LEI DA TRICOTOMIA EM N. Amanda Vitória de Jesus Mendes, Vinício Brás Oliveira Dias, João Carlos Moreira Universidade Federal de Uberlândia FACIP

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1 1. INTRODUÇÃO Apesar do conhecimento da existência dos números naturais e a sua utilização para contar, apenas no século XIX uma construção axiomática dos números naturais foi efetivamente apresentada. Isso permitiu que os matemáticos saíssem do campo da intuição aritmética e entrasse no mundo da abstração, já iniciada pelos gregos na geometria euclidiana. Apresentamos neste trabalho uma construção para o conjunto dos números naturais, denotado por N, e uma demonstração da Lei da Tricotomia, cuja derivação formal é obtida a partir dos Axiomas de Peano. 2. MATERAIS E MÉTODOS Figura 1. Giuseppe Peano ( ) 2.1 Construção dos números naturais Axiomas de Peano: Axioma 1. 1 N. Axioma 2. x N,! x N, denominado sucessor de x. Axioma 3. x N, x 1. Axioma 4. Se x, y N, x = y, então x = y. Axioma 5. Se A N, 1 A e x A sempre que x A então A = N. Adotando o sistema de numeração decimal, podemos denotar 1 por 2, 2 por 3, 3 por 4 e assim por diante. Assim, o conjunto N pode ser representado por {1, 2, 3, }. Os elementos desse conjunto são chamados de números naturais. Esses números podem ser classificados como cardinais ou ordinais; um número natural é visto como cardinal se ele determina a quantidade dos elementos constituintes de um determinado conjunto ou ordinal se ele representa a ordem que um determinado elemento ocupa dentro de um conjunto. Cantor denotou

2 a quantidade de elementos do conjunto dos números naturais por ℵ 0 (lê-se alef zero) e o classificou como um número cardinal infinito. 2.2 Aritmética dos números naturais Definição 1. Uma lei de composição sobre um conjunto E é uma aplicação φ A E E, onde A e E são conjuntos. Se A = E, dizemos que φ é uma lei de composição interna, caso contrário φ será uma lei de composição externa. Uma operação binária sobre E é uma lei de composição interna sobre E. 2.3 Operação de adição Definição 2. A operação de adição em N é uma lei de composição interna + N N N, que a cada par ordenado (x, y) de números naturais associa o número natural x + y definido por { x + 1 = x, x N x + y = (x + y), x N e y N e chamado de soma de x e y, os números x e y são chamados de parcelas da soma. Dados x 1, x 2,, x n números naturais, n N, definimos a sua soma, recursivamente por: n x j j=1 = x 1 + x x n { x 1, se n = 1 (x 1 + x x n 1 ) + x n, se n 1. Definição 3. Dizemos que y > x (lemos y maior que x), se z N tal que y = x + z. Neste caso, também dizemos que x < y (lemos x menor que y). 3. RESULTADOS OBTIDOS Teorema 1. (Lei da Tricotomia) x, y N, então uma das alternativas abaixo é verdadeira: i) x = y ii) y > x iii) y < x. Prova: Vamos provar a Lei da Tricotomia, usando o Axioma 5 de Peano.

3 provemos que se A = {x N y N, então x = y ou x > y ou x < y}, então A = N. ( i ) 1 A, pois y N, então (y = 1) ou y 1. No caso de y 1, teremos que: m N tal que y = m = m + 1 = 1 + m. ( ii ) Suponha x A, daí y N, então (x = y) ou se x y, então: (x = y + n, n N) ou (y = x + m, m N). ( iii ) Mostremos que x A. y N, então (y = x ) ou y x. No caso de y x, teremos que y x x e daí por (ii): x = y + n 1, n 1 N e daí x = (y + n 1 ) = y + n 1 = y + n, n N. Ou teremos que y = x + m 1, m 1 N {1}, pois se m 1 = 1 teríamos y = x + 1 = x. Daí, y = x + m 1 = x + m = x + (m + 1) = x + (1 + m) = (x + 1) + m

4 = x + m, m N. Assim concluímos que A = N pelo Axioma 5 Falta mostrar que apenas uma das três sentenças é válida. ( i ) Suponha x = y + n, n N. Neste caso, x y e se y = x + m, m N, teríamos que: x = y + n = (x + m) + n = x + (m + n), m, n N, ou seja x > x (absurdo). ( ii ) Suponha y = x + m, m N. Neste caso, y x e se x = y + n, n N, teríamos que y = x + m = (y + n) + m = y + (n + m), m, n N, ou seja y > y (absurdo). ( iii ) Suponha y = x. Neste caso, claramente x y + n, n N e y x + m, m N Esse teorema define uma relação de ordem em N. 4. CONCLUSÃO Utilizando como base teórica o material desenvolvido para a Escola de Cálculo por MOREIRA, apresentamos uma demonstração da Lei da Tricotomia, cuja derivação formal é obtida a partir dos Axiomas de Peano. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

5 MOREIRA, João Carlos. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS. Disponível em: Acesso em 17/09/ 2017.