ESCOLA ONLINE DE CIÊNCIAS FORMAIS CURSO DE INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (2) METALÓGICA DO CÁLCULO PROPOSICIONAL

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1 AULA 08 ARGUMENTAÇÃO E REDUÇÃO AO ABSURDO Argumentos DEINIÇÃO 1: Uma forma argumentativa da lógica proposicional (ou simplesmente argumento) é uma sequência finita de fórmulas da lógica proposicional. Nesse caso, a última dessas fórmulas é chamada de conclusão e as restantes são chamadas de premissas. Exemplo: p, (p q); q. As fórmulas p e (p q) são premissas, enquanto que a última fórmula q é a conclusão. O que nós gostaríamos é que, quando atribuíssemos valores verdade às variáveis proposicionais envolvidas, sempre que as premissas assumissem o valor, a conclusão também assumisse o valor. alidade de argumentos DEINIÇÃO 2: Sejam A 1, A 2,, A n e A fórmulas da lógica proposicional. Dizemos que um argumento A 1, A 2,, A n A é inválido se é possível atribuirmos valores verdade às variáveis proposicionais envolvidas de tal maneira que cada uma das premissas assuma o valor e a conclusão assuma o valor. Caso contrário, dizemos que o argumento é válido. Exemplo 1: amos investigar a validade do seguinte argumento: (p q), ( q r), r; p açamos uma tabela verdade na qual ocorram todas as fórmulas envolvidas:

2 Premissas Conclusão p q (p q) ( q r) r p Atribuímos valores verdade às variáveis envolvidas: p, q e r: p q (p q) ( q r) r p Calculamos o valor lógico das premissas (destacado em laranja): p q q (p q) ( q r) r p Destacamos as linhas (atribuições de valores) nas quais todas as premissas (no nosso caso são três: (p q), ( q r) e r) assumem o valor lógico (destacadas em amarelo):

3 p q q (p q) ( q r) r p Para que o argumento fosse válido, para todas as atribuições destacadas, a conclusão também deveria assumir o valor lógico. No entanto, como se observa na segunda e terceira linhas destacadas em amarelo, p q q (p q) ( q r) r p existem atribuições de valores para as quais as premissas assumem o valor enquanto que a conclusão assume o valor. portanto, esse argumento é inválido. Exemplo 2: Analisemos outro argumento: p, p q, q. Atribuímos valores verdade às variáveis envolvidas:

4 Calculamos o valor lógico das premissas: Destacamos as linhas nas quais todas as premissas assumem o valor lógico. Nesse caso, isso ocorre apenas na primeira linha: Portanto, para essa única atribuição de valores na qual as premissas assumem o valor, a conclusão também assume o valor : Portanto, esse argumento é válido.

5 Argumento válido e implicação lógica RESULTADO 1: O argumento A 1, A 2,, A n ; A é válido se, e somente se, a fórmula ((A 1 & A 2 & & A n ) A) é uma tautologia. Demonstração (IDA): Suponha que o argumento A 1, A 2,, A n ; A é válido. Se a fórmula ((A 1 & A 2 & & A n ) A) não fosse uma tautologia, então existiria uma atribuição de valores tal que ((A 1 & A 2 & & A n )) assumiria o valor (isso implicaria que cada A i, por sua vez, assumiria o valor ) e A assumiria o valor. Mas isto contradiz a validade do argumento A 1, A 2,, A n ; A. Portanto, ((A 1 & A 2 & & A n ) A) deve ser uma tautologia. (OLTA): Suponha que á fórmula ((A 1 & A 2 & & A n ) A) é uma tautologia. Se o argumento A 1, A 2,, A n ; A não fosse válido, existiria uma atribuição de valores de tal modo que que cada A i assumiria o valor e A assumiria o valor. Mas, desta forma, esta atribuição torna a fórmula ((A 1 & A 2 & & A n ) A) falsa, o que contradiz o fato de ela ser uma tautologia. Portanto, o argumento A 1, A 2,, A n ; A deve ser válido. Redução ao Absurdo Uma prova por redução ao absurdo de uma proposição T consiste em deduzir uma contradição A a partir de premissas (supostamente verdadeiras) A 1, A 2,, A n e da negação da sentença T que desejamos provar: A 1, A 2,, A n, T; A, em que A é uma contradição. Se nosso argumento A 1, A 2,, A n, T; A é uma instância de um argumento válido, então, pelo resultado anterior, a fórmula ((A 1 & A 2 & & A n & T) A) é uma tautologia.

6 Agora, se a sua conclusão é falsa, então, para que mantenhamos o fato de que a fórmula considerada é uma tautologia, necessariamente uma das premissas deve ser falsa (recorde-se da tabela verdade da condicional). Uma vez que assumimos que A 1, A 2,, A n são verdadeiras, só podemos concluir então que ( T) é falsa, o que é equivalente a dizer que ( ( T)) é verdadeira. Como na lógica clássica ( T) é equivalente a T, concluímos finalmente a veracidade da proposição T. EXERCÍCIO Certa vez um professor de Cálculo disse em uma de suas aulas: Se uma função não é continua (em um ponto c) então ela não é diferenciável (em um ponto c). Realizando um exercício de Cálculo, você encontrou uma função g que é diferenciável em um ponto d. ocê concluiu então que essa função é continua nesse ponto. Essa é uma conclusão válida? amos resumir a argumentação: Não ser continua não ser diferenciável. g é diferenciável; portanto, g é contínua. Em lógica proposicional podemos escrever o seguinte argumento ( c d), d, c. Teste sua validade.