ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS

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1 ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS FUN JOÃO CARLOS MOREIRA

2 ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS

3 ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP Universidade Federal de Uberlândia EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA

4 Copyright 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n o 9.610, de 19 de fevereiro de Impresso no Brasil / Printed in Brazil

5 Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira

6 Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Álgebra e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim. Ituiutaba, abril de João Carlos Moreira

7 Símbolos Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se pertence 2 A O número dois pertence ao conjunto A. para todo ( a)(a N) Para todo a, a pertencente a N. existe ( x)(x A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.! existe um único (! x )(x N) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais. e x y x e y ou (inclusivo) x y x ou y ou (exclusivo) x y x ou y não (2 A) 2 não pertence ao conjunto A implica P Q P implica Q se, e somente se P Q P se, e somente se, Q

8 ÁLGEBRA TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM Sumário 1 Abordagem histórica 00 2 Abordagem algébrica Construção dos números inteiros Aritmética dos números inteiros Operação de adição Subtração Operação de multiplicação Divisibilidade 00 3 Abordagem geométrica Representação geométrica dos números inteiros 00 4 Abordagem computacional Representação dos números inteiros Algoritmos 00 5 Abordagem prática 00 6 Abordagem avançada 00 7 Referências bibliográficas 00

9 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 1 CAPÍTULO 1 ABORDAGEM HISTÓRICA Brahmagupta ( ), foi o principal matemático indiano de sua época. Dentre suas contribuições, destacamos as primeiras regras para a aritmética dos números negativos presentes na sua obra Brahmasphutasiddhanta. 1 De acordo com Euclides, número é a quantidade composta de unidades e unidade é aquilo segunda a qual cada uma das coisas existentes é dita uma. 2 A palavra alemã Zahl, significa número e a sua primeira letra Z é utilizada para representar o conjunto dos números inteiros. 3 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta as origens da humanidade. 4 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o osso de Lebombo, data de aproximadamente A.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo ou como uma unidade de medida. O mesmo foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia. As incisões que aparecem nesse osso, podem ter sido as primeiras representações de números na história da humanidade.

10 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 2 Fig. 1. Osso de Lebombo 5 Não conseguimos estabelecer uma data exata para o surgimento dos números negativos. Mas sabemos que um dos registros mais antigos do seu uso data da Dinastia Han (202 a.c. 220) na China, e eram usados em cálculos comerciais e fiscais. Os números negativos eram representados por varetas pretas e os números positivos por varetas vermelhas. Fig. 2. Varetas chinesas 6 Na Índia, o conceito de números negativos foi introduzido por Brahmagupta ( ), quando o mesmo associou as ideias de 'fortunas' e 'dívidas' com números positivos e negativos. Além disso, ele estabeleceu as primeiras regras para a aritmética dos números negativos. Na sua obra Brahmasphutasiddhanta, publica em 628, Brahmagupta define o zero como a diferença entre um número e ele mesmo. Nessa época, um sistema numérico posicional foi estabelecido, acrescentando o zero e os negativos no sistema numérico da Índia. 7 A compreensão e a aceitação dos números negativos não

11 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 3 foram um processo rápido. Grandes matemáticos, como por exemplo Stiefel ( ), Cardano ( ), Descartes ( ) e Viète ( ) renegaram a existência dos números negativos, daí o porquê os chamamos de números negativos. Outros admitiam a sua existência, mas estabeleceram como regra que durante os cálculos em que eles aparecessem, os mesmos deveriam ser eliminados no final. 8 Com o desenvolvimento da matemática formal e do comércio o mesmo passou a ser definitivamente aceito. Vários símbolos foram utilizados para representar os números negativos. No entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque e o sinal na esquerda dos números naturais se tornou padrão para representar os números negativos. 9 Os matemáticos René Descartes ( ) e John Wallis ( ) contribuíram para dar um outro significado aos números negativos inventando a linha numérica. 10 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática. 11 Somente no século XIX, Giuseppe Peano, apresenta um conjunto de axiomas para a formalização da aritmética dos números naturais, que possibilitou uma construção formal dos números inteiros.

12 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 4 CAPÍTULO 2 ABORDAGEM ALGÉBRICA Giuseppe Peano ( ), foi um matemático italiano. Dentre suas principais contribuições destacamos os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. Definição 1. Um sistema matemático S = (E, {φ, ψ}) é chamado de sistema numérico se: i) φ e ψ são operações binárias associativas; ii) iii) φ e ψ são operações binárias comutativas; e uma das operações é distributiva com relação à outra. Neste caso, um elemento desse sistema x E é chamado de número. 2.1 Construção dos números inteiros A construção axiomática do conjunto dos números naturais, apresentada pelo matemático italiano Giuseppe Peano ( ) possibilitou a construção formal de outros conjuntos numéricos muito importantes da matemática. O conjunto dos números inteiros pode ser construído da seguinte forma:

13 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 5 Uma relação R A A sobre um conjunto A é uma relação de equivalência sobre A se: i) ( a)(ara) (reflexiva) ii) ( a)( b)(arb bra) (simétrica) iii) ( a)( b)( c)((arb) (brc) (arc)) (transitiva) O conjunto quociente de A por R é definido por A/R = {a a A}, onde a = {b: bra} é a classe de equivalência determinada por a módulo R. Considere o conjunto N N {(x, y): (x N) (y N)} e a relação de equivalência R sobre N N, definida por: (x, y)r(w, z) x + z = y + w. Defina Z = (N N)/R, como sendo o conjunto quociente de N N por R. Os elementos de Z, chamados de números inteiros, são as classes de equivalência (z, w) {(x, y): (x, y)r(z, w)}, onde (z, w) N N. Assim, se adotarmos os algarismos indianos para denotarmos as classes de equivalência ( n)(n N) (( n (1, ) n + 1) (0 (1, ) 1) (n (n )), + 1,1) então o conjunto dos números inteiros será Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, como conhecemos. O conjunto dos números inteiros não nulos é denotado por Z = {, 2, 1, 1, 2, }. Um elemento x pertencente a Z é dito não nulo e denotado por x 0. O conjunto dos números inteiros não negativos é denotado por Z + = { 0, 1, 2, }. Um elemento x pertencente a Z + é dito não negativo e denotado por x 0.

14 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 6 O conjunto dos números inteiros positivos é denotado por Z + = { 1, 2, }. Um elemento x pertencente a Z + é dito positivo e denotado por x > 0. O conjunto dos números inteiros não positivos é denotado por Z = {, 2, 1, 0}. Um elemento x pertencente a Z é dito não positivo e denotado por x 0. O conjunto dos números inteiros negativos é denotado por Z = {, 2, 1}. Um elemento x pertencente a Z é dito negativo e denotado por x < 0. O módulo ou valor absoluto de um número inteiro x é denotado por x, e definido por: x, se x 0 x = { x, se x < 0.

15 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA 7 Referências Bibliográficas [1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York: Dover Publicaitions, [2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, [3] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, [4] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, [5] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

16 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA ÁLGEBRA 5 TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS FUN Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ- RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia. JOÃO CARLOS MOREIRA