COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO

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1 JOÃO CARLOS MOREIRA ESPAÇO R n COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

2 ESPAÇO R n : NÍVEL I Eercício 1 Defina: o espaço R n ; produto escalar no espaço R n ; nora no espaço R n ; noras equivalentes no espaço R n ; ângulo entre dois vetores do espaço R n ; étrica ou distância no espaço R n ; bola aberta, bola fechada, fronteira, conjunto liitado e conjunto copacto no espaço R n ; ponto de acuulação de u conjunto A no espaço R n ; sequência no R n ; subsequência no R n ; sequência de Cauchy no R n ; sequência convergente e divergente no R n ; sequência liitada, sequência liitada inferiorente e sequência liitada superiorente no R n ; valor de aderência de ua sequência no no R n ; sequência onótona no R n ; liinf e lisup de sequência no R n ; série no R n ; série convergente e divergente no R n. Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 2

3 ESPAÇO R n : NÍVEL II Eercício 1 Mostre que o espaço R n unido das operações de adição + : R n R n R n (, y) + y e ultiplicação por escalar : R R n R n (α, ) α definidas por + y = ( 1 + y 1, 2 + y 2,, n + y n )eα =(α 1, α 2,, α n ) se =( 1, 2,, n ) e y =(y 1, y 2,, y n ), define u espaço vetorial sobre R. Eercício 2 Mostre que e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1,,0),, e n = (0, 0,,1) é base ortonoral para o R n. Eercício 3 Mostre que y = y cos( (, y)),, y R n. Eercício 4 (Teorea de Pitágoras) Mostre que se y então + y 2 = 2 + y 2. Eercício 5 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Mostre que y y,, y R n e y = y, y são linearente dependentes. Eercício 6 Mostre que para qualquer nora: a) 0, R n e = 0 = 0; b) α = α, R n e, α R; c) y y y,, y R n. Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 3

4 Eercício Eercício 3 7 Mostre que d(, y) = y define ua étrica (ou dis- tância) para o R n. Calcule a distância entre os pontos = (1, 1,2,0) e y = (2,3,4,5), be coo o ângulo entre os vetores e y. Eercício 8 U conjunto A R n é dito conveo se, y A, (1 t) + ty A, t [0,1]. Mostre que toda bola aberta ou fechada no R n é convea. Eercício 9 Mostre que toda bola aberta no R n é u conjunto aberto no R n. Eercício 10 Mostre que toda bola fechada no R n é u conjunto fechado no R n. Eercício 11 Deterine a equação da fronteira de ua bola aberta centra- da e 0 =( 1 0, 2 0,, n 0 ) e raio r no R n. Eercício 12 Mostre que toda bola fechada no R n é copacta e que o copleentar de ua bola aberta no R n não é copacto. Eercício 13 Mostre que todo ponto 0 [0,1] [0,1] [0,1] R 3 é ponto de acuulação do conjunto (0,1) (0,1) (0,1) {(2, 2, 2)}, as (2, 2, 2) não é ponto de acuulação do eso. Eercício 14 Analise a convergência das sequências abaio: a) = ; b) = (( 1), ); Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 4

5 c) = (( 1) 1, +1 cos (), ) d) = ((1 + 1 ),, ( 2 3 ), sen ( 1 )) Eercício 15 Mostre que se li > 0 então 0 N tal que > 0 se > 0, n = 1. Eercício 16 Eercício 17 Mostre que li n i=0 a i i l i=0 b i i Mostre que li n = = 0 se 0 n < l a n, se n = l b n, se n > l e a n > 0. b l {, se n > l e a n < 0 b l 0, se 1 < < 1, 0 1, se = 1 0, se = 0, se > 1 {, se 1 Eercício 18 Analise a convergência das séries abaio: a) 1 =1 ; =1 ; b) (( 1) 1, 0) 2 c) ( 1, 2 (2 3 ) 1, 5 ) d) (, ( 2 =1 ; =1 3 ), , ). Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 5

6 ESPAÇO R n : NÍVEL III Eercício 1 Mostre que n = 2 i, a = a{ i, i = 1, n} i=1 e s = n i=1 i define noras no R n que são equivalentes. Eercício 2 Mostre que se: a) A i, i = 1,, ; N, são conjuntos abertos do R n então i=1 A i é aberto do R n ; b) (A λ ) λ L é ua faília de conjuntos abertos do R n então λ L A λ é aberto do R n ; c) F i, i = 1,, ; N, são conjuntos fechados do R n então i=1 F i é fechado do R n ; d) (F λ ) λ L é ua faília de conjuntos fechados do R n então λ L F λ é fechado do R n. e) Eercício 3 (Convergência de Sequências no R n ) a) Mostre que a definição de sequência convergente no R n não depende da nora adotada. b) Mostre que se ua sequência é convergente, então seu liite é único. c) Mostre que se = ( 1,, n ) 0 = ( 1 0,, n 0 ) l l 0, l = 1,, n. d) Mostre que se 0, então 0. A recíproca não é verdadeira. e) Mostre que toda sequência convergente é liitada, as ne toda sequência liitada é convergente. f) Mostre que toda sequência liitada possui pelo enos u valor de aderência. g) Mostre que se 0, então toda subsequência ( j ) converge para j N 0 (eiste u único valor de aderência de ( ) N ). h) Mostre que toda sequência de Cauchy é liitada. Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 6

7 i) Mostre que se ( ) N é ua sequência liitada, então ( ) N possui u possui u valor de aderência. j) Mostre que se ua sequência ( ) N de Cauchy possui u valor de aderência então ( ) N converge para este valor. k) Mostre que ua sequência ( ) N é de Cauchy se, e soente se, ( ) N for convergente. l) Mostre que se ( ) N é ua sequência liitada, então ( ) N é convergente se, e soente se, liinf = lisup. ) Mostre que se li = 0 e y for liitada então li, y = 0. n) Mostre que se li = 0 e li y = y 0 então: ( i ) li + y = 0 + y 0 ; ( ii ) li α = α 0 ; ( iii ) li, y = 0, y 0. o) Mostre que se φ(t) = ( 1 (t),, n (t)) e li t φ(t) = 0, então li φ() = 0, N. f) Eercício 4 (Convergência de Sequências e R) a) Mostre que se li = 0 e li y = y 0 então: ( i ) li + y = 0 + y 0 ; ( ii ) li α = α 0 ; ( iii ) li y = 0 y 0 ; ( iv ) li = 0, se y y y b) Mostre que se ( ) N é ua sequência divergente, então (α ) N será ua sequência divergente, α R. c) Mostre que se ( ) N é ua sequência decrescente e liitada inferiorente e se 0 = inf{, N} então li = 0. d) Mostre que se ( ) N é ua sequência crescente e liitada superiorente e se 0 = sup{, N} então li = 0. Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 7

8 e) Mostre que se > 0, N e li +1 < 1, então li = 0. f) Mostre que se li = 0 e li y = y 0 e y então 0 y 0. g) Mostre que se li = 0 e li y = 0 e z y então li z = 0. h) Mostre que se li = 0 e f: R R for ua função contínua e 0, então li f( ) = f( 0 ). Eercício 5 Analise a convergência das sequências abaio: a) n i=0 a i i, a i R, i = 1,, n. b) n i=0 a i i l i=0 b i i, a i, b i R, i = 1,, n. c) a, a R. d) log a, a R + {1}. e) sen(). f) cos() Eercício 6 (Convergência de Séries no R n ) a) Mostre que =1( 1,, n ) ( 0 1,, 0 n ) =1 l 0 l, l = 1,, n. b) Se =1 = 0 e =1 y = y 0 então =1 α + βy = α 0 + βy 0. c) Mostre que se =1 é convergente então li = 0. Eercício 7 (Convergência de Séries e R) a) Mostre que se =1 for convergente, então a série =1 será convergente. A recíproca não é verdadeira. b) Mostre que se 0 y e ( i ) =1 y for convergente então =1 será convergente. ( ii ) =1 for divergente então =1 y será divergente. c) Mostre que se y z, =1 y e =1 z fore convergentes Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 8

9 então =1 será convergente. d) Suponha que 0, y > 0 e li y = L. ( i ) Se 0 < L < 1, então =1 e =1 y são abas convergentes ou divergentes; ( ii ) Se L = 0 e =1 y for convergente, então =1 será convergente; ( iii ) Se L = e =1 y for divergente, então =1 será divergente. e) Suponha que negativos e +1 =1 e =1 y, então: y +1 y são abas séries de teros não ( i ) se =1 y for convergente, tereos que =1 será convergente; ( ii ) se =1 for convergente, tereos que =1 y será convergente. f) Seja f ua função real, contínua, positiva e decrescente, então: ( i ) =1 f() converge f()d converge para algu N > 0; N ( ii ) =1 f() diverge f()d diverge. N g) Mostre que se =1 é ua série de teros não negativos, então se: ( i ) { li +1 li +1 Obs.: Se li de. =1 ( ii ) { li = L < 1, então =1 converge = L > 1 ou +, então =1 diverge +1 li = L = 1, nada podeos afirar sobre a convergência = L < 1, então =1 converge = L > 1 ou +, então =1 diverge Obs.: Se li = L = 1, nada podeos afirar sobre a convergência de. =1 Eercício 8 Analise a convergência da série geoétrica =1 a q, a, q R. Eercício 9 Analise a convergência da série harônica Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 9

10 1 =1 p, p R. Eercício 10 Analise a convergência das séries: a) =1 ( n i=0 a i i ), a i R, i = 1,, n. b) ( n i=0 a i i ), a i, b i R, i = 1,, n. =1 l i=0 b i i =1 =1 =1 =1 c) (a ), a R. d) (log a ), a R + {1}. e) (sin()). f) (cos()). Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 10

JOÃO CARLOS MOREIRA ESPAÇO R n Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel e ateática pela Unesp São José do Rio Preto, especialista e ateática pelo IMPA- RJ, estre e ateática aplicada pela UFRJ-

11 JOÃO CARLOS MOREIRA ESPAÇO R n Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel e ateática pela Unesp São José do Rio Preto, especialista e ateática pelo IMPA- RJ, estre e ateática aplicada pela UFRJ- RJ e doutor e ateática pela UFSCar-SP. Atualente é professor associado na UFU-MG, capus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é análise aplicada. Fundou e 2014 a prieira escola de cálculo do país co sede na Universidade Federal de Uberlândia. COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO Todos os direitos reservados por João Carlos Moreira Página 11

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