que: No que segue, Se o resultado é válido para um inteiro positivo K então ele também é 3 válido para inteiros Kp n, onde, p é um primo tal que mdck, p 1. Obviamente, que o resultado vale para K 1 e também será válido para Kp n, pois nesse caso, Kp n p n é potência de primo. Suponha agora que o resultado é válido para um inteiro K > 1, isto é, a a a 3 τk a 1 + a a τk 2, 4 onde, 1 b 1, b 2,..., b τk K é a lista de todos os divisores positivos de K e a j é o número de divisores positivos de b j, j 1, 2,..., τk. É fácil ver que, qualquer divisor positivo de K multiplicado por qualquer divisor positivo de p n, é um divisor positivo de Kp n. A lista completa desses produtos, é a seguinte: b 1, b 2,..., b τk ; b 1 p, b 2 p,..., b τk p;... ; b 1 p n, b 2 p n,..., b τk p n. 5 Reciprocamente, todo divisor positivo de Kp n é um dos inteiros dados em 5. Com efeito, seja D um divisor positivo de Kp n. Se D é o menor deles então D b 1 1. Assuma que D > 1, então segue da fatoração única em primos de D, que: D dp m, onde mdcd, p 1 e d, m são inteiros tais que d > 1 e m 0. Segue então daí que m n, caso contrário 1, teremos que p K CONTRADIÇÃO, pois mdck, p 1. Para m n temos Kp n q D q dp n q Z, isto é, K q d q Z. Ou seja, d K. E para m < n temos que n m+s com s 1 e Kp n q D q dp m q Z. Daí, seguem as implicações, q dp m Kp n Kp m+s Kp m p s q d Kp s s 1 d Kp s s 1 d K, onde a última implicação deve-se ao fato de que mdc 2 d, p s 1. Podemos então concluir que D { b 1, b 2,..., b τk, b 1 p, b 2 p,..., b τk p,..., b 1 p n, b 2 p n,..., b τk p n}. 1 Se m > n então m n + r com r 1. Como D divide Kp n então existe q Z tal que Kp n q D. Logo, Kp n q D q dp m q dp n+r q dp n p r, isto é, K qd p r r 1. Portanto, p K. 2 Suponha que mdcd, p s 1. Nesse caso, mdcd, p s p e onde 1 e s. Daí, teremos que, p p e e p e d, ou seja, p d. Portanto, mdcd, p p 1. CONTRADIÇÃO 4

5 Portanto, em 5 temos a lista completa de todos os divisores positivos de Kp n. Por outro lado, temos também que mdcb j, p 1 para cada j 1, 2,..., τk, caso contrário, teríamos que p K CONTRADIÇÃO. Logo, nenhum b j contém o fator primo p. Daí, segue então que, quaisquer dois b j p i i 1, 2,..., n são distintos, e além disso, o número de divisores positivos dos inteiros listados em 5, são: a 1, a 2,..., a τk ; 2a 1, 2a 2,..., 2a τk ;... ; n + 1a 1, n + 1a 2,..., n + 1a τk. 6 Seja S a soma de todos os números listados em 6, isto é, Daí, teremos que, S a 1 + a a τk + 2a 1 + 2a a τk + + n + 1a 1 + n + 1a n + 1a τk a 1 + a a τk + 2 a1 + a a τk + + n + 1 a 1 + a a τk a 1 + a a τk [ n + 1]. S 2 4 e Prop 1 2 a1 + a a τk [ n + 1] 2 [1 a a a 3 τk n + 1 3] a a a 3 τk a a a 3 τk + [ ] + n a n a n a 3 τk a a a 3 τk + 2a a a τk [n + 1a 1 ] 3 + [n + 1a 2 ] [ n + 1a τk ] 3, o que mostra a validade do resultado para Kp n. Podemos agora mostrar que o resultado é válido para qualquer inteiro N > 1, nesse caso, o Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que N tem uma fatoração única em primos, a saber, N p e 1 1 pe 2 2 pe pe k k, onde, e i 1 é inteiro, p i é primo e p i p j sempre que i j. Já vimos que o resultado é válido para potências de primos, então, para N 1 p e 1 1 ele será verdadeiro. Suponha que para algum 1 i k 1, o resultado seja verdadeiro para N i p e 1 1 pe 2 2 pe pe i i. Como mdc3 N i, p i+1 1 então segue de 3 que o resultado é válido para N i+1 N i p e i+1 i+1 pe 1 1 pe 2 2 pe pe i i p e i+1 i+1. Daí, o princípio da indução nos garante que para cada i {1, 2, 3,..., k}, o resultado será válido para N i, em particular, será válido para N k N. 3 Suponha que mdcn i, p i+1 p i+1. Então, teríamos que p i+1 N i e p i+1 é primo, logo, p i+1 p j para algum 1 j i. Mas, como p j é primo, então teríamos que p i+1 p j, isto é, i + 1 j i absurdo! 5

6 3 Conclusão Pelo o que foi apresentado acima, concluímos então que é possível obter infinitas listas de inteiros positivos, tais que, a soma de seus cubos é igual ao quadrado de sua soma. 7 Vimos na Proposição 1 que toda lista do tipo 1, 2,..., n satisfaz a propriedade 7. Um outro modelo, explicitado por Liouville, que nos permite obter tais listas é apresentado no Teorema 1, o qual garante que toda lista do tipo c 1, c 2,..., c τn onde, c j é o número de divisores positivos do divisor positivo d j de N também satisfaz a propriedade 7. Referências [1] Ross Honsberger. Ingenuity in Mathematics. Mathematical Association of America, Washington,