Uma EDO Linear de ordem n se apresenta sob a forma: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 2 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = b (x) ; (6.

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1 6. EDO DE ORDEM SUPERIOR SÉRIES & EDO Ua EDO Linear de orde n se apresenta sob a fora: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 2 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = b (x) ; (6.1) onde os coe cientes a k (x) e b (x) são funções contínuas e u intervalo [a; b] : No caso e que b 0, a EDO (6.1) denoina-se Hoogênea e, neste caso, veos que a função ' 0 é ua solução da EDO e o conjunto S constituído das soluções de (6.1) é não vazio. Na verdade, S é u espaço vetorial real, cuja diensão coincide co a orde da EDO, isto é, di S = n: Dois casos particulares erece destaques: I a 2 (x)y 00 + a 1 (x)y 0 + a 0 (x)y = b(x): [caso n = 2] I a 3 (x)y a 2 (x)y 00 + a 1 (x)y 0 + a 0 (x)y = b(x): [caso n = 3] Se representaros por L o operador diferencial de orde n : L = a n D n + a n 1 D n a 2 D 2 + a 1 D + a 0 I; sendo D k = dk dx k ; k = 0; 1; 2; : : : n, co D0 = I, a EDO (6.1) se escreve na fora sibólica: Ly = b (x) : (6.2) 6.1. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: EDO LINEAR COM COEFICIENTES CONSTANTES I ::: A. ::::::::::::::::::::::: CASO HOMOGÊNEO [b(x) = 0; x] 1. E cada caso, ostre que as funções dadas são soluções LI da EDO indicada. (a) y 1 (x) = sen x; y 2 (x) = cos x; y 00 + y = 0: (b) y 1 (x) = 2; y 2 (x) = sen x; y 3 (x) = 3 cos x; y y 0 = 0: (c) y 1 (x) = e x ; y 2 (x) = e x ; y 3 (x) = sen x; y 4 (x) = cos x; y (4) y = 0: (d) y 1 (x) = e x ; y 2 (x) = e 2x ; y 3 (x) = e 3x ; y 000 6y y 0 6y = 0: 2. Encontre a solução geral das seguintes EDO s hoogêneas co coe cientes constantes: (a) y 00 3y 0 + 2y = 0 (b) y (4) + 4y = 0 (c) y 000 6y y 0 6y = 0 (d) y y 0 + y = 0 (e) y (4) + 5y 000 = 0 (f) y 000 3y y 0 2y = 0 (g) y 000 y 00 y 0 + y = 0 (h) y (4) + 2y 00 + y = 0

2 2 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS 3. Qual a solução geral de ua EDO linear hoogênea co coe cientes constantes, cujas raízes da equação característica são: 2; 2; 2; 3; 3; 3 4i; 3 + 4i; 3 4i e 3 + 4i? Qual é a EDO? 4. Encontre a EDO linear hoogênea co coe cientes constantes, cujas raízes da equação característica são: 2; 1; 1; 3 4i e 3 + 4i? Qual é a solução geral da EDO? 5. Encontre a EDO de segunda orde co a seguinte faília de curvas integrais: (a) y = C 1 x + C 2 x 2 (b) y = C 1 e x + C 2 xe x (c) C 1 e x + C 2 e 2x : 6. E cada caso, veri que que as funções dadas são soluções LI da EDO indicada e deterine a solução geral. (a) y 1 (x) = cos x e y 2 (x) = sen x; y (4) 4y y 00 4y 0 + 6y = 0: (b) y 1 (x) = e x e y 2 (x) = xe x ; y (5) y (4) 2y y 00 + y 0 y = 0: I ::: B. :::::::::::::::::::::::::::: CASO NÃO HOMOGÊNEO 7. Co o Método dos Coe cientes a Deterinar (MCD), encontre a solução geral da EDO. (a) y 00 y 0 2y = 4x 2 (b) y 0 5y = (x 1) sen x + (x + 1) cos x (c) y y 0 + 2y = 1 + x 2 (d) y y 0 + y = x + e x (e) y 00 = 9x 2 + 2x 1 (f) y 00 3y 0 + 2y = e x 2e 2x + sen x (g) y 000 y 00 y 0 + y = x 2 (h) y 0 5y = x 2 e x xe 5x (i) y 0 y = 1 + xe 2x (j) y 000 6y y 0 6y = 2xe x (k) y (4) + 4y = x 2 3x + 2 (l) y 000 y = 3 sen x cos x 6.2. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: EDO LINEAR DE EULER-CAUCHY 1. Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy: (a) 4x 2 y 00 4xy 0 + 3y = sen ln ( x) ; x < 0: (b) x 2 y 00 3xy 0 + 3y = 0; x > 0: (c) x 2 y 00 xy 0 + 2y = 1 + (ln x) 2 ; x > 0: (d) x 2 y 00 3xy 0 + 3y = ln x, x > 0: (e) x 3 y 000 3x 2 y xy 0 6y = 0; x > 0: (f) x 2 y 00 6xy 0 = 0; x > 0: 2. Resolva o seguinte PVI de Euler-Cauchy hoogêneo: x 2 y 00 2xy 0 + 2y = 0 y (1) = 1 e y 0 (1) = 4:

3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR 3 Qual o valor de o valor de y 00 (1)? 3. Encontre a solução do PVI de Euler-Cauchy não hoogêneo: x 2 y 00 + xy 0 + y = ln x y (1) = 0 e y 0 (1) = 2: Qual o valor de y 00 (1) + y 000 (1)? 6.3. :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: DUAS APLICAÇÕES PARA LEITURA A. ::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: VIBRAÇÕES AMORTECIDAS & FORÇADAS Considereos u corpo de assa ; preso a ua ola (veja gura 6.3), sob a ação das seguintes forças: I FORÇA DE ATRITO 2cv; c > 0, oposta ao oviento, onde v representa a velocidade; I FORÇA RESTAURADORA k 2 x; exercida pela ola, sendo k ua constante positiva, e I FORÇA EXTERNA F (t) : A Segunda Lei de Newton estabelece que: x = 2c _x k 2 x + F (t) ou, de fora equivalente: x + 2c k2 _x + x = F (t) ; (6.3) que é a equação do oviento para vibrações forçadas. Quando não houver forças externas, isto é, quando F 0; as vibrações serão aortecidas. Trata-se de ua EDO linear de segunda orde nas variáveis x e t, co coe cientes constantes, que pode ser resolvida pelo Método dos Coe cientes a

4 4 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS Deterinar, dependendo da função F, naturalente, ou pelo Método de Variação dos Parâetros. No caso aortecido, a EDO se escreve sob a fora: cuja equação característica 2 + 2c + k2 x + 2c k2 _x + x = 0; = 0 possui raízes = c p c 2 k 2 ; e existe dois casos a considerar. No prieiro caso, quando c 2 > k 2 ; as raízes são reais e distintas e fazendo! = p jc 2 k 2 j ; a solução geral é x (t) = e ct= C 1 e!t + C 2 e!t : No outro caso, quando c 2 < k 2 ; as raízes são = c i! e a solução geral é: x (t) = e ct= [C 1 cos!t + C 2 sen!t] : Quando a força externa F (t) é ua função contínua por partes, podeos usar sua Série de Fourier para encontrar ua solução x (t) da EDO (6.3). Suponhaos que os dados do problea são de tal fora que a EDO resultante seja: e F (t) é a função 2-periódica de nida por: < t + =2; se < t 0 F (t) = : t + =2; se 0 < t < ; x + (0:02) _x + 25x = F (t) ; (6.4) co Série de Fourier (ver Exercício 4.4F(i)) F (t) = 4 cos 3t cos 5t cos t : É razoável iaginar ua solução x (t) da equação (6.4) coo a soa de soluções aproxiadas de equações do eso tipo, co forças externas F n (t) dadas por: F n (t) = 4 cos nt n 2 ; n = 1; 3; 5; : : : ; que é o tero geral da Série de Fourier de F (t) : Para cada n = 1; 3; 5; : : : considereos a equação aproxiada: x n + (0:02) _x n + 25x n = 4 cos nt n 2 (6.5)

5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR 5 cuja solução particular é suposta da fora x n (t) = A n cos nt + B n sen nt, onde as constantes A n e B n são deterinadas por substituição de x n (t) na EDO (6.5) e vale: A n = 4 25 n2 n 2 D e B n = 0:0 ; n = 1; 3; 5; : : : ; nd onde D = 25 n (0:02n) 2 : Ua solução x (t) de (6.4) é dada pela série trigonoétrica: 1X x (t) = [A 2n 1 cos (2n 1) t + B 2n 1 sen (2n 1) t] ; (6.6) n=1 e a veri cação de que a função x (t) de nida por (6.6) é de fato ua solução da EDO (6.4) baseiase no processo de derivação tero a tero para séries trigonoétricas. O leitor failiarizado co convergência unifore não terá di culdade e veri car a validade dessa operação para esse caso. B. ::: ::::::::::::::::::::::::::: CIRCUITOS ELÉTRICOS O circuito elétrico da gura ao lado conté ua força eletrootriz E (produzida por ua bateria ou gerador), u resistor R, u indutor L e u capacitor C, e série. Se Q(t) representa a carga no capacitor C, no instante t, então a corrente I(t) no eso instante é edida pela taxa de variação da carga Q(t) e relação ao tepo, isto é, I = dq=dt e as quedas de voltage devido ao resistor, indutor e capacitor são, respectivaente: RI; L di Q e dt C : Coo já encionaos no Capítulo 5, a lei de Kirchho estabelece que a soa das quedas da voltage é igual à voltage fornecida e co isso obteos a EDO: L di dt + RI + Q C = E (t) : Para obteros ua EDO linear de segunda orde para a carga Q (t), usaos I = dq dt e obteos: L d2 Q dt 2 + RdQ dt + 1 C Q = E (t) e se fore fornecidas a corrente I 0 e a carga Q 0 no capacitor, no instante t = 0, chegaos ao PVI: < LQ 00 + RQ C Q = E (t) (6.7) : Q (0) = Q 0 e Q 0 (0) = I 0 :

6 6 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS Por derivação da EDO (6.7) 1 ; obteos a seguinte equação diferencial de segunda orde para a corrente: LI 00 + RI C I = E0 (t) : EXEMPLO ::::::::::: No circuito da gura 6.10 suponhaos que R = 4 ; L = 1 H; C = 0:2 F e que a voltage fornecida no instante t seja E (t) = cos 2t. Se a carga e a corrente no instante t = 0 são abas nulas, então o PVI (6.7) se reduz a: < : Q Q 0 + 5Q = cos 2t Q (0) = 0 e Q 0 (0) = 0: (6.) A equação característica é = 0 cujas raízes coplexas 1 = 2 + i e 2 = 2 i produze as soluções reais LI: Q 1 (t) = e 2t cos t e Q 2 (t) = e 2t sen t e a solução geral da EDO auxiliar é, portanto: Q H (t) = e 2t (C 1 cos t + C 2 sen t) : Para usar o MCD, tentaos ua solução particular Q P (t) = A cos 2t + B sen 2t; de odo que Q 0 P (t) = 2A sen 2t + 2B cos 2t e Q 00 P (t) = 4A cos 2t 4B sen 2t: Substituindo Q P e suas derivadas Q 0 P e Q00 P e (6.) 1, encontraos: (A + B) cos 2t + ( A + B) sen 2t = cos 2t e, igualando os coe cientes, chegaos ao sistea algébrico < A + B = 1 : A + B = 0 cuja solução é A = 1=64 e B = =: Assi, encontraos para solução particular a função Q P (t) = 1 cos 2t + sen 2t

7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR 7 e, consequenteente, a solução geral é: Q G (t) = e 2t (C 1 cos t + C 2 sen t) + 1 cos 2t + sen 2t: Co os dados Q (0) = 0 e Q 0 (0) = 0, encontraos C 1 = 1 e C 2 = 1 A expressão para a corrente I (t) é, portanto: Q (t) = 1 e 2t (cos t + 1 sen t) cos 2t sen 2t : I (t) = dq dt = 1 e 2t (16 cos t 37 sen t) + 2 sen 2t 16 cos 2t : e a solução do PVI (6.) é: Coo li t!1 Q H (t) = 0, é razoável usar a aproxiação Q (t) ' Q P (t), para valores de t su cienteente grandes, e, por essa razão, a solução particular Q P (t) recebe o noe de solução de estado estacionário. RESPOSTAS & SUGESTÕES 6.1 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. A coprovação é feita por substituição direta na EDO. 2. Encontre as raízes características para copor a solução geral. (a) y = C 1 e x + C 2 e 2x (c) y = C 1 e x + C 2 e 2x + C 3 e 3x (b) y = (C 1 e x + C 2 e x ) sen x + (C 3 e x + C 4 e x ) cos x (d) y = e x=4 [C 1 cos (x=4) + C 2 sen (x=4)] (e) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e 5x (f) y = e x (C 1 + C 2 cos x + C 3 sen x) (g) y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 xe x (h) y = C 1 cos x + C 2 sen x + x (C 3 cos x + C 4 sen x) 3. C 1 + C 2 x + C 3 x 2 e 2x + (C 4 + C 5 x + C 6 cos 4x + C 7 sen 4x + C x cos 4x + C 9 x sen 4x) e 3x : 4. fazer 5. (a) x 2 y 00 2xy 0 + 2y = 0 (b) y y 0 + y = 0 (c) y 00 3y 0 + 2y = 0: 6. (a) y = C 1 cos p 2x + C 2 sen p 2x e 2x + C 3 cos x + C 4 sen x: (b) y = (C 1 + C 2 x + C 3 x 2 )e x + (C 4 + C 5 x) e x :

8 SÉRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS 7. (a) y = C 1 e x + C 2 e 2x 2x 2 + 2x 3: 2 (b) y = 13 x sen x x cos x + C1 e 5x : (c) y = (C 1 cos x + C 2 sen x) e x + x2 2 (d) y = e 2x [C 1 cos (2x) + C 2 sen (2x)] + x (e) y = C 1 + C 2 x 1 2 x x x4 : x + 1: ex 13 : (f) y = C 1 e x + C 2 e 2x sen x cos x xex 2xe 2x : (g) y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 xe x + x 2 + 2x + 4: (h) y = 1 2 x2 e 5x 1 4 x2 + 1 x e x + C 1 e 5x : (i) y = 1 e 2x + xe 2x + C 1 e x : (j) y = 1 12xe x e x + C 1 e x + C 2 e 2x + C 3 e 3x : (k) y = (C 1 cos x + C 2 sen x)e x + (C 3 cos x + C 4 sen x)e x x2 3 4 x : (l) y = C 1 e x + e x=2 C 2 cos p 3x=2 + sen p 3x=2 sen x + 2 cos x: 6.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 1. (a) y = C 1 ( x) 3=2 + C 2 ( x) 1=2 1 sen ln ( x) + cos ln ( x) : (b) y = 1 + ln x (ln x)2 + x (C 1 cos ln x + C 2 sen ln x) : (c) y = ln x + C 1x + C 2 x 3 : (d) y = C 1 x + C 2 x ln x : (e) y = C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 : (f) y = C 1 + C 2 x 7 : 2. y = 3x 2 2x: 3. y = sen ln x + ln x: ASSIM TERMINA "SÉRIES & EDO"...