Matemática Discreta. Prof. Nilson Costa 2014

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1 1 Matemática Discreta Prof. Nilson Costa 2014

2 Definições Importantes 2 Proposição: É qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Exemplos: A: Todo número maior e que 2 é impar. (V) B: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180.(V) C: Todo número impar é primo. (F) Teorema: É uma proposição verdadeira do tipo P=>Q, onde P e Q são proposições.

3 Definições Importantes P é a Hipótese do teorema. (Conjectura, Suposição, Presunção, Prognostico, etc.) É um condição suficiente de Q Q é a Tese do teorema. Exemplos: (1) D: n é um número primo maior do que 2. E: n é um número ímpar. (2) Se duas frações a/b e c/d são iguais então a b = c d = a + c b + d ou a b = c d a b = c d 3 = a + c b + d

4 Definições Importantes 4 Lema: É um teorema preparatório para a demonstração de outro teorema. Colorário: É um teorema que segue como consequência natural de outro teorema. Atenção: Num teorema P=>Q (Vale Q se vale P) e (Vale P somente se valer Q) P(Hipótese) é uma condição suficiente de Q( Tese) e Q(Tese) é uma condição necessária de P(Hipótese)

5 Definições Importantes 5 Recíproca de um teorema P=>Q : É proposição Q=>P ou P<=Q que pode ser verdadeira ou não. Ex: Todo número primo maior que 2 é ímpar. Recíproca Ex: Se ABC é um triângulo retângulo em B, então AC 2 =AB 2 +BC 2 Recíproca

6 Definições Importantes 6 Atenção: P Q(P se e somente se Q)(Proposições equivalentes) A condição necessária e suficiente para que a proposição P seja verdadeira é que a proposição Q também seja verdadeira. Ex: Existe várias maneiras de de se juntar o teorema anterior e sua recíproca. 1- A condição necessária e suficiente para que um triângulo ABC seja retângulo em B é que AC 2 =AB 2 +BC 2

7 Definições Importantes 7 2- Dados três pontos distintos A,B e C, a condição necessária e suficiente para que AC 2 =AB 2 +BC 2 é que o triângulo ABC seja triângulo em B. 3- Seja ABC um triângulo. Então, ABC é um triângulo em B AC 2 =AB 2 +BC Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC 2 =AB 2 +BC 2. Exercícios Propostos 1-Escreva a recíproca para cada sentença: a. O crescimento sadio das plantas é consequência da quantidade suficiente de água.

8 Recíproca: Exercícios Propostos b. O crescimento da oferta de computadores é uma condição necessária para o desenvolvimento científico. Recíproca: c. Haverá novos erros apenas se o programa for alterado. Recíproca:

9 Exercícios Propostos d. A economia de combustível implica um bom isolamento, ou todas as janelas são janelas para tempestades. Recíproca: e. Se a chuva continuar, o rio vai transbordar. Rec:

10 Exercícios Propostos f. Uma condição suficiente para a falha de uma rede é que a chave geral pare de funcionar. Rec: g. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios. Rec: h. Uma boa dieta é uma condição necessária para um gato saudável. Rec:

11 Definições Importantes Princípios Lógicos Principio da não contradição Afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Em outras palavras denotando a negativa de uma proposição por Ã, se A for verdadeira, então à é falsa Principio do Terceiro Excluído Afirma que qualquer proposição A ou é verdadeira ou é falsa. Em outras palavras, ou A é verdadeira, ou à é verdadeira, não existindo uma terceira alternativa. 11

12 Técnicas de Demonstração Tipos de Raciocínios Indutivo: Parte do particular para o geral (Construindo uma conclusão baseada em experiência). 12 Ex: Examinando sete ou oito inteiros divisíveis por 6, e constado que estes inteiros também são divisíveis por 3. Podemos conjecturar: Se P, então Q (se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3). Ex: Sistemas baseados em agentes(abordagem de aprendizado)

13 Técnicas de Demonstração Ex: O ferro conduz eletricidade O ferro é metal O ouro conduz eletricidade O ouro é metal O cobre conduz eletricidade O cobre é metal Logo os metais conduzem eletricidade. 13

14 Técnicas de Demonstração Dedutivo: Parte do geral para o particular (Você tenta verificar se sua conjectura é verdadeira ou falsa). 14 Usado na lógica predicativa para provar que uma wff é um teorema, ou encontramos uma interpretação na qual a wff é falsa. ex: Sistemas especialistas(abordagem declarativa) Duas abordagens Demonstrar a conjectura Negar a conjectura

15 Técnicas de Demonstração Demonstração por contra exemplo (Negar a conjectura) Exemplo 0: Examinando sete ou oito inteiros divisíveis por 6, foi constado que estes inteiros também são divisíveis por 3. Para encontrar um contra exemplo basta simplesmente encontrando um inteiro divisível por 6 mas não por 3. Exemplo 1: Considere a sentença "Todo inteiro menor que 10 é maior que 5" ou, expresso em uma implicação "Se um inteiro é menor que 10, então ele é maior que 5". 15

16 Técnicas de Demonstração Um contra exemplo para esta implicação é o inteiro PRÁTICA 1: Forneça contra exemplos para as seguintes sentenças: a. Todos os animais que vivem nos oceanos são peixes. b. As entradas para um programa de computador são sempre fornecidas através do teclado.

17 Exercícios Propostos 2- Encontre contra exemplos para cada uma das seguintes afirmações: a. Toda figura geométrica plana com quatro ângulos retos é um quadrado. Sol: b. Se um número real não é positivo, então ele deve ser negativo. Sol: c. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes ou são altas. Sol:

18 Exercícios Propostos d. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes e são altas. Sol:

19 Técnicas de Demonstração Demonstração Direta: No caso geral, como podemos demonstrar que P=>Q é verdadeira? 19 Assume-se a hipótese P como verdadeira e deduz-se a tese Q. Exemplo 2: "Se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3." O teorema faz uma afirmação sobre um inteiro arbitrário, sua forma é: ( x) ( x divisível por 6 x divisível por 3)

20 Técnicas de Demonstração Hipótese: x é divisível por 6 (verdadeiro) Conclusão: x é divisível por 3 (definição de divisibilidade) (verdadeiro) PRÁTICA 2: Demonstre de forma direta o Teorema "Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes o inteiro é divisível por 4".

21 Solução: Técnicas de Demonstração

22 Técnicas de Demonstração Exemplo 3: demonstre de forma direta de que o produto de dois números pares é par. Solução:

23 Técnicas de Demonstração Demonstração por Contraposição É uma variante da técnica de prova direta. Se você pode demonstrar o teorema P Q,pode concluir que P Q pelo uso da tautologia (Q P ) (P Q). (Q P ) é a contrapositividade de P Q. A técnica para demonstrar que P Q construindo uma prova direta de Q P é chamada de demonstração por contraposição.

24 Técnicas de Demonstração Exemplo 4: Qual a contrapositiva do teorema Se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3" Sol:

25 Técnicas de Demonstração PRÁTICA 3- Escreva a contraposição para cada sentença: a. Se a chuva continuar, o rio vai transbordar. Sol: b. Uma condição suficiente para a falha de uma rede é que a chave geral pare de funcionar. Sol:

26 Técnicas de Demonstração c. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios. Sol: d. Uma boa dieta é uma condição necessária para um gato saudável. Sol:

27 Exercícios Propostos 27 1-Escreva a contrapositiva para cada sentença: a. O crescimento sadio das plantas é consequência da quantidade suficiente de água. Contrapositiva: b. O crescimento da oferta de computadores é uma condição necessária para o desenvolvimento científico. Contrapositiva:

28 Exercícios Propostos 28 c. Haverá novos erros apenas se o programa for alterado. Contrapositiva: d. A economia de combustível implica um bom isolamento, ou todas as janelas são janelas para tempestades. Contrapositiva:

29 Técnicas de Demonstração 30 Exemplo 6 - A implicação "Se a > 5 então a > 2" é verdadeira, no entanto a sua recíproca "Se a > 2 então a > 5" é falsa. Atenção: Lembre-se de que qualquer teorema do tipo "se e somente se" requer uma demonstração em ambas as direções.

30 Técnicas de Demonstração Exemplo 7- Demonstre que o produto xy é ímpar se, e somente se, x e y são inteiros ímpares. Solução:

31 Técnicas de Demonstração

32 Técnicas de Demonstração Parte da demonstração do Exemplo 7 utiliza a técnica conhecida como demonstração por exaustão( ou por casos) que algumas vezes é muito útil.

33 Técnicas de Demonstração Demonstração por contradição ou absurdo Suponhamos que estamos tentando demonstrar que P Q. Por construção da tabela-verdade, veremos que (P ᴧ Q 0) (P Q)é uma tautologia, então para demonstrar que o teorema P Q é suficiente demonstrar que P ᴧ Q 0

34 Técnicas de Demonstração Exemplo 8- Use a prova por contradição para a sentença "Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então o número é 0 (zero)". Solução:

35 Técnicas de Demonstração Exemplo 9- Mostra que 2 não é um número racional. Lembrando que um número racional é um número que pode ser escrito na forma p/q onde p e q são inteiros, q 0 e p e q não têm fatores comuns (além de ±1).

36 Sol: Técnicas de Demonstração

37 Técnicas de Demonstração Pratica 5- Prove por contradição que o produto de dois inteiros pares é par. Sol:

38 Técnicas de Demonstração Técnica de Demonstração Abordagem para provar P Q Observações Demonstração por Exaustão Demonstre P Q para todos os casos possíveis Pode ser usada apenas para provar um número finito de casos Demonstração Direta Suponha P, deduza Q Abordagem padrão o que se deve tentar, em geral. Demonstração por Contraposição Demonstração por absurdo Suponha Q, deduza P Use essa técnica se Q parece dar mais munição do que P. Suponha PᴧQ, deduza uma contradição. Use essa técnica quando Q disser que alguma coisa não é verdade

39 Exercícios Propostos 39 As definições a seguir podem ser úteis na resolução de alguns dos exercícios. Um quadrado perfeito é um inteiro n tal que n = k 2 para algum inteiro k. Um número primo é um inteiro n > 1 tal que n não é divisível por nenhum inteiro além de 1 e n. Para dois números x e y, x < y significa y - x > Prove que se n = 25, 100 ou 169 então n é um quadrado perfeito e é a soma de dois quadrados perfeitos.

40 Exercícios Propostos 40 Solução: 6- Prove que se n é um inteiro par, 4 n 12, então n é a soma de dois números primos. Solução:

41 Exercícios Propostos 4. Dê contra exemplos para as proposições a seguir: a. O número n é um inteiro se, e somente se, 3n+5 é um inteiro par. Solução: 41

42 Exercícios Propostos Prove que o número n é um número impar se, e somente se, 3n+5=6k+8 para algum inteiro k. Solução:

43 Exercícios Propostos 43 b. O número n é um inteiro par se, e somente se, 3n+2 é inteiro par. Solução:

44 Exercícios Propostos Prove que o número n é um número par se, e somente se, 3n+2=6k+2 para algum inteiro k. Solução:

45 Exercícios Propostos Prove que para qualquer inteiro positivo n 3, n! < 2 n. Solução: 08. Prove que para 2 n 4, 2 n n 2. Solução:

46 Exercícios Propostos Forneça uma demonstração direta de que a soma de inteiros pares é par. Sol: 10. Forneça uma demonstração por absurdo de que a soma de inteiros pares é par. Sol:

47 Exercícios Propostos Prove que a soma de dois inteiros ímpares é par. Solução:

48 Exercícios Propostos Prove que a soma de um inteiro par e um inteiro ímpar é ímpar. Solução: 15. Prove que o quadrado de um número par é divisível por 4. Solução:

49 Exercícios Propostos Sejam x e y números positivos, prove que x < y se, e somente se, x 2 < y 2. Solução :

50 Exercícios Propostos Prove que se dois inteiros são ambos divisíveis por um inteiro n, então a sua soma é divisível por n. Solução:

51 Exercícios Propostos Prove que o quadrado de um inteiro ímpar pode ser escrito como 8k + 1 para algum inteiro k. Solução: 29- Prove que o produto dos quadrados de dois inteiros é um quadrado perfeito. Solução:

52 Limites 52 AGORA É A SUA VEZ BONS ESTUDOS

53 BÁSICA Referências Bibliográficas 1. GERSTING, J. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: LTC, LOPES, L. Manual de Indução Matemática. Rio de Janeiro: Interciência, MOLLUZZO, J. C. A First Course in Discrete Mathematics. Springer- Verlag Ny, COMPLEMENTAR SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: Uma introdução. 2ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, YAGLON, I. M. Álgebra Booleana. São Paulo: Atual, DE APOIO RECOMENDADA 1. Utilizar os slides enviados se possível na forma impressa em sala de