Afirmações Matemáticas

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1 Afirmações Matemáticas Na aula passada, vimos que o objetivo desta disciplina é estudar estruturas matemáticas, afirmações sobre elas e como provar essas afirmações. Já falamos das estruturas principais, agora vamos tratar especificamente das afirmações. As afirmações matemáticas são feitas, muitas vezes, com uma mistura da língua natural (como inglês ou português) com símbolos matemáticos. Porém, a linguagem natural é ambígua, o que é inadequado para a Matemática. Por isso, a Matemática, na verdade, dá uma interpretação rigorosa e não-ambígua às afirmações. Por exemplo, considere a afirmação matemática: Para todos inteiros a e b, se a é par e b é par, então a+b é par. O significado matemático desta afirmação (que não é exatamente o mesmo que usamos no dia-a-dia) tem algumas peculiaridades: Se soubermos de dois números inteiros a e b que são pares, independentemente de seus valores, essa afirmação nos permite concluir que a+b é par. Porém, se soubermos apenas que um deles (a ou b) é par e não soubermos nada sobre o outro, a afirmação dada não nos permite concluir nada sobre a+b. Se soubermos apenas que a+b é par, ela também não permite concluir nada sobre a nem sobre b. Outro detalhe é que, diferente de outras ciências, a Matemática visa descrever apenas as afirmações que são absolutamente verdadeiras. Para isso, as afirmações precisam ser provadas (ou demonstradas) por um raciocínio lógico. Alguns detalhes sobre as provas (demonstrações): Elas partem de verdades simples, que não precisam ser provadas, que são as definições e os axiomas. A partir disso, usando um raciocínio lógico válido, são descobertas novas afirmações, que chamaremos de teoremas (ou lemas ou corolários, que são casos especiais). 1

2 Para entender o significado preciso das afirmações matemáticas e, também, para conhecer o raciocínio que precisa ser obedecido em uma demonstração matemática, vamos estudar, a seguir, noções de Lógica. Lógica Proposicional Parte 1 É um tipo de lógica formal que estuda proposições. Uma proposição é uma afirmação de sentido completo (que não depende de informações externas) que pode ser verdadeira ou falsa. São exemplos de proposições: Brasília é a capital do Brasil = 5 O número 4 é divisível por 2 Não são exemplos de proposições: Que horas são? (não é uma afirmação) Leia isto cuidadosamente! (não é uma afirmação) x é par (não é específica suficiente, pois não está claro qual o valor de x) Na lógica proposicional, representamos as proposições com as chamadas variáveis proposicionais. Geralmente, elas são representadas com letras minúsculas (a, b, c, d,..., z). Exemplos: Vamos assumir que p representa Brasília é a capital do Brasil Vamos assumir que q representa = 5 Cada proposição tem um valor-verdade (ou valor lógico): Se ela for verdadeira, o valor-verdade é representado como 1 ou V ou T (true). Se ela for falsa, o valor-verdade é representado 0 ou F ou (um T invertido). Nesta disciplina, vamos representar os valores-verdade como 0 e 1. Exemplos: 2

3 A proposição p dada acima tem valor 1 A proposição q dada acima tem valor 0 1. Conectivos ou Operadores Lógicos Conectivos lógicos ou operadores lógicos são usados para combinar proposições mais simples em proposições compostas. Abaixo listamos os conectivos mais importantes. A definição de cada um deles será dada usando o que chamamos de tabela-verdade. Negação de p : representada como p ou p ou, ainda, ~p o Esta proposição afirma o contrário do que p afirma. Podemos lê-la como não p ou não é verdade p. p p Conjunção de p e q : representada como p q o Esta proposição composta afirma que tanto p quanto q são verdades. É comum essa proposição ser lida como p e q. p q p q

4 Disjunção de p e q : representada como p q o Esta proposição composta afirma que é verdade pelo menos uma das duas proposições (também podem ser verdades as duas juntas). É comum lermos essa proposição como p ou q. p q p q o Observação: Existe outra operação parecida, mas que não permite que ambas as proposições sejam verdadeiras. É a chamada disjunção exclusiva ( ou exclusivo ), representada com p q. Porém, não veremos este operador em detalhes. Implicação de p em q : representada como p q ou como p q o Essa proposição composta afirma que, se p for verdade, então q também é verdade. Porém, se p não for verdade, ela não afirma nada. o Essa proposição pode ser escrita textualmente em textos matemáticos como p implica q ou se p, então q, além de várias outras maneiras. p q p q

5 o Na tabela-verdade acima, os dois primeiros casos são intuitivos se pensarmos em p q como a frase se p, então q. o Para entender os dois últimos casos, lembre que, quando p é falsa, a proposição p q não afirma nada. Se ela não afirma nada, não podemos dizer que ela é falsa. Por isso, dizemos que p q é verdadeira sempre que p for falsa. o Observação: Esse operador é muito importante porque muitos teoremas matemáticos são implicações. Exemplo: Se a é par, então a 2 é par. Bi-implicação de p em q : representada como p q ou como p q o Essa proposição afirma que p e q têm os mesmos valores-verdade. Ela pode aparecer em textos matemáticos como um p se e somente se q ou p sse q (abreviação do anterior) ou p equivale a q, além de outras maneiras. p q p q o Esse operador tem esse nome porque ele equivale à conjunção de duas implicações: p q e q p. o Observação 1: Alguns teoremas são bi-implicações. Exemplo: x é par sse x+1 é ímpar. 5

6 o Observação 2: Todas as definições matemáticas são bi-implicações. Exemplo (definição de par): n é par sse n=2k para algum k inteiro. 2. Operadores Lógicos como Funções (Extra) Chamamos de função booleana uma função que recebe uma tupla de valores-verdade do conjunto {0, 1} e retorna um valor-verdade. Cada uma das operações mostradas na seção anterior pode ser vista como uma função booleana. Dependendo do operador, a entrada pode ser vista como um valor-verdade (que é o caso da negação) ou como um par (2-tupla) de valores-verdade (como é o caso dos outros operadores). A saída é simplesmente o valor-verdade da operação. Veja que, cada tabela-verdade que demos simplesmente mostra, para cada entrada, qual a saída associada. Outras funções booleanas mais complexas podem ser construídas com os operadores lógicos vistos. Elas também podem receber uma tupla de qualquer tamanho n (mas retornam um só valor-verdade). Para isso, basta criarmos uma fórmula proposicional com n variáveis diferentes. Veremos, a seguir, como obter a tabela-verdade dessa fórmula (ou dessa função) neste caso. 3. Tabelas-Verdade para Proposições Com Vários Operadores Podemos usar tabelas-verdades para analisar proposições compostas formada de vários operadores. A tabela terá, pelo menos, as seguintes colunas: Uma para cada variável proposicional (representam a tupla de entrada) A coluna da proposição composta desejada (saída) Porém, é recomendável que você crie colunas intermediárias para calcular o valor de uma operação lógica de cada vez. Ressaltamos que essas colunas não são obrigatórias. 6

7 Já a quantidade de linhas dependerá da quantidade de variáveis proposicionais se houver n variáveis, serão necessárias 2 n linhas para lidar com todas as possíveis combinações de valores-verdade. Exemplo: Tabela-verdade da proposição (h ( n)) a h n a n h ( n) (h ( n)) a No exemplo acima, as colunas h, n e a são as variáveis. Juntas, elas representam as triplas (h,n,a) que servem de entrada da função. As colunas n e h ( n) são meramente auxiliares. A última coluna é exatamente a proposição que queríamos. Vendo essa proposição como uma função, esta coluna representa a saída da função. Podemos dizer que essa tabela representa a função: f (h,n,a) = (h ( n)) a. A vida estava nele e a vida era a luz dos homens. E aquele que é a Palavra se fez carne e habitou entre nós, cheio de graça e de verdade" (João cap. 1, versos 4 e 14) 7