Seminário Semanal de Álgebra. Técnicas de Demonstração

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS CÂMPUS CATALÃO Seminário Semanal de Álgebra Técnicas de Demonstração Catalão, 26/11/2013.

2 Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Seminário Semanal de Álgebra Orientador: Igor dos Santos Lima Aluno: Yuri Alves de Oliveira Curso: Física Licenciatura Ordem: 1) Técnicas de demonstração; 2) Axiomas de Peano; 3) O Axioma de indução; 4) Princípio da boa ordenação; 5) Torre de Hanói. 1. Técnicas de demonstração Técnicas de demonstração Técnicas utilizadas para demonstrar teoremas. Teorema: proposição verdadeira cuja veracidade depende de uma demonstração. 3 tipos principais de técnicas de demonstração: Direta, Indireta e por Absurdo. Estrutura: Se Hipótese então tese. a) Direta: Def: A demonstração direta de uma sentença antecedente é verdade e deduza a conclusão. funciona da seguinte forma: assuma que o Exemplo 1 Se é um número inteiro par, então também o é. Por hipótese: Sendo, então é par. b) Indireta:

3 Def: A sentença condicional pode ser provada mostrando-se que a sua contrapositiva é verdadeira. ( ) Exemplo 1 Se é um número inteiro par, então também o é. Inviável a demonstração direta, pois Assumindo então a contrapositiva: Se é um número inteiro ímpar, então é ímpar. Por hipótese: Sendo então é ímpar. c) Demonstração por Absurdo: Def: Para demonstrar, assumimos que é verdade e mostramos que isso leva a uma contradição. Como é verdadeira, concluímos que é falsa e, portanto que é verdadeira. Exemplo 1: proposição existe um programa de computador que sempre ganha no xadrez Exemplo 2: Se um número somado a ele mesmo é ele mesmo, então esse número é 0. Por absurdo assumimos: Sendo x um número qualquer. Como

4 Isto é um absurdo. E, portanto, x somente pode ser Os axiomas de Peano O conjunto possui 4 propriedades fundamentais, das quais resultam como consequências lógicas todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números: A. Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural. B. A função s: é injetiva. C. Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. Este número é representado pelo símbolo 1 e chamado de "número um". D. Se um subconjunto é tal que e se, então. 3. O Axioma de indução. Princípio da Indução: Seja P(n) uma propriedade referente aos números naturais. Se P(1) é verdadeiro e se, além disso, para quaisquer, verdadeiro implica que seu sucessor também é verdadeiro, então é verdade para todo. Soma de Gauss: Propriedade P(n) P(1) é verdade Se P(n) verdade => P(n+1) é verdade P(n) é verdade para todo Seja k=n+1 P(k) é verdade, pois sabemos que para n+1 (=k) é verdade P(k+1) é verdade; e assim por diante

5 Expressão matemática para a Soma de Gauss: Procedimento: Para quais valores de n a expressão é válida? Prova por Indução Matemática: Para n=1: P(1) é verdade. E para n+1?

6 Supomos que P(n) é verdade. Somando a ambos os lados dessa igualdade: é verdade. Pelo Princípio de indução é válida para todo. 4. Princípio da Boa Ordenação Princípio da Boa Ordenação: Todo subconjunto, com, possui um menor elemento. O princípio da Boa ordenação implica no princípio da indução. Seja B um conjunto que satisfaça as condições do princípio da indução,, vamos provar que. (lembrando que ) e Supomos que: e definimos o conjunto: e pois e e portanto

7 Mas não pode pertencer a, pois é o elemento mínimo por indução e portanto o que contrária a hipótese. Absurdo! Sendo assim. 5. Torre de Hanói O jogo é formado por n discos de diâmetros distintos com um furo no seu centro e uma base onde estão fincadas três hastes. Numa das hastes, estão enfiados os discos, de modo que nenhum disco esteja sobre outro de diâmetro menor. O jogo consiste em transferir a pilha de discos para outra haste, deslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, a regra acima seja observada. As perguntas naturais que surgem são as seguintes: 1) O jogo tem solução para cada? 2) Em caso afirmativo, qual é o número mínimo de movimentos para resolver o problema com n discos? Para alguns n : Seja P(n): O jogo com n discos tem solução. Nº de discos Quantidade de movimentos

8 A expressão que procuramos é do tipo: Para n=1 sabemos que é válida. E para n+1? P(n+1) tem solução? Se para n discos tem solução (hipótese) pode-se realizar o seguinte procedimento: 1º: É preciso movimentar (os movimentos dos discos antecessores); 2º: (que é o movimento do disco maior para o pino vazio); 3º: E por último movimentar (para colocar os antecessores sobre o disco maior). Para n+1 temos então que: P(n+1): Mas sabemos que é, de forma que: Sendo assim, a expressão para calcular o número mínimo de movimentos para solucionar a Torre de Hanói dado o número de discos é: